CW-комплексы

Напомним общее определение: структура конечного двумерного CW-комплекса для $X$ выражает $X$ как построенный поэтапно $X^0 \subset X^1 \subset X^2 = X$. Здесь $X^0$ — конечное дискретное множество точек, называемых $0$-клетками. $X^1$ образуется из $X^0$ приклеиванием конечного числа $1$-клеток (копий $1$-диска) посредством непрерывных отображений их границы в $X^0$. Наконец, $X = X^2$ образуется из $X^1$ приклеиванием конечного числа $2$-клеток посредством непрерывных отображений их границы в $X^1$.

Двумерная сфера $S^2$ обладает структурой CW-комплекса, в которой $X^0$ — одна точка $e^0$ и $X^1 = X^0$ (нет $1$-клеток). Тогда $X^2 = X^0 \cup e^2$ образуется с помощью постоянного отображения, переводящего $\partial e^2$ в точку $X^0$. Проверьте, что $S^2$ гомеоморфна этому CW-комплексу $e^0 \cup e^2$.

Рассмотрим тор $T$ как полученный из квадрата $D^1 \times D^1$ отождествлением $(x,1) \sim (x,0)$, $(1,y) \sim (0,y)$. Все четыре угла отождествляются в одну $0$-клетку $e^0$. Ребро $D^1 \times \left\{ 0\right\}$ (отождествлённое с $D^1 \times \left\{ 1\right\}$) образует $1$-клетку $e^1_1$, а ребро $\left\{ 1\right\} \times D^1$ (отождествлённое с $\left\{ 0\right\} \times D^1$) образует вторую $1$-клетку $e^1_2$; $X^1 = e^0 \cup e^1_1 \cup e^1_2$ гомеоморфен одноточечному объединению двух окружностей. Наконец, $D^1 \times D^1$ образует $2$-клетку $e^2$, граница которой отображается в $X^1$, проходя сначала по первой окружности, затем по второй, затем в обратном направлении по первой, затем в обратном направлении по второй — слово $aba^{-1}b^{-1} \in \pi_1(S^1 \vee S^1, x)$.

Поверхность $T^{(g)}$ (ориентируемая поверхность рода $g$) можно представить как получаемую из правильного $4g$-угольника, граница которого отождествляется по схеме $a_1 b_1 a_1^{-1} b_1^{-1} \cdots a_g b_g a_g^{-1} b_g^{-1}$. Это придаёт $T^{(g)}$ структуру CW-комплекса с одной $0$-клеткой (из отождествлённых вершин), $2g$ $1$-клетками (из рёбер, отождествлённых попарно, границы которых отображаются в единственную $0$-клетку) и единственной $2$-клеткой, происходящей из $4g$-угольника, граница которой отображается в $X^1$ согласно схеме отождествления; здесь $X^1$ гомеоморфен букету $W_{2g}$ из $2g$ окружностей.

Аналогично $P^{(h)}$ (связная сумма $h$ проективных плоскостей) имеет CW-разложение с одной $0$-клеткой, $h$ $1$-клетками и одной $2$-клеткой, выражаемой как правильный $2h$-угольник, граница которого отождествляется по схеме $a_1^2 \cdots a_h^2$; здесь $X^1$ гомеоморфен букету $W_h$ из $h$ окружностей.

Проективная плоскость получается из $2$-диска отождествлением $x$ с $-x$ на граничной окружности. Она имеет CW-разложение $e^0 \cup e^1 \cup_{f_2} e^2$, где $f_2(z) = z^2$. Псевдопроективная плоскость $P_p$ получается из диска отождествлением $x$ с $e^{2\pi i/p} x$ на граничной окружности. Приведите аналогичное CW-разложение для $P_p$ с одной клеткой в каждой размерности и укажите приклеивающее отображение для $2$-клетки.

