СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Пусть $\eta$ — случайная величина с функцией распределения $F(x)$. Найти все конечномерные распределения случайного процесса $\xi (t) = \eta + t$, его математическое ожидание $m(t)$ и ковариационную функцию $B(t, s)$.

Пусть $\eta$ — случайная величина с равномерным на отрезке $[0, 1]$ распределением. Найти все конечномерные распределения случайного процесса $\xi (t) = \; \mathbb {1}_{t < \eta }$, $t \in [0, 1]$, его математическое ожидание $m(t)$ и ковариационную функцию $B(t, s)$.

Пусть случайная величина $\xi$ имеет нормальное распределение с математическим ожиданием $a$ и дисперсией $\sigma^{2}$; $b \in \mathbb {R}$. Найти все конечномерные распределения случайного процесса $\xi (t) = \xi t + b$, его математическое ожидание $m(t)$ и ковариационную функцию $B(t, s)$.

Пусть $\phi$ — случайная величина с плотностью $\cos x$ при $x \in [0, \pi /2]$; $a$ и $\omega$ — положительные постоянные. Является ли случайный процесс $\xi (t) = a\sin (\omega t + \phi )$ стационарным?

Пусть $\xi$ и $\eta$ — некоррелированные случайные величины с нулевыми средними значениями и конечными дисперсиями, а $\alpha , \beta > 0$ — некоторые постоянные. Найти математическое ожидание $m(t)$ и ковариационную функцию $B(t, s)$ случайного процесса $\xi (t) = \xi e^{-\alpha t} + \eta e^{-\beta t}$.

Пусть $\xi$ и $\eta$ — некоррелированные случайные величины с нулевыми средними значениями и единичными дисперсиями. Найти математическое ожидание $m(t)$ и ковариационную функцию $B(t, s)$ случайного процесса $\xi (t) = t + \xi \cos \gamma t + \eta \sin \gamma t$.

Пусть $\xi (t)$ — дифференцируемый случайный процесс с математическим ожиданием $m(t)$ и ковариационной функцией $B(t, s)$. Найти математическое ожидание и ковариационную функцию его производной $\dfrac {d\xi (t)}{dt}$.

Пусть случайный процесс $\xi (t)$ имеет среднее значение $m(t) = t^{2} - 1$ и ковариационную функцию $B(t, s) = 2e^{-\alpha (s-t)^{2}}$. Найти математическое ожидание и ковариационную функцию случайного процесса:

Пусть $\xi (t)$ — случайный процесс с математическим ожиданием $m(t)$ и ковариационной функцией $B(t, s)$; траектории процесса непрерывны с вероятностью 1. Найти математическое ожидание и ковариационную функцию интеграла

Пусть случайный процесс $\xi (t)$ равен $\eta \cos (\gamma t - \theta )$, где $\eta$ — случайная величина с нулевым средним значением и дисперсией $\sigma^{2}$; $\theta$ — случайная величина с равномерным на отрезке $[0, 2\pi ]$ распределением; $\gamma$ — неслучайный параметр. Случайные величины $\eta$ и $\theta$ независимы. Найти математическое ожидание и ковариационную функцию процесса $\xi (t)$. При каких условиях $\xi (t)$ — стационарный процесс?

Пусть случайный процесс $\xi (t)$ равен $\sigma \cos 2\pi (\xi t + \eta )$, где $\sigma$ — положительная постоянная, $\xi$ — случайная величина с плотностью $f(x)$, причём $0 \leq \xi \leq 1/2$, а $\eta$ — случайная величина с равномерным на отрезке $[-1/2, 1/2]$ распределением. Случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы. Доказать, что $\xi (t)$ — стационарный процесс. Найти его ковариационную функцию и спектральную плотность.

Пусть $\xi (t) = \eta_{1}f_{1}(t) + \ldots + \eta_{n}f_{n}(t)$, где $\eta_{1}, \ldots , \eta_{n}$ — некоррелированные случайные величины с нулевыми средними значениями и дисперсиями $\sigma_{1}^{2}, \ldots , \sigma_{n}^{2}$ соответственно, а $f_{1}, \ldots , f_{n}$ — неслучайные функции. Найти математическое ожидание и ковариационную функцию процесса $\xi (t)$.

Показать, что не существует никакого стационарного процесса, ковариационная функция $b(s-t) = B(t, s)$ которого постоянна и отлична от нуля в каком-то интервале $(-t_{1}, t_{1})$ и равна нулю вне его.

