Приложения интегрального исчисления

Найти величину определенного интеграла $\int_{0}^{1} \sqrt[m]{x^{n}}\, dx$, $n>0$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt[m]{x^{n}}}$, $m>n$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{0}^{1} \frac{dx}{x^{2}+1}$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{0}^{\infty } \frac{dx}{x^{2}+3}$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{-2}^{-1} \frac{dx}{x}$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{0}^{\pi /3} \tg x\, dx$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{0}^{a} \frac{x\, dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{0}^{a} \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{0}^{\infty } \frac{dx}{x^{2}+a^{2}}$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^{2}}$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^{2}-1}$.

Доказать равенство

Доказать равенство

Найти величину определенного интеграла $\int_{0}^{1} \frac{x^{2}-1}{(x+2)^{4}}\, dx$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{(x^{3}+1)^{2}}\, dx$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{0}^{\infty } \frac{x^{2}(1-x^{2})}{(1+x^{2})^{3}}\, dx$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{1}^{\infty } \frac{dx}{x(1+x^{4})^{3}}$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{1}^{\infty } \frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x^{4}}\, dx$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{0}^{2\pi } \frac{a+\cos x}{1+2a\cos x+a^{2}}\, dx$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{0}^{1} e^{-x}\sin \pi x\, dx$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{0}^{\pi } x^{2}\sin nx\, dx$, $n$ — целое.

Найти величину определенного интеграла $\int_{0}^{\pi /4} \sqrt{\tg x}\, dx$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{-1}^{1} e^{k\arcsin x}\, dx$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{0}^{\infty } \frac{dx}{\sqrt{e^{x}+a^{2}}}$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{0}^{1} \frac{x^{3}\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}\, dx$.

Доказать, что площадь, ограниченная дугой синусоиды $y=\sin x$ и осью $Ox$ между точками $(0,0)$ и $(\pi ,0)$, равна двум квадратным единицам.

Доказать, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу отрезком оси $Ox$ между точками $(N,0)$ и $(2N,0)$, с боков вертикалями, а сверху гиперболой $y=\frac{1}{x}$, равна $\ln 2$.

Доказать, что площадь, ограниченная лемнискатой Бернулли $r^{2}=a^{2}\cos 2\varphi$, равна $a^{2}$.

Доказать, что площадь сегмента между параболой $y=ax^{2}$ и прямой $y=h$ равна $\frac{2}{3}$ произведения основания на высоту. (Архимед.)

Доказать, что объем параболоида вращения, имеющего с данным цилиндром общие основание и высоту, равен половине объема цилиндра. (Архимед.)

Из сосуда, имеющего форму цилиндра с радиусом $a$ и высотой $h$, выливается через край жидкость. Доказать, что в тот момент, когда обнажилась половина дна, объем оставшейся жидкости равен $\frac{2}{3}a^{2}h$. (Архимед.)

Доказать, что объем кувшина, получающегося при вращении синусоиды $y=r+b\sin \frac{2\pi x}{h}$ вокруг оси $Ox$ при $0<x<h$, равен $\pi r^{2}h+\frac{1}{2}\pi b^{2}h$.

Стержень длиной $l$ вращается вокруг своего конца, совершая $n$ оборотов в секунду. Определить величину натяжения в точке прикрепления, если вес единицы длины стержня равен $\sigma$, а центробежная сила для массы $m$, движущейся по окружности радиуса $r$ с угловой скоростью $\omega$, равна $mr\omega^{2}$.

Под действием нагрузки $f$ проволока длиной $l$ с поперечным сечением $s$ и модулем Юнга $E$ получает удлинение $\Delta l$, равное $\frac{fl}{Es}$. Определить удлинение такой проволоки, висящей вертикально, под действием своей тяжести. Удельный вес вещества проволоки равен $\delta$.

От нагрузки в $1$ кг проволока растягивается на $1$ см. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее на $4$ см?

Найти величину давления воды на вертикальную стенку треугольной формы. Высота треугольника $h$, основание $a$ — на поверхности жидкости.

Тот же вопрос для стенки в форме полукруга, диаметр которого $2a$ — на поверхности воды.

Какую работу надо затратить, чтобы насыпать кучу песка конической формы с радиусом $1{,}2$ м и высотой $1$ м, если удельный вес песка $2$?

