Банк задач по математике

Задача 10.1

(а)(б)(в)

Выяснить, какие из следующих произведений входят в развёрнутое выражение определителей соответствующих порядков и с какими знаками:

?

(а)

$a_{13} a_{22} a_{31} a_{46} a_{55} a_{64}$ ;

(б)

$a_{31} a_{13} a_{52} a_{45} a_{24}$ ;

(в)

$a_{34} a_{21} a_{46} a_{17} a_{73} a_{54} a_{62}$ .

Задача 10.2

Выбрать значения $i, j, k$ так, чтобы произведение

a_{51} a_{i 6} a_{1 j} a_{35} a_{44} a_{6 k}

входило в развёрнутое выражение определителя шестого порядка со знаком минус.

?

Задача 10.3

В развёрнутом выражении определителя

\left[\begin{smallmatrix} x & 1 & 2 & 3 \\ x & x & 1 & 2 \\ 1 & 2 & x & 3 \\ x & 1 & 2 & 2 x \end{smallmatrix}\right]

найти члены, содержащие $x^{4}$ и $x^{3}$ .

?

Задача 10.4

Пользуясь определением, вычислить следующие определители:

?

(а)

$\left[\begin{smallmatrix} a_{11} & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 & \ldots & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \ldots & 0 \\ \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & a_{n 3} & \ldots & a_{n n}\end{smallmatrix}\right] ;$

(б)

$\left[\begin{smallmatrix} 0 & \ldots & 0 & 0 & a_{1 n} \\ 0 & \ldots & 0 & a_{2, n-1} & a_{2 n} \\ \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n 1} & \ldots & a_{n, n-2} & a_{n, n-1} & a_{n n}\end{smallmatrix}\right]$ ;

(в)

$\left|\begin{array}{llll}a & 3 & 0 & 5 \\ 0 & b & 0 & 2 \\ 1 & 2 & c & 3 \\ 0 & 0 & 0 & d\end{array}\right|$ ;

(г)

$\left|\begin{array}{llll}1 & 0 & 2 & a \\ 2 & 0 & b & 0 \\ 3 & c & 4 & 5 \\ d & 0 & 0 & 0\end{array}\right|$ ;

(д)

$\left[\begin{smallmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} \\ a_{31} & a_{32} & 0 & 0 & 0 \\ a_{41} & a_{42} & 0 & 0 & 0 \\ a_{51} & a_{52} & 0 & 0 & 0\end{smallmatrix}\right]$ .

Задача 10.5

Представить в виде многочлена, расположенного по убывающим степеням $t$ , определитель

\left[\begin{smallmatrix} -t & 0 & 0 & \ldots & 0 & a_{1} \\ a_{2} & -t & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & -t & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & a_{n} & -t \end{smallmatrix}\right].

?

Задача 10.6

Вычислить определитель, у которого все элементы главной диагонали равны 1, а элементы столбца с номером $j$ равны $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{j-1}, a_{j+1}, \ldots , a_{n}$ , а остальные элементы равны 0.

?

Задача 10.7

Пусть

\sigma =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & \ldots & n \\ i_{1} & i_{2} & \ldots & i_{n} \end{smallmatrix}\right] \in \mathbf{S}_{n}

и $A$ — квадратная матрица размера $n$ с элементами $a_{r s}$ , причём $a_{r s}=1$ , если $s=i_{r}$ , и $a_{r s}=0$ в противном случае. Доказать, что определитель матрицы $A$ равен знаку подстановки $\sigma$ .

?

Выражение определителя. Индуктивное определение