Найти спектральную плотность стационарного процесса, если его ковариационная функция равна:

Пусть спектральная плотность стационарного процесса равна

Найти ковариационную функцию процесса.

Пусть $\xi (t)$ — стационарный процесс, дифференцируемый в среднеквадратичном. Доказать, что при любом фиксированном $t$ значения процесса $\xi (t)$ и его производной $\dfrac {d\xi (t)}{dt}$ не коррелированы.

Пусть $\xi (t)$ и $\eta (t)$ — стационарные процессы, заданные на одном вероятностном пространстве. Является ли сумма $\xi (t) + \eta (t)$ стационарным процессом?

Пусть $\xi (t)$ и $\eta (t)$ — стационарные процессы, заданные на одном вероятностном пространстве, причём $\{ \xi (t)\}$ не зависит от $\{ \eta (t)\}$. Является ли сумма $\xi (t) + \eta (t)$ стационарным процессом?

Пусть $\xi (t)$ — стационарный процесс. Выяснить условия, при которых процесс $\xi (t)$ сходится по вероятности при $t \to \infty$.

Пусть $\xi (t)$ — случайный процесс такой, что все $\xi (t)$ независимы друг от друга и имеют одинаковую плотность распределения $p$. Докажите, что этот процесс не является стохастически непрерывным ни в какой точке.

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины, причём $\eta$ имеет симметричное распределение и $\mathbb {P}\left(\eta = 0\right) = 0$. Найти вероятность того, что реализации случайного процесса $\xi (t) = \xi + t(\eta + t)$, $t \geq 0$, возрастают.

Пусть $(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ — вероятностное пространство, представляющее собой отрезок $[0, 1]$ с $\sigma$-алгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега. Рассмотрим случайный процесс $\xi (t, \omega )$, определённый следующим образом:

Показать, что процесс $\xi (t, \omega )$ стохастически непрерывен, но все его траектории разрывны в каждой точке.

Построить пример случайного процесса, для которого множество элементарных исходов, на которых процесс непрерывен, не является событием.

Пусть $w(t)$ — винеровский процесс. Является ли процесс $\eta (t)$ марковским, если

Пусть $w(t)$ — винеровский процесс. Является ли процесс $\eta (t)$ марковским, если

Пусть $w(t)$ — винеровский процесс. Является ли процесс $\eta (t) = w(t) - \left[w(t)\right]$ марковским, где $\left[x\right]$ — целая часть числа $x$?

Найти ковариационную функцию винеровского процесса.

Доказать, что винеровский процесс не дифференцируем по вероятности.

Пусть $w(t)$ — стандартный винеровский процесс. Найти ковариационную функцию случайного процесса $w^{(0)}(t) = w(t) - tw(1)$, рассматриваемого на отрезке времени $t \in [0, 1]$.

Пусть $w(t)$ — стандартный винеровский процесс. Найти ковариационную функцию процесса $e^{-bt}w(ae^{2bt})$, где $a$ и $b$ — действительные числа (этот процесс называется процессом Орнштейна — Уленбека).

Пусть $w(t)$ — стандартный винеровский процесс. Найдите совместное распределение $w(t)$ и $\displaystyle \int_{0}^{t} w(s)\, ds$, $t \geq 0$.

Пусть $w(t)$ — стандартный винеровский процесс. Доказать, что случайный процесс $w^{(1)}(t) = tw(1/t)$ тоже стандартный винеровский.

Пусть $w(t)$ — винеровский процесс с нулевым сносом. Доказать, что процесс

тоже винеровский.

Пусть $w(t)$ — трёхмерный винеровский процесс, выходящий из нуля. Доказать, что с вероятностью 1

Пусть $w(t)$ — стандартный винеровский процесс. Найти распределения следующих стохастических интегралов:

Пусть $w(t)$ — стандартный винеровский процесс. Выяснить, какие из следующих процессов винеровские:

Пусть $w_{1}(t)$ и $w_{2}(t)$ — независимые стандартные винеровские процессы. Для каких $c_{1}$ и $c_{2}$ случайный процесс $c_{1}w_{1}(t) + c_{2}w_{2}(t)$ будет стандартным винеровским?

Пусть $w(t)$ — стандартный винеровский процесс. Найти ковариационную функцию случайного процесса $w^{(0)}(t) = (1-t)w(t/(1-t))$, $t \in [0, 1)$, $w^{(0)}(1) = 0$.

