Примеры CW-комплексов

Напомним общее определение: структура конечного двумерного CW-комплекса для $X$ выражает $X$ как построенный поэтапно $X^0 \subset X^1 \subset X^2 = X$. Здесь $X^0$ — конечное дискретное множество точек, называемых $0$-клетками. $X^1$ образуется из $X^0$ приклеиванием конечного числа $1$-клеток (копий $1$-диска) посредством непрерывных отображений их границы в $X^0$. Наконец, $X = X^2$ образуется из $X^1$ приклеиванием конечного числа $2$-клеток посредством непрерывных отображений их границы в $X^1$.

Двумерная сфера $S^2$ обладает структурой CW-комплекса, в которой $X^0$ — одна точка $e^0$ и $X^1 = X^0$ (нет $1$-клеток). Тогда $X^2 = X^0 \cup e^2$ образуется с помощью постоянного отображения, переводящего $\partial e^2$ в точку $X^0$. Проверьте, что $S^2$ гомеоморфна этому CW-комплексу $e^0 \cup e^2$.

Рассмотрим тор $T$ как полученный из квадрата $D^1 \times D^1$ отождествлением $(x,1) \sim (x,0)$, $(1,y) \sim (0,y)$. Все четыре угла отождествляются в одну $0$-клетку $e^0$. Ребро $D^1 \times \left\{ 0\right\}$ (отождествлённое с $D^1 \times \left\{ 1\right\}$) образует $1$-клетку $e^1_1$, а ребро $\left\{ 1\right\} \times D^1$ (отождествлённое с $\left\{ 0\right\} \times D^1$) образует вторую $1$-клетку $e^1_2$; $X^1 = e^0 \cup e^1_1 \cup e^1_2$ гомеоморфен одноточечному объединению двух окружностей. Наконец, $D^1 \times D^1$ образует $2$-клетку $e^2$, граница которой отображается в $X^1$, проходя сначала по первой окружности, затем по второй, затем в обратном направлении по первой, затем в обратном направлении по второй — слово $aba^{-1}b^{-1} \in \pi_1(S^1 \vee S^1, x)$.

Поверхность $T^{(g)}$ (ориентируемая поверхность рода $g$) можно представить как получаемую из правильного $4g$-угольника, граница которого отождествляется по схеме $a_1 b_1 a_1^{-1} b_1^{-1} \cdots a_g b_g a_g^{-1} b_g^{-1}$. Это придаёт $T^{(g)}$ структуру CW-комплекса с одной $0$-клеткой (из отождествлённых вершин), $2g$ $1$-клетками (из рёбер, отождествлённых попарно, границы которых отображаются в единственную $0$-клетку) и единственной $2$-клеткой, происходящей из $4g$-угольника, граница которой отображается в $X^1$ согласно схеме отождествления; здесь $X^1$ гомеоморфен букету $W_{2g}$ из $2g$ окружностей.

Аналогично $P^{(h)}$ (связная сумма $h$ проективных плоскостей) имеет CW-разложение с одной $0$-клеткой, $h$ $1$-клетками и одной $2$-клеткой, выражаемой как правильный $2h$-угольник, граница которого отождествляется по схеме $a_1^2 \cdots a_h^2$; здесь $X^1$ гомеоморфен букету $W_h$ из $h$ окружностей.

Проективная плоскость получается из $2$-диска отождествлением $x$ с $-x$ на граничной окружности. Она имеет CW-разложение $e^0 \cup e^1 \cup_{f_2} e^2$, где $f_2(z) = z^2$. Псевдопроективная плоскость $P_p$ получается из диска отождествлением $x$ с $e^{2\pi i/p} x$ на граничной окружности. Приведите аналогичное CW-разложение для $P_p$ с одной клеткой в каждой размерности и укажите приклеивающее отображение для $2$-клетки.

Рассмотрим CW-комплекс

Здесь каждая $1$-клетка $e^1_i$ приклеена к $X^0$ отождествлением своей границы с $e^0_1 \cup e^0_2$. Ориентируем каждую $1$-клетку и зададим $\partial e^1_1$, отправляя $1$ в $e^0_2$, а $-1$ в $e^0_1$. Аналогично зададим $\partial e^1_2$, отправляя $1$ в $e^0_1$, а $-1$ в $e^0_2$. Чтобы приклеить $2$-клетки, отождествим границу с $S^1$ и разделим её на верхнюю полудугу $S^1_+$ и нижнюю полудугу $S^1_-$. Затем отождествим границу $e^2_1$ с $X^1$, отождествляя верхнюю полудугу с $e^1_1$, а нижнюю полудугу с $e^1_2$. Отождествим границу $e^2_2$ с помощью того же отображения. Это выражается словами: $\partial e^2_j = e^1_1 + e^1_2$ (см. рис. 5.1).