Рассмотрим CW-комплекс

Здесь каждая $1$-клетка $e^1_i$ приклеена к $X^0$ отождествлением своей границы с $e^0_1 \cup e^0_2$. Ориентируем каждую $1$-клетку и зададим $\partial e^1_1$, отправляя $1$ в $e^0_2$, а $-1$ в $e^0_1$. Аналогично зададим $\partial e^1_2$, отправляя $1$ в $e^0_1$, а $-1$ в $e^0_2$. Чтобы приклеить $2$-клетки, отождествим границу с $S^1$ и разделим её на верхнюю полудугу $S^1_+$ и нижнюю полудугу $S^1_-$. Затем отождествим границу $e^2_1$ с $X^1$, отождествляя верхнюю полудугу с $e^1_1$, а нижнюю полудугу с $e^1_2$. Отождествим границу $e^2_2$ с помощью того же отображения. Это выражается словами: $\partial e^2_j = e^1_1 + e^1_2$ (см. рис. 5.1).

CW-разложение сферы.

В более общем смысле конечный CW-комплекс размерности $n$ строится по этапам $X^0 \subset X^1 \subset X^2 \subset X^3 \subset \cdots \subset X^n = X$, где $X^i$ получается из $X^{i-1}$ приклеиванием $i$-клеток (каждая из которых является $i$-мерным диском $e^i$ с границей $\partial e^i \simeq S^{i-1}$, приклеенным с помощью непрерывного отображения $f : \partial e^i \to X^{i-1}$); множество открыто (замкнуто) в $X^i$ тогда и только тогда, когда его прообраз в каждой клетке открыт (замкнут). Подмножество $X^k$ называется $k$-остовом $X$. Покажите, что $k$-остов $X^k$ является замкнутым подмножеством $X$.

Покажите, что конечный CW-комплекс является компактным хаусдорфовым пространством.

Подкомплекс $Y \subset X$ CW-комплекса — это набор клеток $X$, который сам является CW-комплексом, то есть при приклеивании клетки из $Y$ образ её приклеивающего отображения лежит в $Y$. Используя CW-разложение $S^2$ из упражнения 5.1.4, покажите, что верхняя полусфера является подкомплексом.

Покажите, что подкомплекс (упражнение 5.1.7) является замкнутым подмножеством $X$.

$n$-мерная сфера имеет описание в виде CW-комплекса с одной $0$-клеткой и одной $n$-клеткой, приклеенной постоянным отображением из $S^{n-1}$ в $0$-клетку. В CW-топологии это пространство совпадает с пространством, полученным из $D^n$ отождествлением всех точек границы в одну точку. Проверьте, что $n$-мерная сфера гомеоморфна пространству с этим CW-разложением.

Постройте CW-разложение для $S^1 \times S^2$, используя произведение CW-разложений $S^1$ (одна $0$-клетка, одна $1$-клетка) и $S^2$ (одна $0$-клетка, одна $2$-клетка), где произведение $i$-клетки и $j$-клетки гомеоморфно $(i+j)$-клетке. В вашем описании должно быть указано, как строятся остовы в произведении.

Постройте CW-разложение для $S^1 \times \mathbb {R} P^2$, используя произведение CW-разложений $S^1$ (одна $0$-клетка, одна $1$-клетка) и $\mathbb {R} P^2$ (по одной клетке в размерностях $0$ и $2$, согласно упражнению 5.1.3 при $p=2$). В вашем описании должно быть указано, как строятся остовы в произведении.

Постройте CW-разложение для $S^1 \times S^1 \times S^1$, используя произведение CW-разложений $S^1 \times S^1$ (упражнение 5.1.2(а)) и $S^1$. В вашем описании должно быть указано, как строятся остовы в произведении.

Постройте CW-разложение для $S^2 \times S^2$, используя произведение CW-разложения $S^2$ (упражнение 5.1.1). В вашем описании должно быть указано, как строятся остовы в произведении.

Постройте CW-разложение для $\mathbb {R} P^2 \times \mathbb {R} P^2$, используя произведение CW-разложения $\mathbb {R} P^2$ (упражнение 5.1.3 при $p=2$). В вашем описании должно быть указано, как строятся остовы в произведении.

