Глава III

Определители

[52/88%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

10 · Выражение определителя. Индуктивное определение[7/71%]

Задача 10.1

(а)(б)(в)

Выяснить, какие из следующих произведений входят в развёрнутое выражение определителей соответствующих порядков и с какими знаками:

(а)

$a_{13} a_{22} a_{31} a_{46} a_{55} a_{64}$ ;

(б)

$a_{31} a_{13} a_{52} a_{45} a_{24}$ ;

(в)

$a_{34} a_{21} a_{46} a_{17} a_{73} a_{54} a_{62}$ .

Задача 10.2

Выбрать значения $i, j, k$ так, чтобы произведение

a_{51} a_{i 6} a_{1 j} a_{35} a_{44} a_{6 k}

входило в развёрнутое выражение определителя шестого порядка со знаком минус.

Задача 10.3

В развёрнутом выражении определителя

\left[\begin{smallmatrix} x & 1 & 2 & 3 \\ x & x & 1 & 2 \\ 1 & 2 & x & 3 \\ x & 1 & 2 & 2 x \end{smallmatrix}\right]

найти члены, содержащие $x^{4}$ и $x^{3}$ .

Задача 10.4

Пользуясь определением, вычислить следующие определители:

(а)

$\left[\begin{smallmatrix} a_{11} & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 & \ldots & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \ldots & 0 \\ \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & a_{n 3} & \ldots & a_{n n}\end{smallmatrix}\right] ;$

(б)

$\left[\begin{smallmatrix} 0 & \ldots & 0 & 0 & a_{1 n} \\ 0 & \ldots & 0 & a_{2, n-1} & a_{2 n} \\ \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n 1} & \ldots & a_{n, n-2} & a_{n, n-1} & a_{n n}\end{smallmatrix}\right]$ ;

(в)

$\left|\begin{array}{llll}a & 3 & 0 & 5 \\ 0 & b & 0 & 2 \\ 1 & 2 & c & 3 \\ 0 & 0 & 0 & d\end{array}\right|$ ;

(г)

$\left|\begin{array}{llll}1 & 0 & 2 & a \\ 2 & 0 & b & 0 \\ 3 & c & 4 & 5 \\ d & 0 & 0 & 0\end{array}\right|$ ;

(д)

$\left[\begin{smallmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} \\ a_{31} & a_{32} & 0 & 0 & 0 \\ a_{41} & a_{42} & 0 & 0 & 0 \\ a_{51} & a_{52} & 0 & 0 & 0\end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 10.5

Представить в виде многочлена, расположенного по убывающим степеням $t$ , определитель

\left[\begin{smallmatrix} -t & 0 & 0 & \ldots & 0 & a_{1} \\ a_{2} & -t & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & -t & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & a_{n} & -t \end{smallmatrix}\right].

Задача 10.6

Вычислить определитель, у которого все элементы главной диагонали равны 1, а элементы столбца с номером $j$ равны $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{j-1}, a_{j+1}, \ldots , a_{n}$ , а остальные элементы равны 0.

Задача 10.7

Пусть

\sigma =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & \ldots & n \\ i_{1} & i_{2} & \ldots & i_{n} \end{smallmatrix}\right] \in \mathbf{S}_{n}

и $A$ — квадратная матрица размера $n$ с элементами $a_{r s}$ , причём $a_{r s}=1$ , если $s=i_{r}$ , и $a_{r s}=0$ в противном случае. Доказать, что определитель матрицы $A$ равен знаку подстановки $\sigma$ .

12 · Разложение определителя по строке и столбцу[4/100%]

Задача 12.1

Разлагая по третьей строке, вычислить определитель

\left[\begin{smallmatrix} 2 & -3 & 4 & 1 \\ 4 & -2 & 3 & 2 \\ a & b & c & d \\ 3 & -1 & 4 & 3 \end{smallmatrix}\right]

Задача 12.2

Разлагая по второму столбцу, вычислить определитель

\left[\begin{smallmatrix} 5 & a & 2 & -1 \\ 4 & b & 4 & -3 \\ 2 & c & 3 & -2 \\ 4 & d & 5 & -4 \end{smallmatrix}\right]

Задача 12.3

Вычислить определители:

(а)

