Вычисление площадей поверхностей вращения

Найти площадь поверхности, полученной вращением кривой $y=\sin x$ вокруг $Ox$ при $0<x<\pi$.

Найти площадь поверхности, полученной вращением кривой $y=\tg x$ вокруг $Ox$ при $0<x<u<\frac{\pi }{2}$.

Найти площадь поверхности, полученной вращением кривой $y^{2}+x^{2}=2ay$ вокруг $Ox$.

Найти площадь поверхности, полученной вращением кривой $x^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$; $b>r$; вокруг $Ox$.

Найти площадь поверхности, полученной вращением кривой $y^{2}=2px$ вокруг $Ox$ при $0<x<a$.

Найти площадь поверхности, полученной вращением кривой $y^{3}=px^{2}$ вокруг $Ox$ при $0<y<a$.

Найти площадь поверхности, полученной вращением кривой $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$, $a>b$; вокруг $Ox$. (Удлиненный эллипсоид.)

Найти площадь поверхности, полученной вращением кривой $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$, $a>b$; около $Oy$. (Сплюснутый эллипсоид.)

Найти площадь поверхности, полученной вращением кривой $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ около $Oy$ при $-h<y<h$.

Найти площадь поверхности, полученной вращением кривой $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ около $Ox$ при $a<x<m=\lambda a$.

Найти площадь поверхности, полученной вращением кривой $x=a(t-\sin t)$, $y=a(1-\cos t)$ (циклоида) вокруг $Ox$ при $0<x<2\pi a$.

Найти площадь поверхности, полученной вращением кривой $x=a(t-\sin t)$, $y=a(1-\cos t)$ около прямой $x=\pi a$ при $0<t<\pi$.

Найти площадь поверхности, полученной вращением кривой $x=a\cos^{3}t$, $y=a\sin^{3}t$ (астроида) около $Ox$.

Найти площадь поверхности, полученной вращением кривой $x=a\ln \frac{a+\sqrt{a^{2}-y^{2}}}{y} - \sqrt{a^{2}-y^{2}}$ (трактриса) около $Ox$.

Найти площадь поверхности, полученной вращением кардиоиды $r=a(1+\cos \varphi )$ около полярной оси.

Найти площадь поверхности, полученной вращением лемнискаты $r=a\sqrt{\cos 2\varphi }$ около $Ox$.

Найти площадь поверхности, полученной вращением лемнискаты $r=a\sqrt{\cos 2\varphi }$ около $Oy$.

Найти площадь поверхности, полученной вращением лемнискаты $r=a\sqrt{\cos 2\varphi }$ около прямой $y=x$.

Найти площадь поверхности, полученной вращением одной арки циклоиды

около прямой $y=ka$, причем $0<k<2$. При каком значении $k$ эта поверхность будет иметь наименьшую площадь и какова она?

Дуга параболы $y^{2}=2px$, отсекаемая от нее прямой $y=2x$, вращается вокруг оси $Oy$. Определить площадь поверхности.

Та же дуга, что и в предыдущей задаче, вращается вокруг своей хорды. Определить площадь поверхности.

Предыдущая задача (3454): дуга параболы $y^{2}=2px$, отсекаемая от нее прямой $y=2x$.

Улитка Паскаля $r=a+b\cos \varphi$ вращается вокруг полярной оси. Определить площадь полученной поверхности, если:

Дуга астроиды

лежащая в первой четверти, вращается около своей хорды. Определить площадь поверхности.

Дуга окружности радиуса $a$, соответствующая центральному углу $2\alpha$, вращается вокруг оси, пересекающей ее и параллельной ее хорде. Определить площадь полученной поверхности вращения, если ось вращения отсекает дугу, соответствующую центральному углу $2\beta$. При каком $\beta$ получается минимальная площадь и какова она?

Астроида

вращается вокруг прямой $y=x$. Определить полную поверхность.

Определить поверхность тела задачи 3433.

Задача 3433: три взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через одну точку, являются осями трех круговых цилиндров одинакового радиуса $r$; рассматривается тело, лежащее внутри их всех.

Определить поверхность тела задачи 3434.

Задача 3434: оси двух круговых цилиндров радиуса $r$ пересекаются под углом $2\alpha$; рассматривается тело, ограниченное этими цилиндрами.

Куб вращается вокруг своей пространственной диагонали. Определить площадь поверхности, описанной всеми ребрами куба.