CW-разложение сферы.

В более общем смысле конечный CW-комплекс размерности $n$ строится по этапам $X^0 \subset X^1 \subset X^2 \subset X^3 \subset \cdots \subset X^n = X$, где $X^i$ получается из $X^{i-1}$ приклеиванием $i$-клеток (каждая из которых является $i$-мерным диском $e^i$ с границей $\partial e^i \simeq S^{i-1}$, приклеенным с помощью непрерывного отображения $f : \partial e^i \to X^{i-1}$); множество открыто (замкнуто) в $X^i$ тогда и только тогда, когда его прообраз в каждой клетке открыт (замкнут). Подмножество $X^k$ называется $k$-остовом $X$. Покажите, что $k$-остов $X^k$ является замкнутым подмножеством $X$.

Покажите, что конечный CW-комплекс является компактным хаусдорфовым пространством.

Подкомплекс $Y \subset X$ CW-комплекса — это набор клеток $X$, который сам является CW-комплексом, то есть при приклеивании клетки из $Y$ образ её приклеивающего отображения лежит в $Y$. Используя CW-разложение $S^2$ из упражнения 5.1.4, покажите, что верхняя полусфера является подкомплексом.

Покажите, что подкомплекс (упражнение 5.1.7) является замкнутым подмножеством $X$.

$n$-мерная сфера имеет описание в виде CW-комплекса с одной $0$-клеткой и одной $n$-клеткой, приклеенной постоянным отображением из $S^{n-1}$ в $0$-клетку. В CW-топологии это пространство совпадает с пространством, полученным из $D^n$ отождествлением всех точек границы в одну точку. Проверьте, что $n$-мерная сфера гомеоморфна пространству с этим CW-разложением.

Постройте CW-разложение для $S^1 \times S^2$, используя произведение CW-разложений $S^1$ (одна $0$-клетка, одна $1$-клетка) и $S^2$ (одна $0$-клетка, одна $2$-клетка), где произведение $i$-клетки и $j$-клетки гомеоморфно $(i+j)$-клетке. В вашем описании должно быть указано, как строятся остовы в произведении.

Постройте CW-разложение для $S^1 \times \mathbb {R} P^2$, используя произведение CW-разложений $S^1$ (одна $0$-клетка, одна $1$-клетка) и $\mathbb {R} P^2$ (по одной клетке в размерностях $0$ и $2$, согласно упражнению 5.1.3 при $p=2$). В вашем описании должно быть указано, как строятся остовы в произведении.

Постройте CW-разложение для $S^1 \times S^1 \times S^1$, используя произведение CW-разложений $S^1 \times S^1$ (упражнение 5.1.2(а)) и $S^1$. В вашем описании должно быть указано, как строятся остовы в произведении.

Постройте CW-разложение для $S^2 \times S^2$, используя произведение CW-разложения $S^2$ (упражнение 5.1.1). В вашем описании должно быть указано, как строятся остовы в произведении.

Постройте CW-разложение для $\mathbb {R} P^2 \times \mathbb {R} P^2$, используя произведение CW-разложения $\mathbb {R} P^2$ (упражнение 5.1.3 при $p=2$). В вашем описании должно быть указано, как строятся остовы в произведении.

Вещественное проективное $n$-пространство $\mathbb {R} P^n$ образуется из $n$-сферы $S^n$ отождествлением антиподальных точек $x = (x_0, \ldots , x_n) \sim (-x_0, \ldots , -x_n) = -x$. Поскольку $S^n$ имеет тривиальную фундаментальную группу при $n \geq 2$, она является универсальным накрытием для $\mathbb {R} P^n$, так что $\mathbb {R} P^n$ имеет фундаментальную группу $\mathbb {Z}_2$. По индукции переход от $\mathbb {R} P^{k-1}$ к $\mathbb {R} P^k$ соответствует переходу от $S^{k-1}$ к $S^k$ путём приклеивания верхней и нижней полусфер, каждая из которых гомеоморфна $D^k$ посредством вертикальной проекции, приклеенных согласованно (верхняя полусфера — посредством вертикальной проекции, нижняя полусфера — композицией этого приклеивающего отображения с антиподальным отображением): $S^k = S^{k-1} \cup_{f_{k-1}} e^k \cup_{a_k f_{k-1}} e^k$, где $f_{k-1}$ — тождественное отображение $S^{k-1}$, а $a_k$ — антиподальное отображение $S^k$. Переход к фактору отождествляет две $k$-клетки, давая $\mathbb {R} P^k = \mathbb {R} P^{k-1} \cup_{p_{k-1}} e^k$, где $p_{k-1} : S^{k-1} \to \mathbb {R} P^{k-1}$ — фактор-отображение. Это приводит к клеточному разбиению $\mathbb {R} P^n$ с $(n+1)$ клетками, по одной в каждой размерности между $0$ и $n$.