Вещественное проективное $n$-пространство $\mathbb {R} P^n$ образуется из $n$-сферы $S^n$ отождествлением антиподальных точек $x = (x_0, \ldots , x_n) \sim (-x_0, \ldots , -x_n) = -x$. Поскольку $S^n$ имеет тривиальную фундаментальную группу при $n \geq 2$, она является универсальным накрытием для $\mathbb {R} P^n$, так что $\mathbb {R} P^n$ имеет фундаментальную группу $\mathbb {Z}_2$. По индукции переход от $\mathbb {R} P^{k-1}$ к $\mathbb {R} P^k$ соответствует переходу от $S^{k-1}$ к $S^k$ путём приклеивания верхней и нижней полусфер, каждая из которых гомеоморфна $D^k$ посредством вертикальной проекции, приклеенных согласованно (верхняя полусфера — посредством вертикальной проекции, нижняя полусфера — композицией этого приклеивающего отображения с антиподальным отображением): $S^k = S^{k-1} \cup_{f_{k-1}} e^k \cup_{a_k f_{k-1}} e^k$, где $f_{k-1}$ — тождественное отображение $S^{k-1}$, а $a_k$ — антиподальное отображение $S^k$. Переход к фактору отождествляет две $k$-клетки, давая $\mathbb {R} P^k = \mathbb {R} P^{k-1} \cup_{p_{k-1}} e^k$, где $p_{k-1} : S^{k-1} \to \mathbb {R} P^{k-1}$ — фактор-отображение. Это приводит к клеточному разбиению $\mathbb {R} P^n$ с $(n+1)$ клетками, по одной в каждой размерности между $0$ и $n$.

Комплексное проективное $n$-пространство $\mathbb {C} P^n$, обозначаемое $\mathbb {C} P^n$, определяется аналогично: исходя из $S^{2n+1} = \left\{ (z_0, \ldots , z_n) \in \mathbb {C}^{n+1} : \sum \left|z_i\right|^2 = 1\right\}$, вводим отношение эквивалентности $(z_0, \ldots , z_n) \sim \zeta (z_0, \ldots , z_n)$ для $\zeta \in \mathbb {C}$ — единичного комплексного числа, и образуем $\mathbb {C} P^n$ как фактор $S^{2n+1}/\sim$. При $n = 0$ это отождествляет все точки окружности в одну точку, так что $\mathbb {C} P^0$ — точка. При $n=1$ получаем $\mathbb {C} P^1 = \mathbb {C} P^0 \cup_{p_0} S^2_+$, где $S^2_+$ — верхняя полусфера $S^3$ (гомеоморфная $D^2$), а $p_0 : S^1 = \partial S^2_+ \to \mathbb {C} P^0$ — фактор-отображение — это в точности клеточное разбиение $S^2$ из упражнения 5.1.1, так что $\mathbb {C} P^1$ гомеоморфно $S^2$. Та же идея показывает, что $\mathbb {C} P^k$ строится из $\mathbb {C} P^{k-1}$ приклеиванием $2k$-клетки.

Заполните детали приведённого выше рассуждения, чтобы показать, что $\mathbb {C} P^n$ обладает клеточным разбиением с одной клеткой в каждой чётной размерности между $0$ и $2n$.

Зафиксируем целое число $p \geq 2$ и положим $\eta = e^{2\pi i / p}$. Пусть $G_p = \left\{ 1, \eta , \eta^2, \ldots , \eta^{p-1}\right\} \subset S^1$ — группа корней $p$-й степени из единицы, действующая на $S^3 = \left\{ (z_0, z_1) : \left|z_0\right|^2 + \left|z_1\right|^2 = 1\right\}$ по правилу $(z_0, z_1) \sim (\tau z_0, \tau z_1)$ для $\tau \in G_p$. Фактор-пространство $L(p,1) = S^3/G_p$ называется линзовым пространством.

Опишем клеточное разбиение подробно для случая $p = 3$; общий случай следует той же схеме. Внутри $S^3$ лежит окружность $S^1$, на которой вторая координата равна $0$. Зададим на $S^1$ клеточное разбиение, согласованное с действием $G_3$: используем точки $1, \eta , \eta^2$ как $0$-клетки, и $1$-клетки $e^1_0, e^1_1, e^1_2$, где $e^1_0$ отображается своим характеристическим отображением на дугу, соединяющую $1$ и $\eta$, а $e^1_1, e^1_2$ — композиции этого отображения с умножением на $\eta , \eta^2$ соответственно. Переход к фактору по $G_3$ отождествляет $0$-клетки в одну $0$-клетку, а $1$-клетки — в одну $1$-клетку, и фактор гомеоморфен $S^1$.