Найти положение центра тяжести однородного конуса.

Найти центр тяжести полушара с радиусом $R$.

Цилиндр с радиусом $15$ см и высотой $60$ см наполнен воздухом под давлением $1$ кг/см${}^{2}$. Какую работу надо совершить при изотермическом сжатии газа до объема в два раза меньшего?

Точка движется по оси $Ox$, начиная от точки $(1,0)$, так, что скорость ее численно равна абсциссе. Где она будет через $10$ секунд от начала движения?

Электрические заряды отталкиваются друг от друга с силой $\frac{e_{1}e_{2}}{r^{2}}$, где $e_{1}$ и $e_{2}$ — величины зарядов, а $r$ — расстояние между ними. Определить работу, необходимую, чтобы приблизить заряд $e_{2}=1$ к заряду $e_{1}$ из бесконечности на расстояние, равное $R$.

Земля притягивает тело массой $m$ с силой $f=mg\frac{R^{2}}{r^{2}}$, где $R$ — радиус земли, а $r$ — расстояние тела до центра земли ($r \geqslant R$). Определить величину работы, нужной, чтобы удалить тело в бесконечность с поверхности земли.

По закону Джоуля количество тепла, выделяемого постоянным током, равно $Rci^{2}t$, где $c=0{,}24$ — постоянная, $R$ — сопротивление, $t$ — число секунд, $i$ — сила тока. Найти выделяемое тепло для переменного тока $i=a\cos bt$.

По закону Торичелли скорость вытекающей жидкости равна $\sqrt{2gh}$, где $h$ — глубина отверстия под уровнем жидкости. Определить время вытекания жидкости из цилиндра с высотой $h$ и поперечным сечением $s$ сквозь отверстие в дне с площадью $\sigma$.

Тот же вопрос для конической воронки с вершиной внизу; $s$ — площадь основания, $h$ — высота воронки.

Диск толщиной $h$ и радиусом $r$ состоит из вещества с удельным весом $\delta$ и совершает $n$ оборотов в секунду. Какую работу он совершит при торможении?

На картах проекции Меркатора масштаб изображения в отдельных частях ее увеличивается от экватора к полюсу так, что расстояние между двумя меридианами остается постоянным. Расстояние между меридианами, проведенными через $10°$, равно $a$. Найти расстояние между экватором и параллелью $\varphi °$.

Доказать, что площадь $S$ криволинейной трапеции, ограниченной осью $Ox$, прямыми $x=a$, $x=b$ и кубической параболой $y=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D$, можно выразить формулой

где $y_{0}$, $y_{1}$ и $y_{2}$ — ординаты при $x=a$, $\frac{a+b}{2}$ и $b$.

Доказать, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью $Ox$, прямыми $x=-h$, $x=k$ и параболой, проходящей через точки: $(-h,y_{1})$; $(0,y_{2})$; $(k,y_{3})$, можно выразить формулой

Доказать, что площадь $S$ криволинейной трапеции, ограниченной осью $Ox$, прямыми $x=a$, $x=b$ и параболой $y=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D$, можно вычислять по формуле

где $y_{1}$, $y_{2}$, $y_{3}$ — значения $y$ при $x=\frac{a+2}{2}-\frac{b-a}{2}\frac{1}{\sqrt{2}}$, $x=\frac{a+b}{2}$, $x=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\frac{1}{\sqrt{2}}$. (Чебышев.)

Доказать, что такую же площадь для параболы 5-го порядка $y=Ax^{5}+Bx^{4}+Cx^{3}+Dx^{2}+Ex+F$ можно вычислять по формуле $S=\frac{b-a}{18}(5y_{1}+8y_{2}+5y_{3})$, где $y_{1}$, $y_{2}$, $y_{3}$ — значения $y$ при

(Гаусс.)

Доказать, что площадь $S$ сегмента параболы можно выразить формулой $S=\frac{2}{3}lh$, где $l$ — длина хорды сегмента, а $h$ — высота сегмента.

Найти площадь фигуры, ограниченной параболами $y=x^{2}$, $y^{2}=x$.

Найти площадь, ограниченную одной дугой циклоиды $x=a(t-\sin t)$, $y=a(1-\cos t)$ и осью $Ox$.

