Теория вероятностей

При записи фамилий членов некоторого собрания, общее число которых равно 360, оказалось, что начальной буквой фамилии у семи была $A$, у пяти была $E$, у восьми была $И$, у девяти — $O$, у четырех — $У$, у двух — $Ю$, у всех прочих фамилия начиналась с согласной. Требуется определить вероятность $\mathbb {P}\left(P\right)$ того, что фамилия члена данного собрания начинается гласной.

Из ящика, в котором находится 20 шаров белого цвета и 2 черного, вынимается $m$ шаров, причем после каждого вынимания шар кладется обратно; требуется определить наименьшее значение $x_{0}$ числа $m$ выниманий, при котором вероятность $\mathbb {P}\left(P\right)$ достать хоть один раз черный шар больше $\frac{1}{2} \left(\mathbb {P}\left(P\right) > \frac{1}{2}\right)$.

При тех же условиях, что и в предыдущей задаче — из ящика, в котором находится 20 шаров белого цвета и 2 черного, вынимается $m$ шаров без возврата шара обратно в ящик — определить наименьшее значение $x$ числа выниманий $m$, чтобы вероятность $\mathbb {P}\left(P\right)$ достать хоть один белый шар была более $\frac{1}{2}$, если шар не кладется обратно.

Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы появление хоть один раз 6 очков получило вероятность больше 0,7? больше 0,8? больше 0,9?

Колода карт разделяется на две пачки поровну (по 26 карт). Требуется определить вероятность $\mathbb {P}\left(P\right)$, что в обеих пачках окажется равное (2) число тузов.

При тех же условиях, что и в предыдущей задаче — колода карт разделяется на две пачки поровну (по 26 карт) — определить вероятность $\mathbb {P}\left(P_{1}\right)$, что карт красных и черных мастей в каждой пачке будет поровну (13).

Из колоды карт берется 6 карт. Требуется определить вероятность $\mathbb {P}\left(P\right)$, что среди этих карт будут представительницы всех четырех мастей.

Каково наименьшее число $x_{0}$ карт, которое необходимо взять из колоды, чтобы вероятность $\mathbb {P}\left(P_{x_{0}}\right)$, что среди них встретятся две карты одинакового наименования, была более $\frac{1}{2}$?

20 человек, среди которых 10 мужчин и 10 женщин, группируются попарно. Какова вероятность $\mathbb {P}\left(P\right)$, если группировка происходит случайно, что каждая из 10 пар состоит из лиц разного пола?

Общество из 5 мужчин и 10 женщин разбивается на 5 групп по 3 человека. Какова вероятность при случайной группировке, что в каждой группе будет по 1 мужчине?

Телефонный номер состоит из 5 цифр. Определить вероятность $\mathbb {P}\left(P\right)$, что все цифры различны (каждая цифра может иметь 10 значений).

В трех урнах содержатся белые и черные шары. В первой содержатся 3 белых шара и 1 черный, во второй урне 6 белых и 4 черных, в третьей — 9 белых и 1 черный. Из урны, выбранной наудачу, извлекается шар. Вычислить вероятность, что этот шар белый, считая, что выбор любой из урн одинаково вероятен.

Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложено два шара в урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара. Вычислить вероятность вынуть белый шар из второй урны.

В трех урнах содержатся белые и черные шары. В первой 2 белых и 3 черных шара, во второй 2 белых и 2 черных шара, в третьей 3 белых и 1 черный шар. Из первой урны переложен шар во вторую. После этого шар из второй урны переложен в третью. Наконец из третьей урны шар переложен в первую.

Какое распределение черных и белых шаров в первой урне представляется наиболее вероятным? Вычислить эту вероятность.

Что представляется более вероятным: сохранение первоначального состава урны или его изменение?

В условиях предыдущей задачи (задачи 6150 — из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложено два шара в урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара) определить вероятность того, что состав шаров во всех урнах не изменится от перекладывания.

В условиях задачи 6150 (из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложено два шара в урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара) вычислить вероятность того, что при перекладывании шаров из одной урны в другую два раза был переложен шар белого цвета и один раз шар черного цвета. Указать вероятность того, что при этом состав первой урны не изменится.

Требуется показать, что

в частности, если $A$ и $B$ независимы, то

Доказать, что если $Y = X + \delta$, причем вероятность того, что $X \leqslant 10$, равна 0,9, а вероятность того, что $\left|\delta \right| \leqslant 1$, равна 0,95, то вероятность $\mathbb {P}\left(P_{1}\right)$ того, что $Y \leqslant 9$, и вероятность $\mathbb {P}\left(P_{2}\right)$ того, что $Y \leqslant 11$, удовлетворяют неравенствам

какова бы ни была зависимость между $X$ и $\delta$.

Доказать, что

Рассматриваются $n$ фактов $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{n}$; обозначим через $p_{i} = \mathbb {P}\left(A_{i}\right)$; $p_{ik} = \mathbb {P}\left(A_{i} \text{ и } A_{k}\right)$, $p_{ikl} = \mathbb {P}\left(A_{i} \text{ и } A_{k} \text{ и } A_{l}\right)$ и т.д. Показать, что вероятность

Из урны, содержащей шары с номерами $1, 2, \ldots , N$, производятся последовательно извлечения шара. Каждый раз по извлечении шар возвращается обратно в урну. Вычислить вероятность, что при $n$-кратном извлечении номера последовательно вынутых шаров будут идти в возрастающем порядке.