Далее рассмотрим верхнюю полусферу $S^2_+ \subset S^3$, понимаемую как $2$-клетку $e^2_0$, приклеенную к $S^1$ так, что её граница — сумма трёх приведённых выше $1$-клеток. Действие $\eta , \eta^2$ на $e^2_0$ даёт ещё две $2$-клетки $e^2_1, e^2_2$ (не пересекающиеся с $e^2_0$, кроме как вдоль общей граничной окружности). Переход к фактору по $G_3$ отождествляет эти три $2$-клетки, так что фактор имеет одну $0$-клетку, одну $1$-клетку и одну $2$-клетку, причём $2$-клетка приклеена так, что она трижды обходит окружность $S^1$, образованную $0$-клеткой и $1$-клеткой — то есть эта часть фактора есть $S^1 \cup_{m_3} e^2$, где $m_3(z) = z^3$; это псевдопроективная плоскость $P_3$ из упражнения 5.1.3.

$2$-клетки $e^2_0$ и $e^2_1$ пересекаются только вдоль общей граничной окружности, и вместе (с точностью до гомеоморфизма) охватывают область, гомеоморфную трёхмерному диску $D^3$, образуя $3$-клетку $e^3_0$; вся $S^3$ лежит в этой $3$-клетке или в её образе при умножении на $\eta$ или $\eta^2$, что даёт ещё две $3$-клетки $e^3_1, e^3_2$. Переход к фактору отождествляет эти три $3$-клетки, так что $L(3,1)$ имеет одну клетку в каждой размерности между $0$ и $3$.

Заменив всюду выше $3$ на $p$, дайте описание клеточного разбиения линзового пространства $L(p,1) = S^3/G_p$.

Рассмотрим двумерный CW-комплекс $X$ с единственной $0$-клеткой $e^0$, которая служит базовой точкой. Добавление $1$-клеток образует букет $X^1 = \bigvee_{j=1}^n S^1_j$ окружностей, так что отображение приклейки $f : \partial e^2 \to X^1$ каждой $2$-клетки может быть описано, с точностью до гомотопии (предполагая, что $1$ переходит в базовую точку), словом в свободной группе $F_n = \pi_1(X^1, e^0)$.

Предположим, что имеется единственная $2$-клетка. Используя теорему Зейферта--ван Кампена, покажите, что фундаментальная группа $X$ изоморфна фактору свободной группы $F_n$ по соотношению, задаваемому словом, использованным при приклейке $2$-клетки, а именно $f_*(g)$, где $g$ — образующая $\pi_1(S^1, 1)$.

В следующих упражнениях (5.2.3-5.2.6) пространства описываются как факторы многоугольников по указанным отождествлениям рёбер; эти пространства имеют естественные разложения в виде CW-комплексов, все с единственной $0$-клеткой, происходящей из вершин. Используя эти разложения, вычислите фундаментальные группы, найдите их абелианизации и (для тех пространств, которые являются поверхностями) определите, какой поверхности гомеоморфно данное пространство, исходя из абелианизации, проверив результат с помощью эйлеровых характеристик.

Найдите фундаментальные группы двух пространств (а), (б) на рисунке 5.2, найдите их абелианизации и по ним определите, какой поверхности гомеоморфно каждое пространство.

Рисунок к упражнению 5.2.3.

Найдите фундаментальные группы двух пространств (а), (б) на рисунке 5.3 (отождествления рёбер пятиугольника, с теми же соглашениями, что и в упражнении 5.2.3).

Рисунок к упражнению 5.2.4.

Найдите фундаментальные группы двух пространств (а), (б) на рисунке 5.4 (отождествления рёбер пятиугольника, с теми же соглашениями, что и в упражнении 5.2.3).

Рисунок к упражнению 5.2.5.

Найдите фундаментальные группы двух пространств (а), (б) на рисунке 5.5 (отождествления рёбер восьмиугольника, с теми же соглашениями, что и в упражнении 5.2.3).