$\left[\begin{smallmatrix} x & y & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & x & y & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & x & y \\ y & 0 & 0 & \ldots & 0 & x\end{smallmatrix}\right]$ ;

(б)

$\left[\begin{smallmatrix} a_{0} & a_{1} & a_{2} & \ldots & a_{n-1} & a_{n} \\ -y_{1} & x_{1} & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & -y_{2} & x_{2} & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & x_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & -y_{n} & x_{n}\end{smallmatrix}\right]$ ;

(в)

$\left[\begin{smallmatrix} a_{0} & -1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ a_{1} & x & -1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ a_{2} & 0 & x & -1 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots \ldots \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & . \\ a_{n-1} & 0 & 0 & 0 & \ldots & x & -1 \\ a_{n} & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & x\end{smallmatrix}\right]$ ;

(г)

$\left[\begin{smallmatrix} n!a_{0} & (n-1)!a_{1} & (n-2)!a_{2} & \ldots & a_{n} \\ -n & x & 0 & \ldots & a_{n} \\ 0 & -(n-1) & x & \ldots & 0 \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \end{smallmatrix}\right]$ ;

(д)

$\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n \\ -1 & x & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & x & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & -1 & x\end{smallmatrix}\right]$ ;

(е)

$\left[\begin{smallmatrix} n & -1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ n-1 & x & -1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ n-2 & 0 & x & -1 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 2 & 0 & 0 & 0 & \ldots & x & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & x\end{smallmatrix}\right]$ ;

(ж)

$\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\ 1 & a_{1} & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 1 & 1 & a_{2} & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & a_{3} & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & a_{n}\end{smallmatrix}\right]$ ;

(з)

$\left[\begin{smallmatrix} a_{1} & 0 & \ldots & 0 & b_{1} \\ 0 & a_{2} & \ldots & b_{2} & 0 \\ \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \end{smallmatrix}\right]$ ;

(и)

$\left[\begin{smallmatrix} a_{0} & 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & a_{1} & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & 0 & a_{2} & 0 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & a_{n}\end{smallmatrix}\right]$ ;

Задача 12.4

Доказать, что $(n+1)$ -й член $u(n+1)$ последовательности чисел Фибоначчи (см. 4.5) равен определителю

\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & -1 & 1 \end{smallmatrix}\right]

порядка $n$ .

15 · Определитель произведения матриц[4/100%]

Задача 15.1

Вычислить определитель

\left[\begin{smallmatrix} a & b & c & d \\ -b & a & d & -c \\ -c & -d & a & b \\ -d & c & -b & a \end{smallmatrix}\right]

путем возведения его в квадрат.

Задача 15.2

(а)(б)(в)(г)

Вычислить следующие определители, представляя их в виде произведений определителей:

(а)

$\left[\begin{smallmatrix} \cos \left(\alpha_{1}-\beta_{1}\right) & \cos \left(\alpha_{1}-\beta_{2}\right) & \ldots & \cos \left(\alpha_{1}-\beta_{n}\right) \\ \cos \left(\alpha_{2}-\beta_{1}\right) & \cos \left(\alpha_{2}-\beta_{2}\right) & \ldots & \cos \left(\alpha_{2}-\beta_{n}\right) \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \ldots \\ \cos \left(\alpha_{n}-\beta_{1}\right) & \cos \left(\alpha_{n}-\beta_{2}\right) & \ldots & \cos \left(\alpha_{n}-\beta_{n}\right)\end{smallmatrix}\right] ;$

(б)

$\left[\begin{smallmatrix} \frac{1-a_{1}^{n} b_{1}^{n}}{1-a_{1} b_{1}} & \ldots & \frac{1-a_{1}^{n} b_{n}^{n}}{1-a_{1} b_{n}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{1-a_{n}^{n} b_{1}^{n}}{1-a_{n} b_{1}} & \ldots & \frac{1-a_{n}^{n} b_{n}^{n}}{1-a_{n} b_{n}}\end{smallmatrix}\right]$ ;

(в)

$\left[\begin{smallmatrix} \left(a_{0}+b_{0}\right)^{n} & \ldots & \left(a_{0}+b_{n}\right)^{n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \left(a_{n}+b_{0}\right)^{n} & \ldots & \left(a_{n}+b_{n}\right)^{n}\end{smallmatrix}\right]$ ;

(г)

$\left[\begin{smallmatrix} s_{0} & s_{1} & s_{2} & \ldots & s_{n-1} \\ s_{1} & s_{2} & s_{3} & \ldots & s_{n} \\ s_{2} & s_{3} & s_{4} & \ldots & s_{n+1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ s_{n-1} & s_{n} & s_{n+1} & \ldots & s_{2 n-2}\end{smallmatrix}\right], \quad$ где $\quad s_{k}=x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\ldots +x_{n}^{k}$ .