Докажите, что квадратичная вариация стандартного винеровского процесса $w(t)$ конечна, т.е.

сходится в среднеквадратичном к $t$ при $n \to \infty$.

Пусть $w(t)$ — стандартный винеровский процесс. Найти предел в среднеквадратическом при $n \to \infty$:

Пусть $\xi (t)$ — пуассоновский процесс с параметром $\lambda$. Предположим, что каждое событие «регистрируется» с вероятностью $p$ независимо от остальных событий. Пусть $\eta (t)$ — процесс, скачки которого происходят лишь в моменты наступления «зарегистрированных» событий. Доказать, что

Пусть $\xi_{1}(t)$ и $\xi_{2}(t)$ — два независимых пуассоновских процесса с параметрами $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$. Доказать, что

Пусть $(\xi (t), \eta (t))$ — двумерный случайный процесс, где $\xi (t)$ — пуассоновский процесс с параметром $\lambda$, а $\eta (t)$ — пуассоновский процесс с параметром $\mu$, не зависящий от $\xi (t)$. При условии что процесс находится в состоянии $(x_{0}, y_{0})$ в момент $t=0$, $x_{0}+y_{0} < z$, найти вероятность пересечения процессом прямой $x'+y'=z$ в точке $(x, y)$ этой прямой.

Рассмотрим пуассоновский процесс с переменной интенсивностью, т.е. вероятность присутствия скачка в интервале времени $(t, t+h)$ не зависит от предыстории и равна $\lambda (t)h + o(h)$ при $h \to 0$ (заметим, что $\lambda$ может зависеть от $t$).

Найти ковариационную функцию пуассоновского процесса:

Пусть $\{ \tau_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ — последовательные моменты скачков пуассоновского процесса с интенсивностью $\lambda$. Доказать, что для любого $T>0$

Доказать, что пуассоновский процесс:

Пусть имеется пуассоновский процесс с интенсивностью $\lambda$. Пусть процесс $\xi (t)$ принимает значения $-1$ и $1$, причём с течением времени $\xi (t)$ меняет свое значение с $-1$ на $1$ и наоборот при наступлении каждого скачка в пуассоновском процессе. Пусть $\mathbb {P}\left(\xi (0)=-1\right) = \mathbb {P}\left(\xi (0)=1\right) = 1/2$. Найти ковариационную функцию процесса $\xi (t)$. Будет ли процесс $\xi (t)$ стационарным?

Пусть имеется пуассоновский процесс с интенсивностью $\lambda$ и последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин $\{ \eta_{n}\}$, при этом процесс и $\{ \eta_{n}\}$ независимы между собой. Определим процесс $\xi (t)$ следующим образом: $\xi (t) = \eta_{n}$, если момент времени $t$ лежит в промежутке между $n$-м и $(n+1)$-м скачками пуассоновского процесса. Найти ковариационную функцию процесса $\xi (t)$. Будет ли процесс $\xi (t)$ стационарным?

Случайно расположенные на плоскости точки образуют пуассоновское поле с интенсивностью $\lambda$, т.е. число точек в любой области $S$ площади $\operatorname {mes} S$ имеет пуассоновское распределение с параметром $\lambda \operatorname {mes} S$, причём числа точек в непересекающихся областях независимы. Пусть $\rho_{1} \leq \rho_{2} \leq \ldots$ — упорядоченные по возрастанию расстояния от начала координат до точек этого поля.

В условиях задачи 33.10 доказать, что координаты $(\xi , \eta )$ ближайшей к началу координат точки распределены по нормальному закону со средними $m_{\xi } = m_{\eta } = 0$ и дисперсиями $\sigma_{\xi }^{2} = \sigma_{\eta }^{2} = 1/2\pi \lambda$.

Случайно расположенные в трёхмерном пространстве точки образуют пуассоновское поле с интенсивностью $\lambda$. Ответить на вопросы задачи 33.10.

Пусть $\pi (t)$ — пуассоновский процесс с параметром 1. Найти распределение стохастического интеграла

Для пуассоновского потока интенсивности 7 событий в единицу времени найти вероятность того, что

Пусть происходит в среднем 4 аварии в месяц. Найти вероятность того, что

Пусть времена прихода покупателей в магазин образуют пуассоновский процесс с интенсивностью 1 в минуту.