Найти площадь, ограниченную кардиоидой $r=a(1+\cos \varphi )$.

Найти площадь между $Oy$ и кривой $y=\pm \sqrt{\frac{1-x}{x}}$.

Найти площадь астроиды $x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$, приведя ее уравнение к параметрическому виду.

Найти площадь, ограниченную кривой $x^{4}+y^{4}=x^{2}+y^{2}$, перейдя к полярным координатам.

Путем перехода к полярным координатам найти площадь, ограниченную петлей листа Декарта $x^{3}+y^{3}=3axy$.

Путем перехода к полярным координатам найти площадь, ограниченную лемнискатой $(x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}xy$.

Путем перехода к полярным координатам найти площадь, ограниченную подэрой эллипса $(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}$.

Путем перехода к полярным координатам найти площадь, ограниченную осью $Ox$ и трактрисой

При этом удобно ввести параметр $\varphi$, положив $y=a\sin \varphi$.

Найти площадь, лежащую внутри круга $x^{2}+y^{2}=4px$ и параболы $y^{2}=2px$.

Найти площадь между кривыми $27py^{2}=8(x-p)^{3}$ и $y^{2}=2px$.

Найти площадь между параболой и какой-либо из ее нормалей.

К параболе провести нормаль, отсекающую от нее сегмент наименьшей площади.

Найти площадь, лежащую выше оси $Ox$ и ограниченную линиями: $y^{2}=4ax$; $x^{2}+y^{2}=2ax$; $2x-y=4a$.

Найти площадь криволинейного четырехугольника, ограниченного параболами: $y^{2}-9ax+81a^{2}=0$; $y^{2}-4ax+16a^{2}=0$; $y^{2}-ax+a^{2}=0$ и осью $Ox$. Показать, что эта площадь равна площади, ограниченной хордами.

Определить площадь, лежащую между кругом $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ и его подэрой, относительно внутренней точки $(b,0)$.

Циклоида

пересечена прямой $y=ka$ (причем $0<k<2$). Определить площади, ограниченные этими линиями.

Удлиненная циклоида $x=a(kt-\sin t)$, $y=a-a\cos t$ (причем $0<k<1$) образует петли. Определить площадь петли. (В частности при $k=\frac{2}{\pi }$; $k=\frac{3}{5\pi }$.)

Найти площадь петли строфоиды $(a-x)y^{2}=(a+x)x^{2}$.

Найти площадь, ограниченную линиями: $y(x^{2}+4)=4(2-x)$; $x=0$; $y=0$.

Найти площадь, ограниченную линией $(y-x)^{2}=x^{3}$ и осью $Ox$.

Найти площадь, ограниченную полуволной кривой $y=\sin^{3}x+\cos^{3}x$ и осью $Ox$.

Определить площадь, ограниченную параболой

и осями координат.

Определить одну из площадей между эллипсом

и гиперболой $xy=4a^{2}$.

Определить площадь между параболой $ay=(x-3a)^{2}$ и гиперболой $xy=4a^{2}$.

Определить площадь между осью $Ox$, эвольвентой круга

и ее первой вертикальной касательной.

Определить площадь части эллипса $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$, лежащей вне круга $x^{2}+y^{2}=ab$.

Определить площадь криволинейного квадрата, принадлежащего обоим эллипсам

Показать, что площадь между одной аркой эпициклоиды и основным кругом равна $\pi b^{2}\left(3+2\frac{b}{a}\right)$, где $a$ и $b$ соответственно радиусы основного и катящегося кругов.

Путем перехода к полярным координатам найти площадь, ограниченную линией, заданной в полярных координатах: $r=a\cos \varphi$.

Путем перехода к полярным координатам найти площадь, ограниченную линией, заданной в полярных координатах: $r=a\cos 2\varphi$.

Путем перехода к полярным координатам найти площадь, ограниченную линией, заданной в полярных координатах: $r=a\cos 3\varphi$.

Путем перехода к полярным координатам найти площадь, ограниченную линией, заданной в полярных координатах: $r=a\cos 4\varphi$.

Путем перехода к полярным координатам найти площадь, ограниченную линией, заданной в полярных координатах: $r^{2}=a^{2}\frac{\sin 3\varphi }{\sin \varphi }$ при $0<\varphi <\frac{\pi }{3}$.