Задача 15.3

Доказать, что циркулянт

\left[\begin{smallmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} & \ldots & a_{n} \\ a_{n} & a_{1} & a_{2} & \ldots & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_{n} & a_{1} & \ldots & a_{n-2} \\ \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{2} & a_{3} & a_{4} & \ldots & a_{1} \end{smallmatrix}\right]

равен $\quad f\left(\varepsilon_{1}\right) f\left(\varepsilon_{2}\right) \ldots f\left(\varepsilon_{n}\right), \quad$ где $\quad f(x)=a_{1}+a_{2} x+\ldots +a_{n} x_{n-1}$ ; $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots , \varepsilon_{n}$ — все корни степени $n$ из единицы.

Задача 15.4

(а)(б)

Вычислить определители:

(а)

$\left|\begin{array}{llll}a & b & c & d \\ d & a & b & c \\ c & d & a & b \\ b & c & d & a\end{array}\right| ; \quad$

(б)

$\left[\begin{smallmatrix} 1 & \alpha & \alpha^{2} & \ldots & \alpha^{n-1} \\ \alpha^{n-1} & 1 & \alpha & \ldots & \alpha^{n-2} \\ \alpha^{n-2} & \alpha^{n-1} & 1 & \ldots & \alpha^{n-3} \\ \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \alpha & \alpha^{2} & \alpha^{3} & \ldots & 1\end{smallmatrix}\right]$ .

16 · Дополнительные задачи[21/90%]

Задача 16.1

(а)(б)

Найти наибольшее значение определителя третьего порядка, составленного:

(а)

из чисел 0 и 1 ;

(б)

из чисел 1 и -1.

Задача 16.2

Доказать, что если в определителе порядка $n$ на пересечении некоторых $k$ строк и $l$ столбцов стоят элементы, равные нулю, причём $k+l>n$ , то определитель равен нулю.

Задача 16.3

Пусть $D$ — определитель порядка $n>1, D_{1}$ и $D_{2}$ — определители, полученные из $D$ заменой каждого элемента $a_{i j}$ на его алгебраическое дополнение $A_{i j}$ для $D_{1}$ и на его минор $M_{i j}$ для $D_{2}$ . Доказать, что $D_{1}=D_{2}$ .

Задача 16.4

(а)(б)

Взаимной (или присоединенной) матрицей $\widehat{A}$ для квадратной матрицы $A$ размера $n$ называется матрица, в которой на месте $i j$ стоит алгебраическое дополнение $A_{j i}$ . Доказать, что:

(а)

$\left|\widehat{A}\right|=\left|A\right|^{n-1}$ ;

(б)

$\hat{\hat{A}}=\left|A\right|^{n-2} A$ при $n>2$ и $\hat{\hat{A}}=A$ при $n=2$ .

Задача 16.5

Пусть $A=\left(a_{i j}\right), B=\left(b_{i j}\right)$ — матрицы порядка $m \times n, A_{i_{1}, \ldots , i_{m}}$ и $B_{i_{1}, \ldots , i_{m}}$ — миноры порядка $m$ матриц $A$ и $B$ соответственно, составленные из столбцов с номерами $i_{1}, \ldots , i_{m}$ ,

c_{i j}=\sum _{k=1}^{n} a_{i k} b_{j k}, \quad C=\left(c_{i j}\right), \quad i=1, \ldots , m ; \quad j=1, \ldots , m

Доказать, что

\operatorname {det} C=\sum _{1 \leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{m} \leqslant n} A_{i_{1}, \ldots , i_{m}} B_{i_{1}, \ldots , i_{m}}

если $m \leqslant n$ , и $\operatorname {det} C=0$ , если $m>n$ .

