Непрерывные и дифференцируемые функции

Пусть

Докажите, что функция $f \in C(\mathbb {R})$ является полиномом степени не выше $m$ тогда и только тогда, когда $\Delta_{h}^{m+1} f(x)=0$ при любых $x, h \in \mathbb {R}$.

Пусть $f \in C^{1}([0,+\infty ))$. Докажите, что $f^{\prime }(x)+f(x) \rightarrow L \in \mathbb {R}$ при $x \rightarrow +\infty$ тогда и только тогда, когда $f(x) \underset {x \rightarrow +\infty }{\longrightarrow } L$ и $f^{\prime }$ равномерно непрерывна на $(0,+\infty )$.

Пусть функция $f$ дифференцируема на отрезке $\left[a, b\right]$. Докажите, что если $f^{\prime }(a) f^{\prime }(b)<0$, то существует такая точка $c \in (a, b)$, что $f^{\prime }(c)=0$ (теорема Дарбу).

Пусть функция $f$ дифференцируема на отрезке $\left[a, b\right]$. Докажите, что если множество $\left\{ x \in [a, b] \mid f^{\prime }(x)=y\right\}$ замкнуто при любом $y \in \mathbb {R}$, то $f \in C^{1}(\left[a, b\right])$.

Пусть функция $f$ определена на интервале $(a, b)$. Докажите, что $f \in C^{1}((a, b))$ тогда и только тогда, когда отношение $\frac{1}{h}(f(x+h)-f(x))$ стремится при $h \rightarrow 0$ к конечному пределу равномерно на каждом промежутке $\left[\alpha , \beta \right]$ из ($a, b$).

Пусть $f \in C((a, b))$ и для любого $x \in (a, b)$ существует конечный предел $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2 h}=g(x)$. Докажите, что

Пусть $f \in C((a, b))$ и для любого $x \in (a, b)$ существует конечный предел $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)+f(x-h)-2 f(x)}{h^{2}}=g(x)$. Докажите, что

Пусть функция $f$ дифференцируема на ($a, b$) и удовлетворяет условию: для любой точки $x \in (a, b)$ существует такое число $\delta_{x}>0$, что $f(x+h)-f(x-h)=2 h f^{\prime }(x)$ при $0<h<\delta_{x}$. Докажите, что функция $f$ есть многочлен не выше второй степени.

Пусть $F \subset \mathbb {R}$ - замкнутое множество без внутренних точек. Докажите, что существует такая строго возрастающая функция $f \in C^{1}(\mathbb {R})$, что $\left\{ x \in \mathbb {R} \mid f^{\prime }(x)=0\right\} =F$.

Пусть $f \in C(\left[0,1\right])$. Эквивалентны ли утверждения:

1. функция $f$ постоянна на $\left[0,1\right]$;

2. $\forall x \in (0,1) \exists \left\{ x_{n}\right\} : x_{n} \rightarrow x, x_{n}>x, \frac{f\left(x_{n}\right)-f(x)}{x_{n}-x} \rightarrow 0$;

3. $\forall x \in (0,1) \exists \left\{ x_{n}\right\} : x_{n} \rightarrow x, x_{n} \neq x, \frac{f\left(x_{n}\right)-f(x)}{x_{n}-x} \rightarrow 0$.

Может ли производная всюду дифференцируемой и не постоянной на интервале функции обратиться в нуль

Пусть $f \in V(\left[a, b\right]), \quad g(x)= =\stackrel{\boldsymbol {x}}{\underset {a}{\mathbf{V}}}(f) \quad (x \in (a, b]), g(a)=0$. Докажите, что если функция $f$ непрерывна в точке $c \in [a, b]$, то и функция $g$ непрерывна в этой точке.

Пусть $f \in C^{1}(\left[a, b\right])$. Докажите, что

Рис. 6

Докажите, что

Найдите длину графика канторовой функции.

При каких $\alpha >0$ канторова функция входит в класс $\operatorname {Lip}_{\alpha }(\left[0,1\right]) ?$

Пусть $K$ - обобщённое канторово множество (см. определение перед задачей I.1.29), $\Delta_{\varepsilon_{1} \ldots \varepsilon_{n}}$ - его сегменты $n$-го ранга. Пусть, далее, $a=\inf K, b=\sup K, \delta_{\varepsilon_{1} \ldots \varepsilon_{n}}$ - интервалы, удаляемые из сегментов $\Delta_{\varepsilon_{1} \ldots \varepsilon_{n}}$ при построении сегментов $(n+1)$-го ранга.