Путем перехода к полярным координатам найти площадь, ограниченную линией, заданной в полярных координатах: эллипса $r=\frac{p}{1+e\cos \varphi }$, $e<1$, $0<\varphi <\varphi_{0}$.

Путем перехода к полярным координатам найти площадь, ограниченную линией, заданной в полярных координатах: гиперболы $\frac{p}{1+e\cos \varphi }$, $e>1$, $0<\varphi <\varphi_{0}$; $e\cos \varphi_{0}>-1$.

Путем перехода к полярным координатам найти площадь, ограниченную линией, заданной в полярных координатах: равнобочной гиперболы

Путем перехода к полярным координатам найти площадь, ограниченную линией

при $0<\omega <\omega_{0}$.

Путем перехода к полярным координатам найти площадь, ограниченную линией

при $0<\omega <\omega_{0}$.

Конхоида Никомеда $r=\frac{a}{\sin \varphi }\pm b$, при $a<b$, имеет петлю. Найти площадь петли.

Найти площадь, ограниченную внешним контуром кривой

Кривая $r=a\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\cos \frac{\varphi }{2}\right)$ имеет три петли, площади которых: $a^{2}\left(\frac{5}{4}\pi +2\sqrt{3}\right)$; $a^{2}\left(\frac{5}{6}\pi -\frac{5}{4}\sqrt{3}\right)$; $a^{2}\left(\frac{5}{12}\pi -\frac{3}{4}\sqrt{3}\right)$. Проверить.

Определить площадь, лежащую между петлями улитки Паскаля $r=a+b\cos \varphi$, при $a<b$.

Найти площадь, лежащую между кривыми $r^{2}\cos 2\varphi =a^{2}$ и $r^{2}\cos 2\varphi =4a^{2}\cos^{4}\varphi$.

Определить площадь луночки, лежащей внутри лемнискаты $r^{2}=a^{2}\cos 2\varphi$ и вне окружности $r=\frac{a}{\sqrt{2}}$.

Определить площади, ограниченные дугами кардиоиды $r=a(1+\cos \varphi )$ и окружности $r=\frac{3}{2}a$.

Определить площадь одной петли кривой

Определить площадь, ограниченную кривой $x^{4}+y^{4}=2a^{2}xy$.

В каком отношении делит прямая $x+y=2a$ площадь петли листа Декарта $x^{3}+y^{3}=3axy$?

В каком отношении делит площадь петли листа Декарта $x^{3}+y^{3}=3axy$ парабола $y^{2}=ax$?

Дан эллипс $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ и эллипс, получаемый из него поворотом около центра на угол $\alpha <\frac{\pi }{2}$. Определить площадь, занятую всеми точками, лежащими внутри обоих эллипсов.

Определить площадь луночки, лежащей внутри одного и вне другого эллипса предыдущей задачи.

Предыдущая задача (3362): Дан эллипс $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ и эллипс, получаемый из него поворотом около центра на угол $\alpha <\frac{\pi }{2}$.

Определить площадь, ограниченную петлей кривой $x^{7}+y^{7}=ax^{3}y^{3}$.

Определить площадь, ограниченную кривой

Найти длину дуги кривой $y=\sqrt{x}$ при $0<x<1$.

Найти длину дуги кривой $y=\ln x$ при $\sqrt{3}<x<\sqrt{8}$.

Найти длину дуги кривой $y=a\ln \cos \frac{x}{a}$ при $0<x<b$.

Найти длину дуги кривой $y=a\ch \frac{x}{a}$ при $0<x<x_{0}$.

Найти длину дуги кривой $y=\frac{x-3a}{3}\sqrt{\frac{x}{a}}$ при $0<x<x_{0}$.

Найти длину дуги кривой $y=2a\ln \frac{\sqrt{a}+\sqrt{x}}{\sqrt{a}-\sqrt{x}} - 4\sqrt{ax}$ при $0<x<x_{0}$.

Найти длину дуги кривой $x=a\ln \frac{a+\sqrt{a^{2}-y^{2}}}{y} - \sqrt{a^{2}-y^{2}}$ при $b<y<a$.

Найти длину дуги кривой $y^{3}=px^{2}$ при $0<y<y_{0}$.