Задача 16.6

Пусть $A$ и $B$ — матрицы порядков $p \times n$ и $n \times k$ соответственно, $A\left(\begin{array}{lll}i_{1} & \ldots & i_{m} \\ j_{1} & \ldots & j_{m}\end{array}\right), \quad B\left(\begin{array}{lll}i_{1} & \ldots & i_{m} \\ j_{1} & \ldots & j_{m}\end{array}\right)$ — миноры матриц $A$ и $B$ , стоящие на пересечениях строк с номерами $i_{1}, \ldots , i_{m}$ и столбцов с номерами $j_{1}, \ldots , j_{m}$ , и $C=A B$ . Доказать, что

C\left(\begin{array}{lll}i_{1} & \ldots & i_{m} \\ j_{1} & \ldots & j_{m}\end{array}\right) = \begin{cases} \displaystyle \sum _{1 \leqslant k_{1}<k_{2}<\ldots <k_{m} \leqslant n} A\left(\begin{array}{lll}i_{1} & \ldots & i_{m} \\ k_{1} & \ldots & k_{m}\end{array}\right) B\left(\begin{array}{lll}k_{1} & \ldots & k_{m} \\ j_{1} & \ldots & j_{m}\end{array}\right), & \text{ если } m \leqslant n, \\ 0, & \text{ если } m>n. \end{cases}

Задача 16.7

Доказать, что сумма главных миноров порядка $k$ матрицы $A \cdot { }^{t} A$ равна сумме квадратов всех миноров порядка $k$ матрицы $A$ .

Задача 16.8

Пусть

D=\left[\begin{smallmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1 n} \\ \ldots \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n 1} & \ldots & a_{n n} \end{smallmatrix}\right]

Доказать, что

\left[\begin{smallmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1 n} & x_{1} \\ \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n 1} & \ldots & a_{n n} & x_{n} \\ x_{1} & \ldots & x_{n} & z \end{smallmatrix}\right]=D z-\sum _{i, j=1}^{n} A_{i j} x_{i} x_{j}

Задача 16.9

Доказать, что сумма алгебраических дополнений элементов строки определителя не изменится, если ко всем элементам матрицы прибавить одно и то же число.

Задача 16.10

Доказать, что если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя равны единице, то сумма алгебраических дополнений всех элементов определителя равна самому определителю.

* \quad * \quad *

Задача 16.11

Пусть

A=\left[\begin{smallmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1 n} \\ \ldots \ldots \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n 1} & \ldots & a_{n n} \end{smallmatrix}\right], \quad B=\left[\begin{smallmatrix} b_{11} & \ldots & b_{1 k} \\ \ldots \ldots & \ldots & \ldots \\ b_{k 1} & \ldots & b_{k k} \end{smallmatrix}\right],

D=\left\lvert \, \begin{array}{llllllllll} a_{11} b_{11} & \ldots & a_{1 n} b_{11} & a_{11} b_{12} & \ldots & a_{1 n} b_{12} & \ldots & a_{11} b_{1 k} & \ldots & a_{1 n} b_{1 k} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n 1} b_{11} & \ldots & a_{n n} b_{11} & a_{n 1} b_{12} & \ldots & a_{n n} b_{12} & \ldots & a_{n 1} b_{1 k} & \ldots & a_{n n} b_{1 k} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \end{array}.\right.

где $D$ (определитель порядка $n k$ ) — кронекеровское произведение определителей $A$ и $B$ . Доказать, что $D=A^{k} B^{n}$ .

Задача 16.12

(а)(б)(в)

Континуантой называется определитель

\left(a_{1} a_{2} \ldots a_{n}\right)=\left[\begin{smallmatrix} a_{1} & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ -1 & a_{2} & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & a_{3} & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & -1 & a_{n} \end{smallmatrix}\right].

(а)

Выразить $(a_{1} a_{2} \ldots a_{n})$ в виде многочлена от $a_{1}, \ldots , a_{n}$ .

(б)

Написать разложение континуанты по первым $k$ строкам.