Комплексное проективное $n$-пространство $\mathbb {C} P^n$, обозначаемое $\mathbb {C} P^n$, определяется аналогично: исходя из $S^{2n+1} = \left\{ (z_0, \ldots , z_n) \in \mathbb {C}^{n+1} : \sum \left|z_i\right|^2 = 1\right\}$, вводим отношение эквивалентности $(z_0, \ldots , z_n) \sim \zeta (z_0, \ldots , z_n)$ для $\zeta \in \mathbb {C}$ — единичного комплексного числа, и образуем $\mathbb {C} P^n$ как фактор $S^{2n+1}/\sim$. При $n = 0$ это отождествляет все точки окружности в одну точку, так что $\mathbb {C} P^0$ — точка. При $n=1$ получаем $\mathbb {C} P^1 = \mathbb {C} P^0 \cup_{p_0} S^2_+$, где $S^2_+$ — верхняя полусфера $S^3$ (гомеоморфная $D^2$), а $p_0 : S^1 = \partial S^2_+ \to \mathbb {C} P^0$ — фактор-отображение — это в точности клеточное разбиение $S^2$ из упражнения 5.1.1, так что $\mathbb {C} P^1$ гомеоморфно $S^2$. Та же идея показывает, что $\mathbb {C} P^k$ строится из $\mathbb {C} P^{k-1}$ приклеиванием $2k$-клетки.

Заполните детали приведённого выше рассуждения, чтобы показать, что $\mathbb {C} P^n$ обладает клеточным разбиением с одной клеткой в каждой чётной размерности между $0$ и $2n$.

Зафиксируем целое число $p \geq 2$ и положим $\eta = e^{2\pi i / p}$. Пусть $G_p = \left\{ 1, \eta , \eta^2, \ldots , \eta^{p-1}\right\} \subset S^1$ — группа корней $p$-й степени из единицы, действующая на $S^3 = \left\{ (z_0, z_1) : \left|z_0\right|^2 + \left|z_1\right|^2 = 1\right\}$ по правилу $(z_0, z_1) \sim (\tau z_0, \tau z_1)$ для $\tau \in G_p$. Фактор-пространство $L(p,1) = S^3/G_p$ называется линзовым пространством.

Опишем клеточное разбиение подробно для случая $p = 3$; общий случай следует той же схеме. Внутри $S^3$ лежит окружность $S^1$, на которой вторая координата равна $0$. Зададим на $S^1$ клеточное разбиение, согласованное с действием $G_3$: используем точки $1, \eta , \eta^2$ как $0$-клетки, и $1$-клетки $e^1_0, e^1_1, e^1_2$, где $e^1_0$ отображается своим характеристическим отображением на дугу, соединяющую $1$ и $\eta$, а $e^1_1, e^1_2$ — композиции этого отображения с умножением на $\eta , \eta^2$ соответственно. Переход к фактору по $G_3$ отождествляет $0$-клетки в одну $0$-клетку, а $1$-клетки — в одну $1$-клетку, и фактор гомеоморфен $S^1$.

Далее рассмотрим верхнюю полусферу $S^2_+ \subset S^3$, понимаемую как $2$-клетку $e^2_0$, приклеенную к $S^1$ так, что её граница — сумма трёх приведённых выше $1$-клеток. Действие $\eta , \eta^2$ на $e^2_0$ даёт ещё две $2$-клетки $e^2_1, e^2_2$ (не пересекающиеся с $e^2_0$, кроме как вдоль общей граничной окружности). Переход к фактору по $G_3$ отождествляет эти три $2$-клетки, так что фактор имеет одну $0$-клетку, одну $1$-клетку и одну $2$-клетку, причём $2$-клетка приклеена так, что она трижды обходит окружность $S^1$, образованную $0$-клеткой и $1$-клеткой — то есть эта часть фактора есть $S^1 \cup_{m_3} e^2$, где $m_3(z) = z^3$; это псевдопроективная плоскость $P_3$ из упражнения 5.1.3.

$2$-клетки $e^2_0$ и $e^2_1$ пересекаются только вдоль общей граничной окружности, и вместе (с точностью до гомеоморфизма) охватывают область, гомеоморфную трёхмерному диску $D^3$, образуя $3$-клетку $e^3_0$; вся $S^3$ лежит в этой $3$-клетке или в её образе при умножении на $\eta$ или $\eta^2$, что даёт ещё две $3$-клетки $e^3_1, e^3_2$. Переход к фактору отождествляет эти три $3$-клетки, так что $L(3,1)$ имеет одну клетку в каждой размерности между $0$ и $3$.

Заменив всюду выше $3$ на $p$, дайте описание клеточного разбиения линзового пространства $L(p,1) = S^3/G_p$.