Линейная теория случайных последовательностей

Построить стационарную последовательность, ковариационная функция $b(n)$ которой равна 1 при чётном $n$ и 0 при нечётном $n$.

Пусть $\xi$ — случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение. Положим $\xi_{n} = \xi$ для любого целого $n$. Является ли случайная последовательность $\{ \xi_{n}\}$ стационарной? Если да, найти её спектральную меру и спектральное представление.

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины, каждая из которых принимает значения $-1$ и $1$ с вероятностями $1/2$. Положим $\xi_{2n+1} = \xi$ и $\xi_{2n} = \eta$ для любого целого $n$. Является ли случайная последовательность $\{ \xi_{n}\}$ стационарной? Если да, найти её спектральную меру и спектральное представление.

Пусть $\xi$ и $\eta$ — некоррелированные случайные величины, каждая из которых имеет стандартное нормальное распределение. Положим $\xi_{2n+1} = \xi$ и $\xi_{2n} = \eta$ для любого целого $n$. Является ли случайная последовательность $\{ \xi_{n}\}$ стационарной? Если да, найти её спектральную меру и спектральное представление.

Пусть $\ldots , \eta_{-1}, \eta_{0}, \eta_{1}, \ldots$ — независимые случайные величины, имеющие равномерное распределение на отрезке $[-2, 2]$. Положим $\xi_{n} = \eta_{n-1}\eta_{n}$ для любого целого $n$. Является ли случайная последовательность $\{ \xi_{n}\}$ стационарной? Если да, найти разложение этой последовательности на детерминированную и вполне недетерминированную составляющие, а также построить наилучший линейный прогноз $\xi_{1}$ по наблюдениям $\{ \xi_{n}, n \leq 0\}$.

Пусть $\ldots , \eta_{-1}, \eta_{0}, \eta_{1}, \ldots$ — некоррелированные случайные величины с нулевыми средними значениями и единичными дисперсиями. Положим $\xi_{n} = \eta_{n-3}+\eta_{n-2}+\eta_{n-1}+\eta_{n}$ для любого целого $n$. Является ли случайная последовательность $\{ \xi_{n}\}$ стационарной? Если да, найти разложение этой последовательности на детерминированную и вполне недетерминированную составляющие, а также построить наилучший линейный прогноз $\xi_{2}$ по наблюдениям $\{ \xi (n), n \leq 0\}$.

Пусть $\ldots , \eta_{-1}, \eta_{0}, \eta_{1}, \ldots$ — независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение. Положим $\xi_{n} = \eta_{n-2}+\eta_{n-1}+\eta_{n}$. Является ли случайная последовательность $\{ \xi_{n}\}$ стационарной? Если да, найти разложение этой последовательности на детерминированную и вполне недетерминированную составляющие, а также построить наилучший линейный прогноз $\xi_{1}$ по наблюдениям $\{ \xi_{n}, n \leq 0\}$.

Пусть $\ldots , \eta_{-1}, \eta_{0}, \eta_{1}, \ldots$ и $\xi$ — независимые случайные величины, имеющие равномерное распределение на отрезке $[-1, 1]$. Положим $\xi_{n} = \eta_{n-1}+\eta_{n}+\xi$ для любого целого $n$. Является ли случайная последовательность $\{ \xi_{n}\}$ стационарной? Если да, найти разложение этой последовательности на детерминированную и вполне недетерминированную составляющие, а также построить наилучший линейный прогноз $\xi_{1}$ по наблюдениям $\{ \xi_{n}, n \leq 0\}$.

Пусть $w(u)$ — стандартный винеровский процесс. Найти распределения следующих случайных последовательностей: