Определенный интеграл

Найти величину определенного интеграла $\int_{0}^{1} \sqrt[m]{x^{n}}\, dx$, $n>0$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt[m]{x^{n}}}$, $m>n$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{0}^{1} \frac{dx}{x^{2}+1}$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{0}^{\infty } \frac{dx}{x^{2}+3}$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{-2}^{-1} \frac{dx}{x}$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{0}^{\pi /3} \tg x\, dx$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{0}^{a} \frac{x\, dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{0}^{a} \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{0}^{\infty } \frac{dx}{x^{2}+a^{2}}$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^{2}}$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^{2}-1}$.

Доказать равенство

Доказать равенство

Найти величину определенного интеграла $\int_{0}^{1} \frac{x^{2}-1}{(x+2)^{4}}\, dx$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{(x^{3}+1)^{2}}\, dx$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{0}^{\infty } \frac{x^{2}(1-x^{2})}{(1+x^{2})^{3}}\, dx$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{1}^{\infty } \frac{dx}{x(1+x^{4})^{3}}$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{1}^{\infty } \frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x^{4}}\, dx$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{0}^{2\pi } \frac{a+\cos x}{1+2a\cos x+a^{2}}\, dx$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{0}^{1} e^{-x}\sin \pi x\, dx$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{0}^{\pi } x^{2}\sin nx\, dx$, $n$ — целое.

Найти величину определенного интеграла $\int_{0}^{\pi /4} \sqrt{\tg x}\, dx$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{-1}^{1} e^{k\arcsin x}\, dx$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{0}^{\infty } \frac{dx}{\sqrt{e^{x}+a^{2}}}$.

Найти величину определенного интеграла $\int_{0}^{1} \frac{x^{3}\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}\, dx$.

Доказать, что площадь, ограниченная дугой синусоиды $y=\sin x$ и осью $Ox$ между точками $(0,0)$ и $(\pi ,0)$, равна двум квадратным единицам.

Доказать, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу отрезком оси $Ox$ между точками $(N,0)$ и $(2N,0)$, с боков вертикалями, а сверху гиперболой $y=\frac{1}{x}$, равна $\ln 2$.

Доказать, что площадь, ограниченная лемнискатой Бернулли $r^{2}=a^{2}\cos 2\varphi$, равна $a^{2}$.

Доказать, что площадь сегмента между параболой $y=ax^{2}$ и прямой $y=h$ равна $\frac{2}{3}$ произведения основания на высоту. (Архимед.)

Доказать, что объем параболоида вращения, имеющего с данным цилиндром общие основание и высоту, равен половине объема цилиндра. (Архимед.)

Из сосуда, имеющего форму цилиндра с радиусом $a$ и высотой $h$, выливается через край жидкость. Доказать, что в тот момент, когда обнажилась половина дна, объем оставшейся жидкости равен $\frac{2}{3}a^{2}h$. (Архимед.)

Доказать, что объем кувшина, получающегося при вращении синусоиды $y=r+b\sin \frac{2\pi x}{h}$ вокруг оси $Ox$ при $0<x<h$, равен $\pi r^{2}h+\frac{1}{2}\pi b^{2}h$.

Стержень длиной $l$ вращается вокруг своего конца, совершая $n$ оборотов в секунду. Определить величину натяжения в точке прикрепления, если вес единицы длины стержня равен $\sigma$, а центробежная сила для массы $m$, движущейся по окружности радиуса $r$ с угловой скоростью $\omega$, равна $mr\omega^{2}$.

Под действием нагрузки $f$ проволока длиной $l$ с поперечным сечением $s$ и модулем Юнга $E$ получает удлинение $\Delta l$, равное $\frac{fl}{Es}$. Определить удлинение такой проволоки, висящей вертикально, под действием своей тяжести. Удельный вес вещества проволоки равен $\delta$.

От нагрузки в $1$ кг проволока растягивается на $1$ см. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее на $4$ см?

Найти величину давления воды на вертикальную стенку треугольной формы. Высота треугольника $h$, основание $a$ — на поверхности жидкости.

Тот же вопрос для стенки в форме полукруга, диаметр которого $2a$ — на поверхности воды.

Какую работу надо затратить, чтобы насыпать кучу песка конической формы с радиусом $1{,}2$ м и высотой $1$ м, если удельный вес песка $2$?

Найти положение центра тяжести однородного конуса.

Найти центр тяжести полушара с радиусом $R$.

Цилиндр с радиусом $15$ см и высотой $60$ см наполнен воздухом под давлением $1$ кг/см${}^{2}$. Какую работу надо совершить при изотермическом сжатии газа до объема в два раза меньшего?

Точка движется по оси $Ox$, начиная от точки $(1,0)$, так, что скорость ее численно равна абсциссе. Где она будет через $10$ секунд от начала движения?

Электрические заряды отталкиваются друг от друга с силой $\frac{e_{1}e_{2}}{r^{2}}$, где $e_{1}$ и $e_{2}$ — величины зарядов, а $r$ — расстояние между ними. Определить работу, необходимую, чтобы приблизить заряд $e_{2}=1$ к заряду $e_{1}$ из бесконечности на расстояние, равное $R$.

Земля притягивает тело массой $m$ с силой $f=mg\frac{R^{2}}{r^{2}}$, где $R$ — радиус земли, а $r$ — расстояние тела до центра земли ($r \geqslant R$). Определить величину работы, нужной, чтобы удалить тело в бесконечность с поверхности земли.

По закону Джоуля количество тепла, выделяемого постоянным током, равно $Rci^{2}t$, где $c=0{,}24$ — постоянная, $R$ — сопротивление, $t$ — число секунд, $i$ — сила тока. Найти выделяемое тепло для переменного тока $i=a\cos bt$.

По закону Торичелли скорость вытекающей жидкости равна $\sqrt{2gh}$, где $h$ — глубина отверстия под уровнем жидкости. Определить время вытекания жидкости из цилиндра с высотой $h$ и поперечным сечением $s$ сквозь отверстие в дне с площадью $\sigma$.

Тот же вопрос для конической воронки с вершиной внизу; $s$ — площадь основания, $h$ — высота воронки.

Диск толщиной $h$ и радиусом $r$ состоит из вещества с удельным весом $\delta$ и совершает $n$ оборотов в секунду. Какую работу он совершит при торможении?

На картах проекции Меркатора масштаб изображения в отдельных частях ее увеличивается от экватора к полюсу так, что расстояние между двумя меридианами остается постоянным. Расстояние между меридианами, проведенными через $10°$, равно $a$. Найти расстояние между экватором и параллелью $\varphi °$.