Гомотопический тип и CW-комплексы

Пусть $X$ — топологическое пространство, а $f : S^{n-1} \to X$ — непрерывная функция. Пусть $X_f = X \cup_f D^n$ — фактор-пространство, образованное из дизъюнктного объединения отождествлением $x \in S^{n-1}$ с $f(x) \in X$.

Предположим, что $h : X \to Y$ — гомотопическая эквивалентность с гомотопически обратным отображением $g : Y \to X$; то есть $gh$ гомотопно $1_X$, а $hg$ гомотопно $1_Y$. Обозначим гомотопии $H : X \times I \to X$, $H_t(x) = H(x,t)$, $H_0(x) = gh(x)$, $H_1(x) = x$, и $G : Y \times I \to Y$, $G_t(y) = G(y,t)$, $G_0(y) = hg(y)$, $G_1(y) = y$. Пусть $X_f = X \cup_f D^n$ (обозначения из упражнения 5.3.1) для фиксированного приклеивающего отображения $f : S^{n-1} \to X$, и аналогично $Y_{hf}$, $X_{ghf}$.

Рисунок к упражнению 5.3.2.

Дурацкий колпак (dunce hat) — это пространство, получаемое из одного треугольника ($2$-симплекса) отождествлением всех трёх его рёбер вместе в одном и том же направлении (так что, обходя границу треугольника, все три ребра помечены одной и той же буквой $a$, проходимой в одном и том же направлении).

Подкомплекс $T$ связного $1$-остова $X^1$, содержащий все вершины и деформационно ретрагируемый на любую из своих $0$-клеток (посредством процесса схлопывания $1$-клеток по одному ребру за раз), называется максимальным деревом в $X^1$. Существование такого максимального дерева всегда можно доказать индукцией по числу $0$-клеток: если имеется только одна $0$-клетка, она сама и является максимальным деревом; в противном случае, выбрав $0$-клетку $e^0$ и максимальный подкомплекс $K$ комплекса $X^1$, не содержащий $e^0$ (имеющий, скажем, $p$ линейно связных компонент, каждая из которых по предположению индукции обладает максимальным деревом, соединяющим её $0$-клетки), добавив по одной $1$-клетке от $e^0$ к каждой линейно связной компоненте $K$, получаем максимальное дерево в $X^1$.

Используя упражнение 5.3.2 и максимальное дерево $T$ в $X$, покажите, что существует гомотопически эквивалентный CW-комплекс $Y$ с единственной $0$-клеткой.

Рассмотрим CW-комплекс, чей $1$-остов $X^1$ изображён на рисунке 5.10. Здесь $A, B, C$ обозначают $0$-клетки, а $a,b,c,d,e,f$ — $1$-клетки. Предположим, что к $X^1$ приклеены две $2$-клетки, которые можно описать через $1$-клетки, проходимые последовательностями $adec$ и $dfb$.

Рисунок к упражнению 5.3.6.

Покажите, что если поверхность (возможно, с краем) имеет ручечное разложение с $h_0$ $0$-ручками, $h_1$ $1$-ручками и $h_2$ $2$-ручками, то существует соответствующий CW-комплекс с $h_0$ $0$-клетками, $h_1$ $1$-клетками и $h_2$ $2$-клетками, которому она гомотопически эквивалентна.

Покажите, что связная поверхность (возможно, с краем) гомотопически эквивалентна CW-комплексу с единственной $0$-клеткой.

Для рисунка 5.11(a) постройте CW-разбиение, а затем получите гомотопически эквивалентный CW-комплекс с единственной $0$-клеткой. Используя это, вычислите фундаментальную группу.

Рисунок к упражнениям 5.3.10 и 5.3.11.

Для рисунка 5.11(b) (изображённого вместе с рисунком 5.11(a) выше, в упражнении 5.3.10) постройте CW-разбиение, а затем получите гомотопически эквивалентный CW-комплекс с единственной $0$-клеткой. Используя это, вычислите фундаментальную группу.

