Банк задач по математике

Задача III.4.1

Пусть

P(z)=a_{0}+a_{1} z+\ldots +a_{m} z^{m} \quad (z \in \mathbb {C}) .

Докажите, что образ $P(F)$ любого замкнутого множества $F \subset \mathbb {C}$ снова есть замкнутое множество. Верно ли это для произвольного многочлена от двух переменных?

?

Задача III.4.2

Пусть

\Gamma _{0}=\left\{ z \in \mathbb {C}\left| \right| z \mid =1, z \neq -1\right\} ; \quad \varphi (z)=\frac{\operatorname {Im} z}{1+\operatorname {Re} z} .

Докажите, что $\varphi$ взаимно однозначно отображает $\Gamma_{0}$ на $\mathbb {R}$ . Найдите $\varphi^{-1}$ .

?

Задача III.4.3

Существует ли разбиение отрезка $\left[0,1\right]$ на два непересекающихся множества $A$ и $B$ , каждое из которых можно отобразить на другое взаимно однозначно и взаимно непрерывно (гомеоморфно)?

?

Задача III.4.4

Определим на отрезке $\left[0,1\right]$ функции $\varphi$ и $\psi$ следующим образом. Пусть $t \in [0,1], t=\sum 3^{-k} \alpha_{k}$ , где $\alpha_{k} \in \left\{ 0,1,2\right\}$ . Тогда $\varphi (t)=\sum 3^{-k} \beta_{k}$ , где $\beta_{1}=\alpha_{1}, \beta_{2}=\alpha_{3}$ , если $\alpha_{2}$ - чётное число, $\beta_{2}=2-\alpha_{3}$ , если $\alpha_{2}$ - нечётное число, $\beta_{n}=\alpha_{2 n-1}$ , если $\alpha_{2}+\alpha_{4}+\ldots +\alpha_{2 n-2}$ - чётное число, и $\beta_{n}=2-\alpha_{2 n-1}$ , если $\alpha_{2}+\alpha_{4}+\ldots +\alpha_{2 n-2}$ - нечётное число ( $n \geqslant 2$ ). Аналогично, $\psi (t)=\sum 3^{-k} \gamma_{k}$ , где $\gamma_{1}=\alpha_{2}$ , если $\alpha_{1}$ - чётное число, $\gamma_{1}=2-\alpha_{2}$ , если $\alpha_{1}$ - нечётное число, $\gamma_{n}=\alpha_{2 n}$ , если $\alpha_{1}+\alpha_{3}+\ldots +\alpha_{2 n-1}$ чётное число, и $\gamma_{n}=2-\alpha_{2 n}$ , если $\alpha_{1}+\alpha_{3}+\ldots +\alpha_{2 n-1}$ - нечётное число.

?

(а)

Докажите, что функции $\varphi$ и $\psi$ корректно определены и непрерывны.

(б)

Пусть $f:\left[0,1\right] \rightarrow \mathbb {R}^{2}$ - отображение с координатными функциями $\varphi$ и $\psi (f(t)=(\varphi (t), \psi (t))$ при $t \in [0,1])$ . Докажите, что $f$ отображает отрезок $\left[0,1\right]$ на квадрат $\left[0,1\right]^{2}$ . Схематически отображение $f$ описано на рис. 7. Каждый из отрезков $\Delta_{k}(k=1,2, \ldots , 9)$ отображается на квадрат с тем же номером (рис. $7, a$ ). На рис. 7,6 показан обход единичного квадрата при разбиении отрезка на $9^{2}$ частей.

Рис. 7

(в)

Докажите, что система уравнений

\varphi (t)=\xi , \quad \psi (t)=\eta

имеет не более четырёх решений при любых $\xi , \eta \in [0,1]$ . Укажите пары $\xi , \eta$ , для которых эта система имеет четыре решения.

(г)

Докажите, что множества постоянства функций $\varphi$ и $\psi$ (т. е. множества $\varphi^{-1}(\left\{ c\right\} )$ и $\psi^{-1}(\left\{ c\right\} ), c \in \mathbb {R}$ ) не имеют изолированных точек.

(д)

Докажите, что $\varphi , \psi \in \operatorname {Lip}_{1 / 2}(\left[0,1\right])$ , но $\varphi , \psi \notin \operatorname {Lip}_{\alpha }(\left[0,1\right])$ , если $\alpha >\frac{1}{2}$ .

Задача III.4.5

Непрерывное отображение отрезка на квадрат называется кривой Пеано. Пусть и и $v$ - координатные функции произвольной кривой Пеано, заданной на отрезке $\left[0,1\right]$ . Докажите, что если $u, v \in \operatorname {Lip}_{\alpha }(\left[0,1\right])$ , то $\alpha \leqslant \frac{1}{2}$ . (Таким образом, гладкость координатных функций кривой Пеано, построенной в предыдущей задаче, - наилучшая из возможных).

?

Задача III.4.6

Докажите, что любые два обобщённых канторовых множества гомеоморфны, т.е. между ними можно установить взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие.

?

Задача III.4.7

Пусть $X, Y \subset (0,1)$ - счётные всюду плотные в $\left[0,1\right]$ множества. Постройте диффеоморфизм отрезка $\left[0,1\right]$ (отображение на себя, непрерывно дифференцируемое вместе с обратным отображением), переводящий $X$ на $Y$ .

?

Задача III.4.8

(а)(б)(в)

Пусть $A \subset \mathbb {R}^{n}, x \in \mathbb {R}^{n}$ . Точка $y_{0}$ из $A$ называется наилучшим приближением к $x$ в $A$ , если $\left\| x-y_{0}\right\| \leqslant \left\| x-y\right\|$ для всех $y \in A$ .

Докажите, что если $A$ - выпуклое компактное множество, то

?

(а)

для всякой точки $x \in \mathbb {R}^{n}$ существует единственное наилучшее приближение в $A$ ;

(б)

метрическая проекция $T$ , сопоставляющая точке её наилучшее приближение в $A$ , есть сближающее отображение: $\left\| T(x)-T\left(x^{\prime }\right)\right\| \leqslant \leqslant \left\| x-x^{\prime }\right\|$ при любых $x, x^{\prime } \in \mathbb {R}^{n}$ ;

(в)

если $\operatorname {Int}(A) \neq \varnothing$ и $A$ содержится в компактном множестве $B$ , то $T(\partial B)=\partial A$ , где $\partial A$ и $\partial B$ - границы множеств $A$ и $B$ .

Непрерывные отображения