Ветвящиеся процессы с дискретным временем

Пусть $\xi_{0}, \xi_{1}, \ldots$ — ветвящийся процесс, где $\xi_{0} = 1$ и $\mathbb {E}\left[\xi_{1}\right] = m$. Найти $\mathbb {E}\left[\xi_{n+k} \mid \xi_{n}\right]$.

Найти производящую функцию числа частиц в $n$-м поколении, если производящая функция потомков одной частицы равна $pz + 1 - p$.

Найти производящую функцию числа частиц во втором поколении, если производящая функция потомков одной частицы равна:

Найти вероятность вырождения ветвящегося процесса, если производящая функция числа потомков одной частицы равна:

В задаче 35.4 а)–в) найти распределение времени вырождения ветвящегося процесса.

Пусть $\xi_{n}$ — ветвящийся процесс с начальным размером популяции $N$ и производящей функцией $\phi (z) = 1-p+pz$. Найти распределение времени $\tau$ вырождения процесса.

Пусть $\xi_{0}, \xi_{1}, \ldots$ — ветвящийся процесс, $\xi_{0} = 1$. Доказать, что

Найти производящую функцию общего числа частиц в первых $n$ поколениях, если производящая функция непосредственных потомков одной частицы равна $pz + 1 - p$.

Пусть частица имеет $k$ прямых потомков с вероятностью $p_{k} = bc^{k-1}$, $k=1,2,\ldots$, и $p_{0} = 1 - p_{1} - p_{2} - \ldots$, где $b, c > 0$ и $b + c < 1$. Найти производящую функцию непосредственных потомков одной частицы.

Рассмотрим ветвящийся процесс $\xi_{0}, \xi_{1}, \ldots$ с производящей функцией

где $0 < c < b+c < 1$ и $1-b-c > c(1-c)$. Найти

Пусть в ветвящемся процессе $\xi_{0}, \xi_{1}, \ldots$ из задачи 35.10 выполняется $1-b-c = c(1-c)$. Найти