(в)

Установить следующую связь континуанты с непрерывными дробямиЖ

\frac{\left(a_{1} a_{2} \ldots a_{n}\right)}{\left(a_{2} a_{3} \ldots a_{n}\right)}=a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{1}{a_{3}+\ldots +\frac{1}{\ddots } \frac{1}{a_{n-1}+\frac{1}{a_{n}}}}}

Задача 16.13

Доказать, что если $A, B, C, D$ — квадратные матрицы порядка $n$ и $C \cdot { }^{t} D=D \cdot { }^{t} C$ , то

\left[\begin{smallmatrix} A & B \\ C & D \end{smallmatrix}\right]=\left|A \cdot { }^{t} D-B \cdot { }^{t} C\right|

Задача 16.14

Доказать, что если $A, B, C, D$ — квадратичные формы порядка $n$ , причём $C$ или $D$ — невырожденная матрица, и $C D=D C$ , то

\left[\begin{smallmatrix} A & B \\ C & D \end{smallmatrix}\right]=\left|A D-B C\right|

Задача 16.15

Вычислить определитель $\left|\begin{array}{cc}c E & A \\ A & c E\end{array}\right|$ , где

A=\left[\begin{smallmatrix} a & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & a & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & a & 1 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & a \end{smallmatrix}\right]

Задача 16.16

Доказать, что определитель, получающийся при вычеркивании $k$ -го столбца в матрице

\left(a_{i j}\right)=\left(\binom {j-1}{i-1}\right), \quad i=1, \ldots , n+1 ; \quad j=1, \ldots , n+2

равен $\binom {n+1}{k-1}$ .

Задача 16.17

Доказать, что

\left[\begin{smallmatrix} \frac{1}{2!} & \frac{1}{3!} & \frac{1}{4!} & \cdots & \frac{1}{(2 k+2)!} \\ 1 & \frac{1}{2!} & \frac{1}{3!} & \cdots & \frac{1}{(2 k+1)!} \\ 0 & 1 & \frac{1}{2!} & \cdots & \frac{1}{(2 k)!} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \frac{1}{2!} \end{smallmatrix}\right]=0, \quad k \in \mathbb {N}.

Задача 16.18

Перемножив матрицы

\left[\begin{smallmatrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \\ x_{2} & -x_{1} & -x_{4} & x_{3} \\ x_{3} & x_{4} & -x_{1} & -x_{2} \\ x_{4} & -x_{3} & x_{2} & -x_{1} \end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} y_{1} & y_{2} & y_{3} & y_{4} \\ y_{2} & -y_{1} & -y_{4} & y_{3} \\ y_{3} & y_{4} & -y_{1} & -y_{2} \\ y_{4} & -y_{3} & y_{2} & -y_{1} \end{smallmatrix}\right],

доказать, что

\begin{aligned} & \left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}\right)\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+y_{4}^{2}\right)= \\ & \quad =\left(x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+x_{3} y_{3}+x_{4} y_{4}\right)^{2}+\left(x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}-x_{3} y_{4}+x_{4} y_{3}\right)^{2}+ \\ & \quad +\left(x_{1} y_{3}+x_{2} y_{4}-x_{3} y_{1}-x_{4} y_{2}\right)^{2}+\left(x_{1} y_{4}-x_{2} y_{3}+x_{3} y_{2}-x_{4} y_{1}\right)^{2} \end{aligned}

Задача 16.19

(а)(б)

Вычислить определитель матрицы $(a_{i j})$ порядка $n$ , где:

(а)

$a_{i j}$ равно 1, если $i$ делит $j$ , и равно 0 в противоположном случае;

(б)

$a_{i j}$ равно числу общих делителей чисел $i$ и $j$ .

Задача 16.20

Доказать, что определитель матрицы $(d_{i j})$ порядка $n$ , где $d_{i j}$ — наибольший общий делитель чисел $i$ и $j$ , равен $\varphi (1) \varphi (2) \ldots \varphi (n)$ .

Задача 16.21

Пусть $x_{1} \ldots x_{n}, y_{1} \ldots y_{n}$ — числа, причём $x_{i} y_{j} \neq 1$ для всех $i, j=1, \ldots , n, \quad \Delta \left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right), \Delta \left(y_{1}, \ldots , y_{n}\right)$ — определители Вандермонда. Доказать, что

\Delta \left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) \Delta \left(y_{1}, \ldots , y_{n}\right)=\operatorname {det}\left(\frac{1}{1-x_{i} y_{j}}\right)_{i, j=1, \ldots , n} \prod _{i, j=1}^{n}\left(1-x_{i} y_{j}\right)