Пуассоновский процесс

Пусть $\xi (t)$ — пуассоновский процесс с параметром $\lambda$. Предположим, что каждое событие «регистрируется» с вероятностью $p$ независимо от остальных событий. Пусть $\eta (t)$ — процесс, скачки которого происходят лишь в моменты наступления «зарегистрированных» событий. Доказать, что

Пусть $\xi_{1}(t)$ и $\xi_{2}(t)$ — два независимых пуассоновских процесса с параметрами $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$. Доказать, что

Пусть $(\xi (t), \eta (t))$ — двумерный случайный процесс, где $\xi (t)$ — пуассоновский процесс с параметром $\lambda$, а $\eta (t)$ — пуассоновский процесс с параметром $\mu$, не зависящий от $\xi (t)$. При условии что процесс находится в состоянии $(x_{0}, y_{0})$ в момент $t=0$, $x_{0}+y_{0} < z$, найти вероятность пересечения процессом прямой $x'+y'=z$ в точке $(x, y)$ этой прямой.

Рассмотрим пуассоновский процесс с переменной интенсивностью, т.е. вероятность присутствия скачка в интервале времени $(t, t+h)$ не зависит от предыстории и равна $\lambda (t)h + o(h)$ при $h \to 0$ (заметим, что $\lambda$ может зависеть от $t$).

Найти ковариационную функцию пуассоновского процесса:

Пусть $\{ \tau_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ — последовательные моменты скачков пуассоновского процесса с интенсивностью $\lambda$. Доказать, что для любого $T>0$

Доказать, что пуассоновский процесс:

Пусть имеется пуассоновский процесс с интенсивностью $\lambda$. Пусть процесс $\xi (t)$ принимает значения $-1$ и $1$, причём с течением времени $\xi (t)$ меняет свое значение с $-1$ на $1$ и наоборот при наступлении каждого скачка в пуассоновском процессе. Пусть $\mathbb {P}\left(\xi (0)=-1\right) = \mathbb {P}\left(\xi (0)=1\right) = 1/2$. Найти ковариационную функцию процесса $\xi (t)$. Будет ли процесс $\xi (t)$ стационарным?

Пусть имеется пуассоновский процесс с интенсивностью $\lambda$ и последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин $\{ \eta_{n}\}$, при этом процесс и $\{ \eta_{n}\}$ независимы между собой. Определим процесс $\xi (t)$ следующим образом: $\xi (t) = \eta_{n}$, если момент времени $t$ лежит в промежутке между $n$-м и $(n+1)$-м скачками пуассоновского процесса. Найти ковариационную функцию процесса $\xi (t)$. Будет ли процесс $\xi (t)$ стационарным?

Случайно расположенные на плоскости точки образуют пуассоновское поле с интенсивностью $\lambda$, т.е. число точек в любой области $S$ площади $\operatorname {mes} S$ имеет пуассоновское распределение с параметром $\lambda \operatorname {mes} S$, причём числа точек в непересекающихся областях независимы. Пусть $\rho_{1} \leq \rho_{2} \leq \ldots$ — упорядоченные по возрастанию расстояния от начала координат до точек этого поля.

В условиях задачи 33.10 доказать, что координаты $(\xi , \eta )$ ближайшей к началу координат точки распределены по нормальному закону со средними $m_{\xi } = m_{\eta } = 0$ и дисперсиями $\sigma_{\xi }^{2} = \sigma_{\eta }^{2} = 1/2\pi \lambda$.

Случайно расположенные в трёхмерном пространстве точки образуют пуассоновское поле с интенсивностью $\lambda$. Ответить на вопросы задачи 33.10.

Пусть $\pi (t)$ — пуассоновский процесс с параметром 1. Найти распределение стохастического интеграла

Для пуассоновского потока интенсивности 7 событий в единицу времени найти вероятность того, что

Пусть происходит в среднем 4 аварии в месяц. Найти вероятность того, что

Пусть времена прихода покупателей в магазин образуют пуассоновский процесс с интенсивностью 1 в минуту.

Пусть телефонные звонки поступают в пуассоновском потоке с интенсивностью $\lambda =4$ в минуту. Найти вероятность того, что 12-й звонок поступит

Пусть $\xi (t)$ — пуассоновский процесс с параметром $\lambda$. Пусть $0 < t_{1} < t_{2} < t_{3}$ и $0 < m < n$. Найти

Поезд отправляется в момент времени $s > 0$. Начиная с момента $t=0$, пассажиры приходят в пуассоновском потоке с интенсивностью $\lambda$. Доказать, что среднее суммарное время ожидания пассажиров равно $\lambda s^{2}/2$.

Предположим, что моменты времени, в которые происходят аварии по вине водителя-мужчины и водителя-женщины, образуют независимые пуассоновские процессы с интенсивностями 10 и 2 соответственно. Найти вероятность того, что 8-я авария по вине водителя-мужчины произойдет раньше, чем 4-я авария по вине водителя-женщины.

У страховой компании имеется $n$ различных страховых полисов. Предположим, что общий процесс поступления страховых требований — пуассоновский с интенсивностью $\lambda$, и что каждое требование может относиться к каждому полису с одной и той же вероятностью $1/n$. Найти математическое ожидание и дисперсию количества различных типов полисов, по которым поступили требования в течение единицы времени.

Ваня собирает марки. Он очень хочет купить некоторый набор из двух марок 1930 года выпуска, скажем, зеленую и синюю. Предположим, что зеленые марки появляются в продаже (и исчезают) в пуассоновском потоке с интенсивностью $\lambda_{1}$ (в год), а синие — в независимом от первого пуассоновском потоке с интенсивностью $\lambda_{2}$. Найти математическое ожидание момента времени, нужного для приобретения хотя бы одной марки каждого цвета.