Пусть телефонные звонки поступают в пуассоновском потоке с интенсивностью $\lambda =4$ в минуту. Найти вероятность того, что 12-й звонок поступит

Пусть $\xi (t)$ — пуассоновский процесс с параметром $\lambda$. Пусть $0 < t_{1} < t_{2} < t_{3}$ и $0 < m < n$. Найти

Поезд отправляется в момент времени $s > 0$. Начиная с момента $t=0$, пассажиры приходят в пуассоновском потоке с интенсивностью $\lambda$. Доказать, что среднее суммарное время ожидания пассажиров равно $\lambda s^{2}/2$.

Предположим, что моменты времени, в которые происходят аварии по вине водителя-мужчины и водителя-женщины, образуют независимые пуассоновские процессы с интенсивностями 10 и 2 соответственно. Найти вероятность того, что 8-я авария по вине водителя-мужчины произойдет раньше, чем 4-я авария по вине водителя-женщины.

У страховой компании имеется $n$ различных страховых полисов. Предположим, что общий процесс поступления страховых требований — пуассоновский с интенсивностью $\lambda$, и что каждое требование может относиться к каждому полису с одной и той же вероятностью $1/n$. Найти математическое ожидание и дисперсию количества различных типов полисов, по которым поступили требования в течение единицы времени.

Ваня собирает марки. Он очень хочет купить некоторый набор из двух марок 1930 года выпуска, скажем, зеленую и синюю. Предположим, что зеленые марки появляются в продаже (и исчезают) в пуассоновском потоке с интенсивностью $\lambda_{1}$ (в год), а синие — в независимом от первого пуассоновском потоке с интенсивностью $\lambda_{2}$. Найти математическое ожидание момента времени, нужного для приобретения хотя бы одной марки каждого цвета.

Построить стационарную последовательность, ковариационная функция $b(n)$ которой равна 1 при чётном $n$ и 0 при нечётном $n$.

Пусть $\xi$ — случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение. Положим $\xi_{n} = \xi$ для любого целого $n$. Является ли случайная последовательность $\{ \xi_{n}\}$ стационарной? Если да, найти её спектральную меру и спектральное представление.

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины, каждая из которых принимает значения $-1$ и $1$ с вероятностями $1/2$. Положим $\xi_{2n+1} = \xi$ и $\xi_{2n} = \eta$ для любого целого $n$. Является ли случайная последовательность $\{ \xi_{n}\}$ стационарной? Если да, найти её спектральную меру и спектральное представление.

Пусть $\xi$ и $\eta$ — некоррелированные случайные величины, каждая из которых имеет стандартное нормальное распределение. Положим $\xi_{2n+1} = \xi$ и $\xi_{2n} = \eta$ для любого целого $n$. Является ли случайная последовательность $\{ \xi_{n}\}$ стационарной? Если да, найти её спектральную меру и спектральное представление.

Пусть $\ldots , \eta_{-1}, \eta_{0}, \eta_{1}, \ldots$ — независимые случайные величины, имеющие равномерное распределение на отрезке $[-2, 2]$. Положим $\xi_{n} = \eta_{n-1}\eta_{n}$ для любого целого $n$. Является ли случайная последовательность $\{ \xi_{n}\}$ стационарной? Если да, найти разложение этой последовательности на детерминированную и вполне недетерминированную составляющие, а также построить наилучший линейный прогноз $\xi_{1}$ по наблюдениям $\{ \xi_{n}, n \leq 0\}$.

Пусть $\ldots , \eta_{-1}, \eta_{0}, \eta_{1}, \ldots$ — некоррелированные случайные величины с нулевыми средними значениями и единичными дисперсиями. Положим $\xi_{n} = \eta_{n-3}+\eta_{n-2}+\eta_{n-1}+\eta_{n}$ для любого целого $n$. Является ли случайная последовательность $\{ \xi_{n}\}$ стационарной? Если да, найти разложение этой последовательности на детерминированную и вполне недетерминированную составляющие, а также построить наилучший линейный прогноз $\xi_{2}$ по наблюдениям $\{ \xi (n), n \leq 0\}$.

Пусть $\ldots , \eta_{-1}, \eta_{0}, \eta_{1}, \ldots$ — независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение. Положим $\xi_{n} = \eta_{n-2}+\eta_{n-1}+\eta_{n}$. Является ли случайная последовательность $\{ \xi_{n}\}$ стационарной? Если да, найти разложение этой последовательности на детерминированную и вполне недетерминированную составляющие, а также построить наилучший линейный прогноз $\xi_{1}$ по наблюдениям $\{ \xi_{n}, n \leq 0\}$.

