Вычисление площадей (квадратура кривых)

Доказать, что площадь $S$ криволинейной трапеции, ограниченной осью $Ox$, прямыми $x=a$, $x=b$ и кубической параболой $y=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D$, можно выразить формулой

где $y_{0}$, $y_{1}$ и $y_{2}$ — ординаты при $x=a$, $\frac{a+b}{2}$ и $b$.

Доказать, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью $Ox$, прямыми $x=-h$, $x=k$ и параболой, проходящей через точки: $(-h,y_{1})$; $(0,y_{2})$; $(k,y_{3})$, можно выразить формулой

Доказать, что площадь $S$ криволинейной трапеции, ограниченной осью $Ox$, прямыми $x=a$, $x=b$ и параболой $y=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D$, можно вычислять по формуле

где $y_{1}$, $y_{2}$, $y_{3}$ — значения $y$ при $x=\frac{a+2}{2}-\frac{b-a}{2}\frac{1}{\sqrt{2}}$, $x=\frac{a+b}{2}$, $x=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\frac{1}{\sqrt{2}}$. (Чебышев.)

Доказать, что такую же площадь для параболы 5-го порядка $y=Ax^{5}+Bx^{4}+Cx^{3}+Dx^{2}+Ex+F$ можно вычислять по формуле $S=\frac{b-a}{18}(5y_{1}+8y_{2}+5y_{3})$, где $y_{1}$, $y_{2}$, $y_{3}$ — значения $y$ при

(Гаусс.)

Доказать, что площадь $S$ сегмента параболы можно выразить формулой $S=\frac{2}{3}lh$, где $l$ — длина хорды сегмента, а $h$ — высота сегмента.

Найти площадь фигуры, ограниченной параболами $y=x^{2}$, $y^{2}=x$.

Найти площадь, ограниченную одной дугой циклоиды $x=a(t-\sin t)$, $y=a(1-\cos t)$ и осью $Ox$.

Найти площадь, ограниченную кардиоидой $r=a(1+\cos \varphi )$.

Найти площадь между $Oy$ и кривой $y=\pm \sqrt{\frac{1-x}{x}}$.

Найти площадь астроиды $x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$, приведя ее уравнение к параметрическому виду.

Найти площадь, ограниченную кривой $x^{4}+y^{4}=x^{2}+y^{2}$, перейдя к полярным координатам.

Путем перехода к полярным координатам найти площадь, ограниченную петлей листа Декарта $x^{3}+y^{3}=3axy$.

Путем перехода к полярным координатам найти площадь, ограниченную лемнискатой $(x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}xy$.

Путем перехода к полярным координатам найти площадь, ограниченную подэрой эллипса $(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}$.

Путем перехода к полярным координатам найти площадь, ограниченную осью $Ox$ и трактрисой

При этом удобно ввести параметр $\varphi$, положив $y=a\sin \varphi$.

Найти площадь, лежащую внутри круга $x^{2}+y^{2}=4px$ и параболы $y^{2}=2px$.

Найти площадь между кривыми $27py^{2}=8(x-p)^{3}$ и $y^{2}=2px$.

Найти площадь между параболой и какой-либо из ее нормалей.

К параболе провести нормаль, отсекающую от нее сегмент наименьшей площади.

Найти площадь, лежащую выше оси $Ox$ и ограниченную линиями: $y^{2}=4ax$; $x^{2}+y^{2}=2ax$; $2x-y=4a$.

Найти площадь криволинейного четырехугольника, ограниченного параболами: $y^{2}-9ax+81a^{2}=0$; $y^{2}-4ax+16a^{2}=0$; $y^{2}-ax+a^{2}=0$ и осью $Ox$. Показать, что эта площадь равна площади, ограниченной хордами.

Определить площадь, лежащую между кругом $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ и его подэрой, относительно внутренней точки $(b,0)$.

Циклоида

пересечена прямой $y=ka$ (причем $0<k<2$). Определить площади, ограниченные этими линиями.

Удлиненная циклоида $x=a(kt-\sin t)$, $y=a-a\cos t$ (причем $0<k<1$) образует петли. Определить площадь петли. (В частности при $k=\frac{2}{\pi }$; $k=\frac{3}{5\pi }$.)

Найти площадь петли строфоиды $(a-x)y^{2}=(a+x)x^{2}$.

Найти площадь, ограниченную линиями: $y(x^{2}+4)=4(2-x)$; $x=0$; $y=0$.

Найти площадь, ограниченную линией $(y-x)^{2}=x^{3}$ и осью $Ox$.

Найти площадь, ограниченную полуволной кривой $y=\sin^{3}x+\cos^{3}x$ и осью $Ox$.

