Фундаментальная группа CW-комплекса

Рассмотрим двумерный CW-комплекс $X$ с единственной $0$-клеткой $e^0$, которая служит базовой точкой. Добавление $1$-клеток образует букет $X^1 = \bigvee_{j=1}^n S^1_j$ окружностей, так что отображение приклейки $f : \partial e^2 \to X^1$ каждой $2$-клетки может быть описано, с точностью до гомотопии (предполагая, что $1$ переходит в базовую точку), словом в свободной группе $F_n = \pi_1(X^1, e^0)$.

Предположим, что имеется единственная $2$-клетка. Используя теорему Зейферта--ван Кампена, покажите, что фундаментальная группа $X$ изоморфна фактору свободной группы $F_n$ по соотношению, задаваемому словом, использованным при приклейке $2$-клетки, а именно $f_*(g)$, где $g$ — образующая $\pi_1(S^1, 1)$.

В следующих упражнениях (5.2.3-5.2.6) пространства описываются как факторы многоугольников по указанным отождествлениям рёбер; эти пространства имеют естественные разложения в виде CW-комплексов, все с единственной $0$-клеткой, происходящей из вершин. Используя эти разложения, вычислите фундаментальные группы, найдите их абелианизации и (для тех пространств, которые являются поверхностями) определите, какой поверхности гомеоморфно данное пространство, исходя из абелианизации, проверив результат с помощью эйлеровых характеристик.

Найдите фундаментальные группы двух пространств (а), (б) на рисунке 5.2, найдите их абелианизации и по ним определите, какой поверхности гомеоморфно каждое пространство.

Рисунок к упражнению 5.2.3.

Найдите фундаментальные группы двух пространств (а), (б) на рисунке 5.3 (отождествления рёбер пятиугольника, с теми же соглашениями, что и в упражнении 5.2.3).

Рисунок к упражнению 5.2.4.

Найдите фундаментальные группы двух пространств (а), (б) на рисунке 5.4 (отождествления рёбер пятиугольника, с теми же соглашениями, что и в упражнении 5.2.3).

Рисунок к упражнению 5.2.5.

Найдите фундаментальные группы двух пространств (а), (б) на рисунке 5.5 (отождествления рёбер восьмиугольника, с теми же соглашениями, что и в упражнении 5.2.3).

Рисунок к упражнению 5.2.6.

Используя теорему Зейферта--ван Кампена, покажите, что для связного CW-комплекса $X$ выполняется $\pi_1(X, e^0) \simeq \pi_1(X^2, e^0)$. Таким образом, фундаментальная группа улавливает информацию только о $2$-остове $X^2$.

Используя упражнение 5.2.7, покажите, что $\pi_1(S^k, x) \simeq \left\{ e\right\}$ при $k \geq 3$, поскольку эта сфера имеет CW-разложение с одной $0$-клеткой и одной $k$-клеткой.

Используя CW-разложение для $S^1 \times S^2$ из упражнения 5.1.10, вычислите фундаментальную группу. Сравните ваш ответ с общим результатом для фундаментальной группы произведения пространств.

Используя CW-разложение для $S^1 \times \mathbb {R} P^2$ из упражнения 5.1.11, вычислите фундаментальную группу. Сравните ваш ответ с общим результатом для фундаментальной группы произведения пространств.

Используя CW-разложение для $S^1 \times S^1 \times S^1$ из упражнения 5.1.12, вычислите фундаментальную группу. Сравните ваш ответ с общим результатом для фундаментальной группы произведения пространств.

Используя CW-разложение для $S^2 \times S^2$ из упражнения 5.1.13, вычислите фундаментальную группу. Сравните ваш ответ с общим результатом для фундаментальной группы произведения пространств.

Используя CW-разложение для $\mathbb {R} P^2 \times \mathbb {R} P^2$ из упражнения 5.1.14, вычислите фундаментальную группу. Сравните ваш ответ с общим результатом для фундаментальной группы произведения пространств.

Найдите фундаментальную группу $\mathbb {C} P^n$, $n \geq 1$, используя её CW-разложение (упражнение 5.1.15).

Покажите, что фундаментальная группа псевдопроективной плоскости $P_p$ из упражнения 5.1.3 равна $\mathbb {Z}_p$.

Покажите, что $S^3$ является универсальным накрывающим пространством для линзового пространства $L(p,1)$ (упражнение 5.1.16), и используйте это, чтобы найти фундаментальную группу. Затем, используя CW-разложение из упражнения 5.1.16, вычислите фундаментальную группу другим способом.