Рисунок к упражнению 5.2.6.

Используя теорему Зейферта--ван Кампена, покажите, что для связного CW-комплекса $X$ выполняется $\pi_1(X, e^0) \simeq \pi_1(X^2, e^0)$. Таким образом, фундаментальная группа улавливает информацию только о $2$-остове $X^2$.

Используя упражнение 5.2.7, покажите, что $\pi_1(S^k, x) \simeq \left\{ e\right\}$ при $k \geq 3$, поскольку эта сфера имеет CW-разложение с одной $0$-клеткой и одной $k$-клеткой.

Используя CW-разложение для $S^1 \times S^2$ из упражнения 5.1.10, вычислите фундаментальную группу. Сравните ваш ответ с общим результатом для фундаментальной группы произведения пространств.

Используя CW-разложение для $S^1 \times \mathbb {R} P^2$ из упражнения 5.1.11, вычислите фундаментальную группу. Сравните ваш ответ с общим результатом для фундаментальной группы произведения пространств.

Используя CW-разложение для $S^1 \times S^1 \times S^1$ из упражнения 5.1.12, вычислите фундаментальную группу. Сравните ваш ответ с общим результатом для фундаментальной группы произведения пространств.

Используя CW-разложение для $S^2 \times S^2$ из упражнения 5.1.13, вычислите фундаментальную группу. Сравните ваш ответ с общим результатом для фундаментальной группы произведения пространств.

Используя CW-разложение для $\mathbb {R} P^2 \times \mathbb {R} P^2$ из упражнения 5.1.14, вычислите фундаментальную группу. Сравните ваш ответ с общим результатом для фундаментальной группы произведения пространств.

Найдите фундаментальную группу $\mathbb {C} P^n$, $n \geq 1$, используя её CW-разложение (упражнение 5.1.15).

Покажите, что фундаментальная группа псевдопроективной плоскости $P_p$ из упражнения 5.1.3 равна $\mathbb {Z}_p$.

Покажите, что $S^3$ является универсальным накрывающим пространством для линзового пространства $L(p,1)$ (упражнение 5.1.16), и используйте это, чтобы найти фундаментальную группу. Затем, используя CW-разложение из упражнения 5.1.16, вычислите фундаментальную группу другим способом.

Пусть $X$ — топологическое пространство, а $f : S^{n-1} \to X$ — непрерывная функция. Пусть $X_f = X \cup_f D^n$ — фактор-пространство, образованное из дизъюнктного объединения отождествлением $x \in S^{n-1}$ с $f(x) \in X$.

Предположим, что $h : X \to Y$ — гомотопическая эквивалентность с гомотопически обратным отображением $g : Y \to X$; то есть $gh$ гомотопно $1_X$, а $hg$ гомотопно $1_Y$. Обозначим гомотопии $H : X \times I \to X$, $H_t(x) = H(x,t)$, $H_0(x) = gh(x)$, $H_1(x) = x$, и $G : Y \times I \to Y$, $G_t(y) = G(y,t)$, $G_0(y) = hg(y)$, $G_1(y) = y$. Пусть $X_f = X \cup_f D^n$ (обозначения из упражнения 5.3.1) для фиксированного приклеивающего отображения $f : S^{n-1} \to X$, и аналогично $Y_{hf}$, $X_{ghf}$.

Рисунок к упражнению 5.3.2.

Дурацкий колпак (dunce hat) — это пространство, получаемое из одного треугольника ($2$-симплекса) отождествлением всех трёх его рёбер вместе в одном и том же направлении (так что, обходя границу треугольника, все три ребра помечены одной и той же буквой $a$, проходимой в одном и том же направлении).

Подкомплекс $T$ связного $1$-остова $X^1$, содержащий все вершины и деформационно ретрагируемый на любую из своих $0$-клеток (посредством процесса схлопывания $1$-клеток по одному ребру за раз), называется максимальным деревом в $X^1$. Существование такого максимального дерева всегда можно доказать индукцией по числу $0$-клеток: если имеется только одна $0$-клетка, она сама и является максимальным деревом; в противном случае, выбрав $0$-клетку $e^0$ и максимальный подкомплекс $K$ комплекса $X^1$, не содержащий $e^0$ (имеющий, скажем, $p$ линейно связных компонент, каждая из которых по предположению индукции обладает максимальным деревом, соединяющим её $0$-клетки), добавив по одной $1$-клетке от $e^0$ к каждой линейно связной компоненте $K$, получаем максимальное дерево в $X^1$.