Найти длину дуги кривой $(2a-x)y^{2}=x^{3}$ при $0<x<x_{0}$, где $x_{0}<2a$.

Найти длину дуги кривой $x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$. Полный обвод.

Найти длину дуги кривой $x=a\cos^{5}t$, $y=a\sin^{5}t$. Полный обвод.

Найти длину дуги кривой $x=a(t-\sin t)$, $y=a(1-\cos t)$. Одной арки.

Найти длину дуги кривой $r=a(1+\cos \varphi )$. Полный обвод.

Найти длину дуги первого витка спирали Архимеда $r=a\varphi$.

Найти длину дуги логарифмической спирали $r=ae^{m\varphi }$, $0<r<a$.

Доказать, что длина одной дуги эпициклоиды

равна $8a\frac{n+1}{n}$.

Доказать, что длина одной дуги гипоциклоиды

равна $8a\frac{n-1}{n}$.

Определить длину дуги кривой $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}$ между ее точками прикосновения с осями координат.

Найти длину всей кривой $\left(\frac{x}{a}\right)^{2/3}+\left(\frac{y}{b}\right)^{2/3}=1$.

Найти длину дуги кривой

лежащей над осью $Ox$.

Парабола $4ay=x^{2}$ катится по оси $Ox$. Доказать, что ее фокус описывает цепную линию $y=a\ch \frac{x}{a}$.

Доказать, что при качении кардиоиды $r=a(1-\sin \varphi )$ по циклоиде

острие ее описывает прямую линию.

Найти длины дуг следующих кривых в пространстве: $x=a\cos t$, $y=a\sin t$, $z=bt$ при $0<t<t_{0}$.

Найти длину дуги кривой в пространстве $x=e^{t}\cos t$, $y=e^{t}\sin t$, $z=e^{t}$ при $-\infty <t<0$.

Найти длину дуги кривой в пространстве $x=at$, $y=\sqrt{3ab}\, t^{2}$, $z=2bt^{3}$ при $0<t<t_{0}$.

Найти длину дуги кривой в пространстве $x^{2}=3y$, $2xy=9z$ при $0<x<x_{0}$.

Найти длину дуги кривой в пространстве $y=\arcsin \frac{x}{a}$, $z=\frac{a}{4}\ln \frac{a+x}{a-x}$ при $0<x<x_{0}$.

Найти длину дуги кривой в пространстве $y^{2}=2ax-x^{2}$, $z=-a\ln \left(1-\frac{x}{2a}\right)$; $0<x<x_{0}$.

Найти длину дуги кривой в пространстве $4ax=(y+z)^{2}$, $4x^{2}+3y^{2}=3z^{2}$; $0<x<x_{0}$.

Найти длину дуги кривой в пространстве $(y-z)^{2}=3a(y+z)$; $9x^{2}+8y^{2}=8z^{2}$; $0<x<x_{0}$.

Найти длину дуги кривой в пространстве $x^{2}+y^{2}=az$, $y=x\tg \frac{z}{a}$.

Найти длину дуги кривой в пространстве $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$, $\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ch \arctg \frac{y}{x}=a$.

Найти объем тела, полученного при вращении гиперболы $xy=a^{2}$ вокруг оси $Ox$ при $a<x<\infty$.

Найти объем тела, полученного при вращении синусоиды $y=\sin x$ около оси $Ox$ при $0<x<\pi$.

Найти объем тела, полученного при вращении циссоиды $(2a-x)y^{2}=x^{3}$ около $Ox$ при $0<x<b<2a$.

Найти объем тела, полученного при вращении лемнискаты $(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})$ около оси $Ox$.

Найти объем тела, полученного при вращении кардиоиды $r=a(1+\cos \varphi )$ около полярной оси.

Найти объем тела, полученного при вращении циклоиды

около оси $Ox$, при $0<x<2\pi a$.

Найти объем тела, полученного при вращении параболы $y^{2}=2px$ около оси $Ox$ при $0<x<a$.

Найти объем тела, полученного при вращении эллипса $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ вокруг оси $Ox$.

Найти объем тела, полученного при вращении гиперболы $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ вокруг оси $Ox$ при $a<x<m$.

Найти объем тела, полученного при вращении гиперболы $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ вокруг оси $Oy$ при $0<y<h$.