Вычисление объемов

Найти объем тела, полученного при вращении гиперболы $xy=a^{2}$ вокруг оси $Ox$ при $a<x<\infty$.

Найти объем тела, полученного при вращении синусоиды $y=\sin x$ около оси $Ox$ при $0<x<\pi$.

Найти объем тела, полученного при вращении циссоиды $(2a-x)y^{2}=x^{3}$ около $Ox$ при $0<x<b<2a$.

Найти объем тела, полученного при вращении лемнискаты $(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})$ около оси $Ox$.

Найти объем тела, полученного при вращении кардиоиды $r=a(1+\cos \varphi )$ около полярной оси.

Найти объем тела, полученного при вращении циклоиды

около оси $Ox$, при $0<x<2\pi a$.

Найти объем тела, полученного при вращении параболы $y^{2}=2px$ около оси $Ox$ при $0<x<a$.

Найти объем тела, полученного при вращении эллипса $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ вокруг оси $Ox$.

Найти объем тела, полученного при вращении гиперболы $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ вокруг оси $Ox$ при $a<x<m$.

Найти объем тела, полученного при вращении гиперболы $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ вокруг оси $Oy$ при $0<y<h$.

Найти объем тела, полученного при вращении циклоиды

около прямой $x=\pi a$.

Циклоида

вращается около пересекающей ее прямой $y=ka$, причем $0<k<2$. Определить объемы получающихся тел вращения.

Найти объем, получающийся от вращения около полярной оси одной петли лемнискаты $r^{2}=a^{2}\sin 2\varphi$.

Кривая $y=\frac{4a^{3}}{x^{2}+4a^{2}}$ вращается вокруг своей асимптоты. Найти объем полученного бесконечного веретена.

Кривая $r^{3}=a^{3}\cos 3\varphi$ вращается около полярной оси. Определить объем тела, полученного от вращения петли, лежащей в третьем квадранте.

Дуга параболы $\sqrt{x/a}+\sqrt{y/b}=1$ вращается вокруг прямой $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$. Доказать, что объем полученного тела вращения $V=\frac{8}{15}S_{M}\cdot H$, где $S_{M}$ — площадь наибольшего поперечного кругового сечения, и $H$ — длина этого веретенообразного тела.

Сегмент круга радиуса $R$, соответствующий центральному углу $2\alpha$, вращается вокруг своей хорды. Определить объем полученного тела.

Улитка Паскаля $r=a+b\cos \varphi$ вращается вокруг полярной оси. Определить объемы:

Найти объем тела, ограниченного поверхностью, полученной вращением дуги параболы $y^{2}=4ax$ около прямой $y=2x$.

Куб с ребром $a$ вращается вокруг своей пространственной диагонали. Определить объем тела, полученного от вращения одной грани.

Куб с ребром $a$ вращается вокруг диагонали одной из своих граней. Определить объем тела, полученного от вращения противоположной грани.

Кривая $x^{4}+y^{4}=2axy^{2}$ вращается вокруг оси $Oy$. Определить объем полученного тела.

Та же задача, что и 3419, но кривая вращается около оси $Ox$.

Задача 3419: кривая $x^{4}+y^{4}=2axy^{2}$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями $z^{2}+y^{2}=1$, $x^{2}+z^{2}=1$, рассмотрев горизонтальные сечения.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями $x^{2}+y^{2}=ax$, $x-z=0$, $x+z=0$, рассмотрев сечения, перпендикулярные $Ox$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями $x^{2}+4y^{2}=8z$, $x^{2}+4y^{2}=1$, $z=0$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями $y^{2}=2p(a-x)$, $x-z=0$, $x-2z=0$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями $z^{2}=(a-x-y)a$; $x=0$, $y=0$, $z=0$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями $z^{2}=b(a-x)$, $x^{2}+y^{2}=ax$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями $z=0$, $by=x(a-z)$, $by=-x(a-z)$, $x=b$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями $y^{2}+z^{2}=a^{2}\ch^{2}\frac{x}{a}$, $-b<x<b$.

В прямой круговой цилиндр (стакан) радиуса $r$ налита вода. Ось наклонена под углом $\alpha$ к горизонту. Часть дна — сегмент с центральным углом $2\varphi$ — покрыт водой. Найти объем воды.

Прямой круговой конус рассечен на две части плоскостью, проходящей через центр основания и параллельной образующей. Найти объем частей конуса, учитывая, что сечения конуса плоскостями, параллельными образующей, суть параболические сегменты.

Четверть прямого кругового цилиндра рассечена наклонной плоскостью, проходящей через радиус верхнего основания и конец радиуса нижнего основания, перпендикулярного к первому радиусу. Через ось цилиндра проведена плоскость под углом $\varphi$ к упомянутому радиусу верхнего основания. Найти объемы четырех частей четверти цилиндра.

Найти объем, ограниченный поверхностью коноида $a^{2}l^{2}y^{2}=b^{2}x^{2}(a^{2}-z^{2})$ и плоскостью $x=l$.

Три взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через одну точку, являются осями трех круговых цилиндров одинакового радиуса $r$. Определить объем тела, лежащего внутри их всех.

Оси двух круговых цилиндров радиуса $r$ пересекаются под углом $2\alpha$. Определить объем тела, ограниченного этими цилиндрами.