Теорема Зейферта--ван Кампена для CW-комплексов

Мы говорим, что подмножество $A \subset X$ является окрестностным деформационным ретрактом, если существует открытое множество $U$, содержащее $A$, и деформационная ретракция $U$ на $A$ (отображение $h : U \to A$ с $h|_A = \operatorname {id}|_A$, такое что $h$ гомотопно тождественному отображению, причём гомотопия ограничивается на $A$ до постоянной гомотопии). Если $(A, B)$ — пара множеств, мы говорим, что эта пара является окрестностным деформационным ретрактом, если существуют открытые множества $U, V$ с $A \subset U$, $B \subset V$, такие что $U$ деформационно ретрагируется на $A$, $V$ деформационно ретрагируется на $B$, а $U \cap V$ деформационно ретрагируется на $A \cap B$.

Покажите, что если $(A, B)$ — окрестностный деформационный ретракт пары $(U, V)$, то $A, B, A \cap B$ все линейно связны тогда и только тогда, когда $U, V, U \cap V$ все линейно связны.

Напомним (упражнение 5.4.1), что пара $(A,B)$ является окрестностным деформационным ретрактом пары $(U,V)$, если $U, V$ — открытые множества с $A \subset U$, $B \subset V$, $U$ деформационно ретрагируется на $A$, $V$ деформационно ретрагируется на $B$, а $U \cap V$ деформационно ретрагируется на $A \cap B$. Покажите, что если $A, B, A \cap B$ линейно связны и $(A, B)$ является окрестностным деформационным ретрактом пары $(U, V)$, то при $x_0 \in A \cap B$ существует изоморфизм между $\pi_1(A, x_0) *_{\pi_1(A \cap B, x_0)} \pi_1(B, x_0)$ и $\pi_1(U, x_0) *_{\pi_1(U \cap V, x_0)} \pi_1(V, x_0)$.

Покажите, что если $X = A \cup B$, где $A, B, A \cap B$ линейно связны, $x_0 \in A \cap B$, и $(A, B)$ — окрестностный деформационный ретракт (упражнение 5.4.1), то существует изоморфизм $\pi_1(A, x_0) *_{\pi_1(A \cap B, x_0)} \pi_1(B, x_0) \simeq \pi_1(X, x_0)$.

Пусть $M$ — линейно связная поверхность, являющаяся объединением двух линейно связных поверхностей с краем $N_1, N_2$, пересекающихся по окружности $C = \partial N_1 = \partial N_2$. Пусть существует окрестность $H$ множества $C$ такая, что $(H, H \cap N_1, H \cap N_2, H \cap C)$ гомеоморфна $(S^1 \times (-1,1), S^1 \times (-1,0], S^1 \times [0,1), S^1 \times \left\{ 0\right\} )$.

Примените упражнение 5.4.5, чтобы вычислить

Пусть $K$ — двумерный CW-комплекс, а $L$ — подкомплекс в $K$, так что $K$ можно получить из $L$ индуктивным приклеиванием клеток размерностей $0,1,2$. Используя индуктивное рассуждение, покажите, что $L$ — окрестностный деформационный ретракт (упражнение 5.4.1).

Пусть $L, M$ — подкомплексы двумерного CW-комплекса $K$. Покажите, что $(L, M)$ — окрестностный деформационный ретракт (упражнение 5.4.1). (Это, вместе с упражнением 5.4.7, на самом деле верно и без предположения о двумерности.)

Докажите следующую теорему (теорема Зейферта--ван Кампена для CW-комплексов): пусть $L, M$ — линейно связные подкомплексы CW-комплекса $K$, такие что $L \cap M$ линейно связно и $x \in L \cap M$. Тогда $\pi_1(K, x) \simeq \pi_1(L, x) *_{\pi_1(L \cap M, x)} \pi_1(M, x)$.