Банк задач по математике

Задача 11.1

Как изменится определитель порядка $n$ , если:

?

(а)

у всех его элементов изменить знак на противоположный;

(б)

каждый его элемент $a_{i k}$ умножить на $c^{i-k}(c \neq 0)$ ;

(в)

каждый его элемент заменить элементом, симметричным относительно побочной диагонали;

(г)

каждый его элемент заменить на симметричный относительно "центра" определителя;

(д)

его повернуть на $90^{\circ }$ вокруг "центра" (против часовой стрелки)?

Задача 11.2

(а)(б)

Как изменится определитель порядка $n$ , если:

?

(а)

его первый столбец поставить на последнее место, а остальные столбцы сдвинуть влево, сохраняя их расположение;

(б)

его строки записать в обратном порядке?

Задача 11.3

(а)(б)(в)(г)

Как изменится определитель, если:

?

(а)

к каждому столбцу, начиная со второго, прибавить предыдущий столбец;

(б)

к каждому столбцу, начиная со второго, прибавить все предыдущие столбцы;

(в)

из каждой строки, кроме последней, вычесть следующую строку, а из последней вычесть прежнюю первую строку;

(г)

к каждому столбцу, начиная со второго, прибавить предыдущий столбец, а к первому прибавить прежний последний столбец?

Задача 11.4

Доказать, что определитель кососимметрической матрицы нечётного порядка равен 0.

?

Задача 11.5

Числа 20604, 53227, 25755, 20927 и 289 делятся на 17. Доказать, что также делится на 17 определитель

\left[\begin{smallmatrix} 2 & 0 & 6 & 0 & 4 \\ 5 & 3 & 2 & 2 & 7 \\ 2 & 5 & 7 & 5 & 5 \\ 2 & 0 & 9 & 2 & 7 \\ 0 & 0 & 2 & 8 & 9 \end{smallmatrix}\right]

?

Задача 11.6

Вычислить, не развёртывая его, определитель

\left[\begin{smallmatrix} x & y & z & 1 \\ y & z & x & 1 \\ z & x & y & 1 \\ \frac{x+z}{2} & \frac{x+y}{2} & \frac{y+z}{2} & 1 \end{smallmatrix}\right]

?

Задача 11.7

Чему равен определитель, у которого сумма строк с чётными номерами равна сумме строк с нечётными номерами?

?

Задача 11.8

Доказать, что любой определитель равен полусумме двух определителей, один из которых получен из данного прибавлением ко всем элементам $i$ -й строки числа $b$ , а другой — аналогичным образом прибавлением числа $-b$ .

?

Задача 11.9

Доказать, что если все элементы определителя порядка $n$ являются дифференцируемыми функциями одного переменного, то производная этого определителя является суммой $n$ определителей $D_{i}$ , где все строки определителя $D_{i}$ , кроме $i$ -й, те же, что и в определителе $D$ , а $i$ -я строка составлена из производных элементов $i$ -й строки определителя $D$ .

?

Задача 11.10

Вычислить определители:

?

(а)

$\left[\begin{smallmatrix} a_{1}+x & x & \ldots & x \\ x & a_{2}+x & \ldots & x \\ \ldots \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots & \ldots \\ x & x & \ldots & a_{n}+x\end{smallmatrix}\right]$ ;

(б)

$\left[\begin{smallmatrix} a_{1}+x & a_{2} & \ldots & a_{n} \\ a_{1} & a_{2}+x & \ldots & a_{n} \\ \ldots \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{1} & a_{2} & \ldots & a_{n}+x\end{smallmatrix}\right]$ ;

(в)

$\left[\begin{smallmatrix} 1+x_{1} y_{1} & 1+x_{1} y_{2} & \ldots & 1+x_{1} y_{n} \\ 1+x_{2} y_{1} & 1+x_{2} y_{2} & \ldots & 1+x_{2} y_{n} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \\ 1+x_{n} y_{1} & 1+x_{n} y_{2} & \ldots & 1+x_{n} y_{n}\end{smallmatrix}\right]$ ;

(г)

$\left[\begin{smallmatrix} f_{1}\left(a_{1}\right) & f_{1}\left(a_{2}\right) & \ldots & f_{1}\left(a_{n}\right) \\ f_{2}\left(a_{1}\right) & f_{2}\left(a_{2}\right) & \ldots & f_{2}\left(a_{n}\right) \\ \ldots \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots & \ldots \\ f_{n}\left(a_{1}\right) & f_{n}\left(a_{2}\right) & \ldots & f_{n}\left(a_{n}\right)\end{smallmatrix}\right]$ , где $f_{i}(x)$ — многочлен степени не выше $n-2(i=1,2, \ldots , n)$ ;

(д)

$\left[\begin{smallmatrix} 1+a_{1}+b_{1} & a_{1}+b_{1} & \ldots & a_{1}+b_{n} \\ a_{2}+b_{1} & 1+a_{2}+b_{2} & \ldots & a_{2}+b_{n} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots & \ldots \ldots \ldots \\ a_{n}+b_{1} & a_{n}+b_{1} & \ldots & 1+a_{n}+b_{n}\end{smallmatrix}\right]$ ;

(е)

$\left[\begin{smallmatrix} 1+x_{1} y_{1} & x_{1} y_{2} & \ldots & x_{1} y_{n} \\ x_{2} y_{1} & 1+x_{2} y_{2} & \ldots & x_{2} y_{n} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots & \ldots \ldots & \ldots \\ x_{n} y_{1} & x_{n} y_{2} & \ldots & 1+x_{n} y_{n}\end{smallmatrix}\right]$ .

Основные свойства определителя