Используя обозначения, введённые в упражнении 5.1.4 (где $X$ — CW-комплекс $e^0_1 \cup e^0_2 \cup e^1_1 \cup e^1_2 \cup_f e^2_1 \cup_g e^2_2$, в котором граница каждой $2$-клетки разбита на верхнюю полудугу $S^1_+$ и нижнюю полудугу $S^1_-$, отождествлённые соответственно с $e^1_1$ и $e^1_2$), рассмотрим CW-комплекс $Y$, где $Y^1 = X^1$, но $Y = X^1 \cup_f e^2_1$, а $\partial e^2$ отождествляется путём отправки $S^1_+$ в $e^1_1$ как и раньше, но отправки $S^1_-$ в $e^1_1$ с обращением направления. Геометрически представляйте $e^1_1$ как отрезок $[-1,1]$ на оси $x$, а отображение — как вертикальную проекцию. Определите геометрически, каким будет фактор-пространство. Покажите, что $Y$ гомотопически эквивалентно, но не гомеоморфно, пространству $S^2 \vee S^1$, причём гомотопическая эквивалентность получается стягиванием $e^1_1$ в точку.

Пусть $K$ — CW-комплекс, а $L$ — подкомплекс в $K$; тогда $K$ строится из $L$ путём приклеивания $k$-клеток для различных $k$, что позволяет сводить рассуждения к случаю приклеивания одной клетки. Теорема о продолжении гомотопии утверждает: пусть $L \subset K$ — подкомплекс, $g : K \to Y$, и пусть задана гомотопия ограничения $g|_L : L \to Y$, то есть отображение $H : L \times I \to Y$ с $H(x,0) = g(x)$. Тогда существует гомотопия $H' : K \times I \to Y$ с $H'(x,t) = H(x,t)$ при $x \in L$ и $H'(x,0) = g(x)$.

Чтобы понять, почему это должно быть верно, предположим, что $K = L \cup_f D^k$, где $f : S^{k-1} \to K$ непрерывно. Свойство продолжения гомотопии утверждает, что отображение, определённое на $L \times I \cup K \times \left\{ 0\right\}$, продолжается до непрерывного отображения на $K \times I$; ключевой момент — свести всё к случаю $L = S^{k-1}$, $K = D^k$.

Лемма. Рассмотрим $S^{k-1} \times I \cup D^k \times \left\{ 0\right\} \subset D^k \times I$. Существует деформационная ретракция $D^k \times I$ на $S^{k-1} \times I \cup D^k \times \left\{ 0\right\}$.

(Идея доказательства леммы, проиллюстрированная для $k=2$: пусть $p = (0,2) \in \mathbb {R}^k \times \mathbb {R} = \mathbb {R}^{k+1}$, и рассмотрим лучи, исходящие из $p$. Для $b \in B = S^{k-1} \times I \cup D^k \times \left\{ 0\right\}$ луч от $p$ до $b$ пересекает $D^k \times I$ по отрезку с первой точкой на $D^k \times \left\{ 1\right\}$ и последней точкой $b$; для точки $x \in D^k \times I$ перемещение $x$ вдоль такого собственного отрезка к его концу $b \in B$ задаёт деформационную ретракцию $H$, а $h(x) = H(x,1)$ даёт непрерывное отображение $h : D^k \times I \to B$ с $h|_B = \operatorname {id}|_B$.)

Теперь предположим, что $g : K = L \cup_f D^k \to Y$ и задана гомотопия $H : L \times I \to Y$ с $H(x,0) = g(x)$ при $x \in L$. Рассмотрим композицию $J : S^{k-1} \times I \cup D^k \times \left\{ 0\right\} \to Y$, заданную формулой $J(u,t) = H(f(u), t)$ для $u \in S^{k-1}$ и $J(v, 0) = g(v)$ для $v \in D^k$. Лемма позволяет продолжить $J$ на $D^k \times I$, скомпоновав её с деформационной ретракцией.

Применив лемму и используя то, как $K \times I$ образовано как фактор-пространство, покажите, что существует продолжение $H' : K \times I \to Y$ отображения $H$.