Используя упражнение 5.3.2 и максимальное дерево $T$ в $X$, покажите, что существует гомотопически эквивалентный CW-комплекс $Y$ с единственной $0$-клеткой.

Рассмотрим CW-комплекс, чей $1$-остов $X^1$ изображён на рисунке 5.10. Здесь $A, B, C$ обозначают $0$-клетки, а $a,b,c,d,e,f$ — $1$-клетки. Предположим, что к $X^1$ приклеены две $2$-клетки, которые можно описать через $1$-клетки, проходимые последовательностями $adec$ и $dfb$.

Рисунок к упражнению 5.3.6.

Покажите, что если поверхность (возможно, с краем) имеет ручечное разложение с $h_0$ $0$-ручками, $h_1$ $1$-ручками и $h_2$ $2$-ручками, то существует соответствующий CW-комплекс с $h_0$ $0$-клетками, $h_1$ $1$-клетками и $h_2$ $2$-клетками, которому она гомотопически эквивалентна.

Покажите, что связная поверхность (возможно, с краем) гомотопически эквивалентна CW-комплексу с единственной $0$-клеткой.

Для рисунка 5.11(a) постройте CW-разбиение, а затем получите гомотопически эквивалентный CW-комплекс с единственной $0$-клеткой. Используя это, вычислите фундаментальную группу.

Рисунок к упражнениям 5.3.10 и 5.3.11.

Для рисунка 5.11(b) (изображённого вместе с рисунком 5.11(a) выше, в упражнении 5.3.10) постройте CW-разбиение, а затем получите гомотопически эквивалентный CW-комплекс с единственной $0$-клеткой. Используя это, вычислите фундаментальную группу.

Используя обозначения, введённые в упражнении 5.1.4 (где $X$ — CW-комплекс $e^0_1 \cup e^0_2 \cup e^1_1 \cup e^1_2 \cup_f e^2_1 \cup_g e^2_2$, в котором граница каждой $2$-клетки разбита на верхнюю полудугу $S^1_+$ и нижнюю полудугу $S^1_-$, отождествлённые соответственно с $e^1_1$ и $e^1_2$), рассмотрим CW-комплекс $Y$, где $Y^1 = X^1$, но $Y = X^1 \cup_f e^2_1$, а $\partial e^2$ отождествляется путём отправки $S^1_+$ в $e^1_1$ как и раньше, но отправки $S^1_-$ в $e^1_1$ с обращением направления. Геометрически представляйте $e^1_1$ как отрезок $[-1,1]$ на оси $x$, а отображение — как вертикальную проекцию. Определите геометрически, каким будет фактор-пространство. Покажите, что $Y$ гомотопически эквивалентно, но не гомеоморфно, пространству $S^2 \vee S^1$, причём гомотопическая эквивалентность получается стягиванием $e^1_1$ в точку.

Пусть $K$ — CW-комплекс, а $L$ — подкомплекс в $K$; тогда $K$ строится из $L$ путём приклеивания $k$-клеток для различных $k$, что позволяет сводить рассуждения к случаю приклеивания одной клетки. Теорема о продолжении гомотопии утверждает: пусть $L \subset K$ — подкомплекс, $g : K \to Y$, и пусть задана гомотопия ограничения $g|_L : L \to Y$, то есть отображение $H : L \times I \to Y$ с $H(x,0) = g(x)$. Тогда существует гомотопия $H' : K \times I \to Y$ с $H'(x,t) = H(x,t)$ при $x \in L$ и $H'(x,0) = g(x)$.

Чтобы понять, почему это должно быть верно, предположим, что $K = L \cup_f D^k$, где $f : S^{k-1} \to K$ непрерывно. Свойство продолжения гомотопии утверждает, что отображение, определённое на $L \times I \cup K \times \left\{ 0\right\}$, продолжается до непрерывного отображения на $K \times I$; ключевой момент — свести всё к случаю $L = S^{k-1}$, $K = D^k$.