Определить площадь, ограниченную параболой

и осями координат.

Определить одну из площадей между эллипсом

и гиперболой $xy=4a^{2}$.

Определить площадь между параболой $ay=(x-3a)^{2}$ и гиперболой $xy=4a^{2}$.

Определить площадь между осью $Ox$, эвольвентой круга

и ее первой вертикальной касательной.

Определить площадь части эллипса $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$, лежащей вне круга $x^{2}+y^{2}=ab$.

Определить площадь криволинейного квадрата, принадлежащего обоим эллипсам

Показать, что площадь между одной аркой эпициклоиды и основным кругом равна $\pi b^{2}\left(3+2\frac{b}{a}\right)$, где $a$ и $b$ соответственно радиусы основного и катящегося кругов.

Путем перехода к полярным координатам найти площадь, ограниченную линией, заданной в полярных координатах: $r=a\cos \varphi$.

Путем перехода к полярным координатам найти площадь, ограниченную линией, заданной в полярных координатах: $r=a\cos 2\varphi$.

Путем перехода к полярным координатам найти площадь, ограниченную линией, заданной в полярных координатах: $r=a\cos 3\varphi$.

Путем перехода к полярным координатам найти площадь, ограниченную линией, заданной в полярных координатах: $r=a\cos 4\varphi$.

Путем перехода к полярным координатам найти площадь, ограниченную линией, заданной в полярных координатах: $r^{2}=a^{2}\frac{\sin 3\varphi }{\sin \varphi }$ при $0<\varphi <\frac{\pi }{3}$.

Путем перехода к полярным координатам найти площадь, ограниченную линией, заданной в полярных координатах: эллипса $r=\frac{p}{1+e\cos \varphi }$, $e<1$, $0<\varphi <\varphi_{0}$.

Путем перехода к полярным координатам найти площадь, ограниченную линией, заданной в полярных координатах: гиперболы $\frac{p}{1+e\cos \varphi }$, $e>1$, $0<\varphi <\varphi_{0}$; $e\cos \varphi_{0}>-1$.

Путем перехода к полярным координатам найти площадь, ограниченную линией, заданной в полярных координатах: равнобочной гиперболы

Путем перехода к полярным координатам найти площадь, ограниченную линией

при $0<\omega <\omega_{0}$.

Путем перехода к полярным координатам найти площадь, ограниченную линией

при $0<\omega <\omega_{0}$.

Конхоида Никомеда $r=\frac{a}{\sin \varphi }\pm b$, при $a<b$, имеет петлю. Найти площадь петли.

Найти площадь, ограниченную внешним контуром кривой

Кривая $r=a\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\cos \frac{\varphi }{2}\right)$ имеет три петли, площади которых: $a^{2}\left(\frac{5}{4}\pi +2\sqrt{3}\right)$; $a^{2}\left(\frac{5}{6}\pi -\frac{5}{4}\sqrt{3}\right)$; $a^{2}\left(\frac{5}{12}\pi -\frac{3}{4}\sqrt{3}\right)$. Проверить.

Определить площадь, лежащую между петлями улитки Паскаля $r=a+b\cos \varphi$, при $a<b$.

Найти площадь, лежащую между кривыми $r^{2}\cos 2\varphi =a^{2}$ и $r^{2}\cos 2\varphi =4a^{2}\cos^{4}\varphi$.

Определить площадь луночки, лежащей внутри лемнискаты $r^{2}=a^{2}\cos 2\varphi$ и вне окружности $r=\frac{a}{\sqrt{2}}$.

Определить площади, ограниченные дугами кардиоиды $r=a(1+\cos \varphi )$ и окружности $r=\frac{3}{2}a$.

Определить площадь одной петли кривой

Определить площадь, ограниченную кривой $x^{4}+y^{4}=2a^{2}xy$.

В каком отношении делит прямая $x+y=2a$ площадь петли листа Декарта $x^{3}+y^{3}=3axy$?

В каком отношении делит площадь петли листа Декарта $x^{3}+y^{3}=3axy$ парабола $y^{2}=ax$?

Дан эллипс $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ и эллипс, получаемый из него поворотом около центра на угол $\alpha <\frac{\pi }{2}$. Определить площадь, занятую всеми точками, лежащими внутри обоих эллипсов.

Определить площадь луночки, лежащей внутри одного и вне другого эллипса предыдущей задачи.

Предыдущая задача (3362): Дан эллипс $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ и эллипс, получаемый из него поворотом около центра на угол $\alpha <\frac{\pi }{2}$.

Определить площадь, ограниченную петлей кривой $x^{7}+y^{7}=ax^{3}y^{3}$.

Определить площадь, ограниченную кривой