Дополнительные задачи

Найти наибольшее значение определителя третьего порядка, составленного:

Доказать, что если в определителе порядка $n$ на пересечении некоторых $k$ строк и $l$ столбцов стоят элементы, равные нулю, причём $k+l>n$, то определитель равен нулю.

Пусть $D$ — определитель порядка $n>1, D_{1}$ и $D_{2}$ — определители, полученные из $D$ заменой каждого элемента $a_{i j}$ на его алгебраическое дополнение $A_{i j}$ для $D_{1}$ и на его минор $M_{i j}$ для $D_{2}$. Доказать, что $D_{1}=D_{2}$.

Взаимной (или присоединенной) матрицей $\widehat{A}$ для квадратной матрицы $A$ размера $n$ называется матрица, в которой на месте $i j$ стоит алгебраическое дополнение $A_{j i}$. Доказать, что:

Пусть $A=\left(a_{i j}\right), B=\left(b_{i j}\right)$ — матрицы порядка $m \times n, A_{i_{1}, \ldots , i_{m}}$ и $B_{i_{1}, \ldots , i_{m}}$ — миноры порядка $m$ матриц $A$ и $B$ соответственно, составленные из столбцов с номерами $i_{1}, \ldots , i_{m}$,

Доказать, что

если $m \leqslant n$, и $\operatorname {det} C=0$, если $m>n$.

Пусть $A$ и $B$ — матрицы порядков $p \times n$ и $n \times k$ соответственно, $A\left(\begin{array}{lll}i_{1} & \ldots & i_{m} \\ j_{1} & \ldots & j_{m}\end{array}\right), \quad B\left(\begin{array}{lll}i_{1} & \ldots & i_{m} \\ j_{1} & \ldots & j_{m}\end{array}\right)$ — миноры матриц $A$ и $B$, стоящие на пересечениях строк с номерами $i_{1}, \ldots , i_{m}$ и столбцов с номерами $j_{1}, \ldots , j_{m}$, и $C=A B$. Доказать, что

Доказать, что сумма главных миноров порядка $k$ матрицы $A \cdot { }^{t} A$ равна сумме квадратов всех миноров порядка $k$ матрицы $A$.

Пусть

Доказать, что

Доказать, что сумма алгебраических дополнений элементов строки определителя не изменится, если ко всем элементам матрицы прибавить одно и то же число.

Доказать, что если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя равны единице, то сумма алгебраических дополнений всех элементов определителя равна самому определителю.

Пусть

где $D$ (определитель порядка $n k$) — кронекеровское произведение определителей $A$ и $B$. Доказать, что $D=A^{k} B^{n}$.

Континуантой называется определитель

Доказать, что если $A, B, C, D$ — квадратные матрицы порядка $n$ и $C \cdot { }^{t} D=D \cdot { }^{t} C$, то

Доказать, что если $A, B, C, D$ — квадратичные формы порядка $n$, причём $C$ или $D$ — невырожденная матрица, и $C D=D C$, то

Вычислить определитель $\left|\begin{array}{cc}c E & A \\ A & c E\end{array}\right|$, где

Доказать, что определитель, получающийся при вычеркивании $k$-го столбца в матрице

равен $\binom {n+1}{k-1}$.

Доказать, что

Перемножив матрицы

доказать, что

Вычислить определитель матрицы $(a_{i j})$ порядка $n$, где:

Доказать, что определитель матрицы $(d_{i j})$ порядка $n$, где $d_{i j}$ — наибольший общий делитель чисел $i$ и $j$, равен $\varphi (1) \varphi (2) \ldots \varphi (n)$.

Пусть $x_{1} \ldots x_{n}, y_{1} \ldots y_{n}$ — числа, причём $x_{i} y_{j} \neq 1$ для всех $i, j=1, \ldots , n, \quad \Delta \left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right), \Delta \left(y_{1}, \ldots , y_{n}\right)$ — определители Вандермонда. Доказать, что