Пусть $\ldots , \eta_{-1}, \eta_{0}, \eta_{1}, \ldots$ и $\xi$ — независимые случайные величины, имеющие равномерное распределение на отрезке $[-1, 1]$. Положим $\xi_{n} = \eta_{n-1}+\eta_{n}+\xi$ для любого целого $n$. Является ли случайная последовательность $\{ \xi_{n}\}$ стационарной? Если да, найти разложение этой последовательности на детерминированную и вполне недетерминированную составляющие, а также построить наилучший линейный прогноз $\xi_{1}$ по наблюдениям $\{ \xi_{n}, n \leq 0\}$.

Пусть $w(u)$ — стандартный винеровский процесс. Найти распределения следующих случайных последовательностей:

Пусть $\xi_{0}, \xi_{1}, \ldots$ — ветвящийся процесс, где $\xi_{0} = 1$ и $\mathbb {E}\left[\xi_{1}\right] = m$. Найти $\mathbb {E}\left[\xi_{n+k} \mid \xi_{n}\right]$.

Найти производящую функцию числа частиц в $n$-м поколении, если производящая функция потомков одной частицы равна $pz + 1 - p$.

Найти производящую функцию числа частиц во втором поколении, если производящая функция потомков одной частицы равна:

Найти вероятность вырождения ветвящегося процесса, если производящая функция числа потомков одной частицы равна:

В задаче 35.4 а)–в) найти распределение времени вырождения ветвящегося процесса.

Пусть $\xi_{n}$ — ветвящийся процесс с начальным размером популяции $N$ и производящей функцией $\phi (z) = 1-p+pz$. Найти распределение времени $\tau$ вырождения процесса.

Пусть $\xi_{0}, \xi_{1}, \ldots$ — ветвящийся процесс, $\xi_{0} = 1$. Доказать, что

Найти производящую функцию общего числа частиц в первых $n$ поколениях, если производящая функция непосредственных потомков одной частицы равна $pz + 1 - p$.

Пусть частица имеет $k$ прямых потомков с вероятностью $p_{k} = bc^{k-1}$, $k=1,2,\ldots$, и $p_{0} = 1 - p_{1} - p_{2} - \ldots$, где $b, c > 0$ и $b + c < 1$. Найти производящую функцию непосредственных потомков одной частицы.

Рассмотрим ветвящийся процесс $\xi_{0}, \xi_{1}, \ldots$ с производящей функцией

где $0 < c < b+c < 1$ и $1-b-c > c(1-c)$. Найти

Пусть в ветвящемся процессе $\xi_{0}, \xi_{1}, \ldots$ из задачи 35.10 выполняется $1-b-c = c(1-c)$. Найти

Доказать, что процесс Пуассона с интенсивностью $\lambda$ является однородным скачкообразным марковским процессом. Найти переходную функцию этого процесса.

Доказать, что переходные вероятности однородного скачкообразного марковского процесса удовлетворяют уравнению Колмогорова — Чепмена:

Доказать, что в случае дифференцируемости переходные вероятности однородного скачкообразного марковского процесса с конечным числом состояний удовлетворяют прямым уравнениям Колмогорова

а также обратным уравнениям Колмогорова

Пусть однородный скачкообразный марковский процесс имеет два состояния 0 и 1, где, к примеру, 0 означает, что некоторый субъект здоров, а 1 — что он болен. Найти переходные вероятности, если матрица переходных интенсивностей равна

при некоторых $\lambda , \mu > 0$. Найти предел переходных вероятностей $p_{ij}(t)$ при $t \to \infty$.

Пусть $\xi (t)$ — однородный скачкообразный марковский процесс с матрицей интенсивностей перехода $Q = \left\| q_{ij}\right\|$. Доказать, что если в момент времени $t$ процесс $\xi (\cdot )$ находится в состоянии $x_{i}$, то распределение времени до следующего скачка процесса является экспоненциальным с параметром $q_{ii}$, независимо от предыстории процесса до момента $t$, а в момент следующего скачка процесс переходит в состояние $x_{j} \neq x_{i}$ с вероятностью $-q_{ij}/q_{ii}$ независимо от времени скачка и от предыстории процесса до него.