Определим на $\left[a, b\right]$ функцию $\varphi$ следующим образом:

Функцию $\varphi$ будем называть канторовой функцией, соответствующей множеству $K$. Докажите, что

Пусть $F \subset \mathbb {R}$ - замкнутое множество без изолированных точек. Докажите, что существует такая функция $f \in C(\mathbb {R})$, что

1. $f^{\prime }(x)=0$ при любом $x \in \mathbb {R} \backslash F$;

2. $f(x+h)-f(x-h)>0$ при любом $x \in F$ и любом $h>0$.

Пусть $1<\alpha <2, f(x)=x^{2} \cos \frac{1}{x^{\alpha }}$ при $0<x \leqslant 1, f(0)=0$. Докажите, что $f \in V(\left[0,1\right]), f$ дифференцируема на $\left[0,1\right]$, но функция $g(x)=\underset {0}{\stackrel{x}{\mathrm{~ V}}}(f)$ не дифференцируема в нуле. Существует ли $g^{\prime }(0)$ при $\alpha =1$ ?

Пусть $\alpha , \beta >0, f(x)=x^{\alpha } \cos \frac{1}{x^{\beta }}$ при $0<x \leqslant 1, f(0)=0$. Докажите, что

Пусть $0<\gamma <1$. Постройте функцию $f$ из класса $\operatorname {Lip}_{\gamma }(\left[0,1\right])$, не имеющую ограниченной вариации ни на каком невырожденном промежутке $\Delta \subset [0,1]$.

Укажите такие функции $f, g \in C(\left[0,1\right])$, что

Пусть функция $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна и $2 \pi$-периодична,

Докажите, что $\varphi \in \operatorname {Lip}_{1 / 2}$, точнее, что

Пусть $f(x)=\sum 2^{-n} \cos 4^{n} x$. Докажите, что $f \in \operatorname {Lip}_{1 / 2}$, но $f \notin \operatorname {Lip}_{\alpha }$ при $\alpha >\frac{1}{2}$.

Пусть $f(x)=\sum A^{-n} \sin 3^{n} x$, где $A \in (1,3)$. Докажите, что $f \in \operatorname {Lip}_{\alpha }$, где $\alpha =\log_{3} A$, но $f \notin \operatorname {Lip}_{\beta }$ при $\beta >\alpha$.

Пусть $f(x)=\sum 3^{-n} \sin 3^{n} x$. Докажите, что $f \in \operatorname {Lip}_{\alpha }$ при любом $\alpha \in (0,1)$. Верно ли, что $f \in \operatorname {Lip}_{1}$ ?

Пусть $f(x)=\sum \frac{n!}{2^{n!}} \sin \left(2^{n!} \pi x\right)$. Докажите, что

Пусть $\omega$ - произвольная определённая на полуоси $[0, \infty )$ непрерывная возрастающая функция, удовлетворяющая условиям: $\omega (0)=0, \Omega (t)=\frac{\omega (t)}{t}$ убывает при $t>0$ и $\Omega (t) \underset {t \rightarrow +0}{\longrightarrow }+\infty$.

Докажите, что существует такая непрерывная, нигде не дифференцируемая $2 \pi$-периодическая функция $F$ вида

модуль непрерывности которой есть $O(\omega )$.

Пусть $f$ - периодическая и не постоянная на $\mathbb {R}$ функция, принадлежащая классу $\operatorname {Lip}_{1}$.

Пусть $\alpha >0, f \in C^{1}(\Delta ), N_{0}=\left\{ x \in \Delta \mid f^{\prime }(x)=0\right\}$ - множество критических точек функции $f$. Докажите, что

Докажите, что существует функция $f \in C^{1}(\mathbb {R})$, у которой множество критических значений совпадает с классическим канторовым множеством $C$ (см. задачу I.1.29 и текст перед ней).

По теореме Сарда (см., например, [МУ]) множество критических значений функции из класса $C^{2}\left(\mathbb {R}^{2}\right)$ имеет меру нуль и, следовательно, не содержит внутренних точек. Предположение о $C^{2}$-гладкости функции не может быть существенно ослаблено.

Взяв функцию $f$, построенную в предыдущей задаче, и положив $F(x, y)=f(x)+f(y)$, покажите, что утверждение теоремы Сарда перестаёт быть верным в классе функций, у которых частные производные первого порядка удовлетворяют условию Липшица с показагелем $\frac{1}{2}$. Модифицируя это построение, убедитесь, что контрпример к теореме Сарда можно получить и в классе гладких функций, частные производные которых удовлетворяют условию Липшица с любым показателем $\alpha <1$.