Банк задач по математике

Задача 32.1

Пусть $w(t)$ — винеровский процесс. Является ли процесс $\eta (t)$ марковским, если

\eta (t) = \begin{cases} w(t), & \text{если } \max \limits _{0 \leq s \leq t} w(s) < a, \\ a, & \text{иначе.} \end{cases}

?

Примечание.

?

Стохастически непрерывный однородный процесс с независимыми приращениями $\xi (t)$ называется винеровским, если $\xi (0) = 0$ и $\xi (1)$ имеет нормальное распределение. Винеровский процесс $\xi (t)$ называется стандартным, если $\xi (1)$ имеет стандартное нормальное распределение. Всюду далее в этом параграфе рассматриваются непрерывные модификации винеровского процесса.

Задача 32.2

Пусть $w(t)$ — винеровский процесс. Является ли процесс $\eta (t)$ марковским, если

\eta (t) = \begin{cases} w(t), & \text{если } w(t) \leq a, \\ 2a - w(t), & \text{иначе.} \end{cases}

?

Задача 32.3

Пусть $w(t)$ — винеровский процесс. Является ли процесс $\eta (t) = w(t) - \left[w(t)\right]$ марковским, где $\left[x\right]$ — целая часть числа $x$ ?

?

Задача 32.4

Найти ковариационную функцию винеровского процесса.

?

Задача 32.5

Доказать, что винеровский процесс не дифференцируем по вероятности.

?

Задача 32.6

Пусть $w(t)$ — стандартный винеровский процесс. Найти ковариационную функцию случайного процесса $w^{(0)}(t) = w(t) - tw(1)$ , рассматриваемого на отрезке времени $t \in [0, 1]$ .

?

Задача 32.7

Пусть $w(t)$ — стандартный винеровский процесс. Найти ковариационную функцию процесса $e^{-bt}w(ae^{2bt})$ , где $a$ и $b$ — действительные числа (этот процесс называется процессом Орнштейна — Уленбека).

?

Задача 32.8

Пусть $w(t)$ — стандартный винеровский процесс. Найдите совместное распределение $w(t)$ и $\displaystyle \int_{0}^{t} w(s)\, ds$ , $t \geq 0$ .

?

Задача 32.9

Пусть $w(t)$ — стандартный винеровский процесс. Доказать, что случайный процесс $w^{(1)}(t) = tw(1/t)$ тоже стандартный винеровский.

?

Задача 32.10

Пусть $w(t)$ — винеровский процесс с нулевым сносом. Доказать, что процесс

\eta (t) = \begin{cases} w(t), & t \leq T, \\ 2w(T) - w(t), & t > T, \end{cases}

тоже винеровский.

?

Задача 32.11

Пусть $w(t)$ — трёхмерный винеровский процесс, выходящий из нуля. Доказать, что с вероятностью 1

\lim _{t \to \infty } \left|w(t)\right| = \infty .

?

Задача 32.12

(а)(б)

Пусть $w(t)$ — стандартный винеровский процесс. Найти распределения следующих стохастических интегралов:

?

(а)

$\displaystyle \int_{0}^{t} s^{2}\, dw(s)$ ;

(б)

$\displaystyle \int_{0}^{t} e^{s}\, dw(s)$ .

Задача 32.13

(а)(б)(в)(г)

Пусть $w(t)$ — стандартный винеровский процесс. Выяснить, какие из следующих процессов винеровские:

?

(а)

$-w(t)$ ;

(б)

$w(2t) - w(t)$ ;

(в)

$\sqrt{t}w(1)$ ;

(г)

$cw(t/c^{2})$ .

Задача 32.14

Пусть $w_{1}(t)$ и $w_{2}(t)$ — независимые стандартные винеровские процессы. Для каких $c_{1}$ и $c_{2}$ случайный процесс $c_{1}w_{1}(t) + c_{2}w_{2}(t)$ будет стандартным винеровским?

?

Задача 32.15

Пусть $w(t)$ — стандартный винеровский процесс. Найти ковариационную функцию случайного процесса $w^{(0)}(t) = (1-t)w(t/(1-t))$ , $t \in [0, 1)$ , $w^{(0)}(1) = 0$ .

?

Задача 32.16

Докажите, что квадратичная вариация стандартного винеровского процесса $w(t)$ конечна, т.е.

\sum _{j=0}^{n-1} \Bigl(w\Bigl(\frac{(j+1)t}{n}\Bigr) - w\Bigl(\frac{jt}{n}\Bigr)\Bigr)^{2}

сходится в среднеквадратичном к $t$ при $n \to \infty$ .

?

Задача 32.17

(а)(б)(в)(г)

Пусть $w(t)$ — стандартный винеровский процесс. Найти предел в среднеквадратическом при $n \to \infty$ :

?

(а)

$\displaystyle \sum_{j=0}^{n-1} w\Bigl(\frac{jt}{n}\Bigr)\Bigl(w\Bigl(\frac{(j+1)t}{n}\Bigr) - w\Bigl(\frac{jt}{n}\Bigr)\Bigr)$ ;

(б)

$\displaystyle \sum_{j=0}^{n-1} w\Bigl(\frac{(j+1)t}{n}\Bigr)\Bigl(w\Bigl(\frac{(j+1)t}{n}\Bigr) - w\Bigl(\frac{jt}{n}\Bigr)\Bigr)$ ;

(в)

$\displaystyle \sum_{j=0}^{n-1} \frac{1}{2}\Bigl(w\Bigl(\frac{jt}{n}\Bigr) + w\Bigl(\frac{(j+1)t}{n}\Bigr)\Bigr)\Bigl(w\Bigl(\frac{(j+1)t}{n}\Bigr) - w\Bigl(\frac{jt}{n}\Bigr)\Bigr)$ ;

(г)

$\displaystyle \sum_{j=0}^{n-1} w\Bigl(\frac{(j+1/2)t}{n}\Bigr)\Bigl(w\Bigl(\frac{(j+1)t}{n}\Bigr) - w\Bigl(\frac{jt}{n}\Bigr)\Bigr)$ .