Общие свойства

Пусть $\eta$ — случайная величина с функцией распределения $F(x)$. Найти все конечномерные распределения случайного процесса $\xi (t) = \eta + t$, его математическое ожидание $m(t)$ и ковариационную функцию $B(t, s)$.

Пусть $\eta$ — случайная величина с равномерным на отрезке $[0, 1]$ распределением. Найти все конечномерные распределения случайного процесса $\xi (t) = \; \mathbb {1}_{t < \eta }$, $t \in [0, 1]$, его математическое ожидание $m(t)$ и ковариационную функцию $B(t, s)$.

Пусть случайная величина $\xi$ имеет нормальное распределение с математическим ожиданием $a$ и дисперсией $\sigma^{2}$; $b \in \mathbb {R}$. Найти все конечномерные распределения случайного процесса $\xi (t) = \xi t + b$, его математическое ожидание $m(t)$ и ковариационную функцию $B(t, s)$.

Пусть $\phi$ — случайная величина с плотностью $\cos x$ при $x \in [0, \pi /2]$; $a$ и $\omega$ — положительные постоянные. Является ли случайный процесс $\xi (t) = a\sin (\omega t + \phi )$ стационарным?

Пусть $\xi$ и $\eta$ — некоррелированные случайные величины с нулевыми средними значениями и конечными дисперсиями, а $\alpha , \beta > 0$ — некоторые постоянные. Найти математическое ожидание $m(t)$ и ковариационную функцию $B(t, s)$ случайного процесса $\xi (t) = \xi e^{-\alpha t} + \eta e^{-\beta t}$.

Пусть $\xi$ и $\eta$ — некоррелированные случайные величины с нулевыми средними значениями и единичными дисперсиями. Найти математическое ожидание $m(t)$ и ковариационную функцию $B(t, s)$ случайного процесса $\xi (t) = t + \xi \cos \gamma t + \eta \sin \gamma t$.

Пусть $\xi (t)$ — дифференцируемый случайный процесс с математическим ожиданием $m(t)$ и ковариационной функцией $B(t, s)$. Найти математическое ожидание и ковариационную функцию его производной $\dfrac {d\xi (t)}{dt}$.

Пусть случайный процесс $\xi (t)$ имеет среднее значение $m(t) = t^{2} - 1$ и ковариационную функцию $B(t, s) = 2e^{-\alpha (s-t)^{2}}$. Найти математическое ожидание и ковариационную функцию случайного процесса:

Пусть $\xi (t)$ — случайный процесс с математическим ожиданием $m(t)$ и ковариационной функцией $B(t, s)$; траектории процесса непрерывны с вероятностью 1. Найти математическое ожидание и ковариационную функцию интеграла

Пусть случайный процесс $\xi (t)$ равен $\eta \cos (\gamma t - \theta )$, где $\eta$ — случайная величина с нулевым средним значением и дисперсией $\sigma^{2}$; $\theta$ — случайная величина с равномерным на отрезке $[0, 2\pi ]$ распределением; $\gamma$ — неслучайный параметр. Случайные величины $\eta$ и $\theta$ независимы. Найти математическое ожидание и ковариационную функцию процесса $\xi (t)$. При каких условиях $\xi (t)$ — стационарный процесс?

Пусть случайный процесс $\xi (t)$ равен $\sigma \cos 2\pi (\xi t + \eta )$, где $\sigma$ — положительная постоянная, $\xi$ — случайная величина с плотностью $f(x)$, причём $0 \leq \xi \leq 1/2$, а $\eta$ — случайная величина с равномерным на отрезке $[-1/2, 1/2]$ распределением. Случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы. Доказать, что $\xi (t)$ — стационарный процесс. Найти его ковариационную функцию и спектральную плотность.

Пусть $\xi (t) = \eta_{1}f_{1}(t) + \ldots + \eta_{n}f_{n}(t)$, где $\eta_{1}, \ldots , \eta_{n}$ — некоррелированные случайные величины с нулевыми средними значениями и дисперсиями $\sigma_{1}^{2}, \ldots , \sigma_{n}^{2}$ соответственно, а $f_{1}, \ldots , f_{n}$ — неслучайные функции. Найти математическое ожидание и ковариационную функцию процесса $\xi (t)$.

Показать, что не существует никакого стационарного процесса, ковариационная функция $b(s-t) = B(t, s)$ которого постоянна и отлична от нуля в каком-то интервале $(-t_{1}, t_{1})$ и равна нулю вне его.

Найти спектральную плотность стационарного процесса, если его ковариационная функция равна:

Пусть спектральная плотность стационарного процесса равна

Найти ковариационную функцию процесса.

Пусть $\xi (t)$ — стационарный процесс, дифференцируемый в среднеквадратичном. Доказать, что при любом фиксированном $t$ значения процесса $\xi (t)$ и его производной $\dfrac {d\xi (t)}{dt}$ не коррелированы.

Пусть $\xi (t)$ и $\eta (t)$ — стационарные процессы, заданные на одном вероятностном пространстве. Является ли сумма $\xi (t) + \eta (t)$ стационарным процессом?

Пусть $\xi (t)$ и $\eta (t)$ — стационарные процессы, заданные на одном вероятностном пространстве, причём $\{ \xi (t)\}$ не зависит от $\{ \eta (t)\}$. Является ли сумма $\xi (t) + \eta (t)$ стационарным процессом?

Пусть $\xi (t)$ — стационарный процесс. Выяснить условия, при которых процесс $\xi (t)$ сходится по вероятности при $t \to \infty$.

Пусть $\xi (t)$ — случайный процесс такой, что все $\xi (t)$ независимы друг от друга и имеют одинаковую плотность распределения $p$. Докажите, что этот процесс не является стохастически непрерывным ни в какой точке.

Пусть $\xi$ и $\eta$ — случайные величины, причём $\eta$ имеет симметричное распределение и $\mathbb {P}\left(\eta = 0\right) = 0$. Найти вероятность того, что реализации случайного процесса $\xi (t) = \xi + t(\eta + t)$, $t \geq 0$, возрастают.

Пусть $(\Omega , \mathscr {F}, \mathbb {P})$ — вероятностное пространство, представляющее собой отрезок $[0, 1]$ с $\sigma$-алгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега. Рассмотрим случайный процесс $\xi (t, \omega )$, определённый следующим образом:

Показать, что процесс $\xi (t, \omega )$ стохастически непрерывен, но все его траектории разрывны в каждой точке.

Построить пример случайного процесса, для которого множество элементарных исходов, на которых процесс непрерывен, не является событием.