Лемма. Рассмотрим $S^{k-1} \times I \cup D^k \times \left\{ 0\right\} \subset D^k \times I$. Существует деформационная ретракция $D^k \times I$ на $S^{k-1} \times I \cup D^k \times \left\{ 0\right\}$.

(Идея доказательства леммы, проиллюстрированная для $k=2$: пусть $p = (0,2) \in \mathbb {R}^k \times \mathbb {R} = \mathbb {R}^{k+1}$, и рассмотрим лучи, исходящие из $p$. Для $b \in B = S^{k-1} \times I \cup D^k \times \left\{ 0\right\}$ луч от $p$ до $b$ пересекает $D^k \times I$ по отрезку с первой точкой на $D^k \times \left\{ 1\right\}$ и последней точкой $b$; для точки $x \in D^k \times I$ перемещение $x$ вдоль такого собственного отрезка к его концу $b \in B$ задаёт деформационную ретракцию $H$, а $h(x) = H(x,1)$ даёт непрерывное отображение $h : D^k \times I \to B$ с $h|_B = \operatorname {id}|_B$.)

Теперь предположим, что $g : K = L \cup_f D^k \to Y$ и задана гомотопия $H : L \times I \to Y$ с $H(x,0) = g(x)$ при $x \in L$. Рассмотрим композицию $J : S^{k-1} \times I \cup D^k \times \left\{ 0\right\} \to Y$, заданную формулой $J(u,t) = H(f(u), t)$ для $u \in S^{k-1}$ и $J(v, 0) = g(v)$ для $v \in D^k$. Лемма позволяет продолжить $J$ на $D^k \times I$, скомпоновав её с деформационной ретракцией.

Применив лемму и используя то, как $K \times I$ образовано как фактор-пространство, покажите, что существует продолжение $H' : K \times I \to Y$ отображения $H$.

Мы говорим, что подмножество $A \subset X$ является окрестностным деформационным ретрактом, если существует открытое множество $U$, содержащее $A$, и деформационная ретракция $U$ на $A$ (отображение $h : U \to A$ с $h|_A = \operatorname {id}|_A$, такое что $h$ гомотопно тождественному отображению, причём гомотопия ограничивается на $A$ до постоянной гомотопии). Если $(A, B)$ — пара множеств, мы говорим, что эта пара является окрестностным деформационным ретрактом, если существуют открытые множества $U, V$ с $A \subset U$, $B \subset V$, такие что $U$ деформационно ретрагируется на $A$, $V$ деформационно ретрагируется на $B$, а $U \cap V$ деформационно ретрагируется на $A \cap B$.

Покажите, что если $(A, B)$ — окрестностный деформационный ретракт пары $(U, V)$, то $A, B, A \cap B$ все линейно связны тогда и только тогда, когда $U, V, U \cap V$ все линейно связны.

Напомним (упражнение 5.4.1), что пара $(A,B)$ является окрестностным деформационным ретрактом пары $(U,V)$, если $U, V$ — открытые множества с $A \subset U$, $B \subset V$, $U$ деформационно ретрагируется на $A$, $V$ деформационно ретрагируется на $B$, а $U \cap V$ деформационно ретрагируется на $A \cap B$. Покажите, что если $A, B, A \cap B$ линейно связны и $(A, B)$ является окрестностным деформационным ретрактом пары $(U, V)$, то при $x_0 \in A \cap B$ существует изоморфизм между $\pi_1(A, x_0) *_{\pi_1(A \cap B, x_0)} \pi_1(B, x_0)$ и $\pi_1(U, x_0) *_{\pi_1(U \cap V, x_0)} \pi_1(V, x_0)$.

Покажите, что если $X = A \cup B$, где $A, B, A \cap B$ линейно связны, $x_0 \in A \cap B$, и $(A, B)$ — окрестностный деформационный ретракт (упражнение 5.4.1), то существует изоморфизм $\pi_1(A, x_0) *_{\pi_1(A \cap B, x_0)} \pi_1(B, x_0) \simeq \pi_1(X, x_0)$.