Из последовательности чисел $1, 2, \ldots , n$ отмечено число $k$. Какова вероятность, что два числа, выбранных наудачу из этой последовательности, окажутся одно меньше и другое больше, чем $k$?

Из последовательности чисел $1, 2, \ldots , N$ отобраны наудачу $n$ чисел: $x_{1} < x_{2} < \cdots < x_{n}$. Найти вероятность того, что $x_{m} = M$.

Из урны, содержащей шары с номерами $1, 2, 3, \ldots , N$, производятся последовательные извлечения $n$ шаров. Каждый раз по извлечении шар возвращается в урну обратно. Номера вынутых шаров записаны в порядке возрастания. Вычислить вероятность, что номер $m$-го шара окажется равным $M$.

Предполагая в предыдущей задаче числа $M$ и $N$ весьма большими и отношение их равным $x$, найти предельный закон распределения величины $x$.

6 билетов с номерами $1, 2, \ldots , 6$, последовательно вынимаемых из ящика, имеют одинаковую вероятность появиться в любом порядке. Нужно определить (пользуясь решением задачи 6157) вероятность $\mathbb {P}\left(P\right)$ того, что порядковый номер по крайней мере у одного из билетов совпадает с его собственным номером. Решить ту же задачу, если число билетов неограниченно возрастает.

Дано $N$ билетов с номерами $1, 2, \ldots , N$, как в предыдущей задаче. Определить вероятность $\mathbb {P}\left(P\right)$ того, что, последовательно выбирая $n < N$ из них, по крайней мере один раз порядковый номер извлечения билета совпадает с его собственным номером. Рассмотреть случай $N = 10$, $n = 5$.

Из сосуда, содержащего $m$ белых и $n$ черных шаров, вынимаются последовательно шары и не возвращаются обратно в урну. Операция продолжается, пока не появится белый шар. Выяснить закон распределения числа извлеченных черных шаров.

Предполагая в предыдущей задаче величины $m$, $n$ весьма большими, установить предельный закон распределения. Отношение $n : (m+n) = a$.

Из сосуда, содержащего $m$ белых и $n$ черных шаров, извлекается шар и возвращается в сосуд обратно. Извлечение продолжается до тех пор, пока не появится белый шар. Вычислить вероятность $k$-кратного извлечения черного шара.

Предположив в задаче 6167, что величины $m$ и $n$ возрастают беспредельно и отношение $n : (m+n)$ стремится к $a$, установить предельный закон распределения.

Из сосуда, содержащего 2 белых и 4 черных шара, двое поочередно извлекают шары. По извлечении шар каждый раз возвращается в сосуд обратно. Извлечение прекращается при появлении белого шара.

Вычислить вероятность извлечь первым белый шар каждому из участников, если шар извлекается не больше $2k$ раз.

Из сосуда, содержащего 2 белых и 4 черных шара, двое поочередно извлекают шар. Вычислить вероятность вынуть первым белый шар каждому из участников.

Двое играют в игру, бросая монету. Выигравшим считается тот, кто первым откроет решетку. Во сколько раз больше вероятность выигрыша начавшего, если бросание монеты может быть продолжено сколь угодно долго?

В сосуде заключается $N$ билетов с различными номерами. Из сосуда вынимают $m$ раз по $n$ билетов, каждый раз возвращая их обратно. Вычислить вероятность, что $k$ билетов не появится. Вычислить вероятность, что все билеты появятся.

В сосуде заключается $N$ билетов с различными номерами. Из сосуда $k$ раз вынимаются $n$ билетов и по извлечении возвращаются обратно. Установить закон распределения для числа различных номеров, появившихся при $k$ извлечениях.

В трех ящиках находятся соответственно:

При тех же условиях, что и в задаче 6174 (три ящика: (а) 2 белых и 3 черных шара, (б) 4 белых и 3 черных шара, (в) 6 белых и 2 черных шара, извлечение из всех трех ящиков одинаково вероятно), определить вероятности $x_{1}$ и $x_{2}$ того, что извлечение было произведено из первого ящика, если известно, что после трех извлечений (с возвратом шара) из того же ящика: а) все три шара оказались белыми; б) все три шара оказались черными.

Даны два ящика: в первом находятся 2 белых, 3 красных и 20 черных шаров, во втором — 8 белых, 15 красных и 2 черных шара. После извлечений шара из одного, а потом из другого ящика вынутыми оказались сперва черный, а потом красный шары.

Определить вероятность того, что извлечение производилось сначала из первого, а потом из второго ящика, предполагая обе последовательности a priori равновероятными.

Событие $A$ имеет вероятность $\mathbb {P}\left(P\right)$ произойти в любой момент промежутка времени $T$. Требуется определить его вероятность $p$ произойти в течение остающегося времени $T-t$, если по истечении времени $t < T$ событие $A$ еще не произошло.

Если известно, что вероятность двум близнецам быть одинакового пола вдвое больше, чем вероятность быть разного пола, причем вообще, вероятность рождения мальчика равна 0,51, требуется определить вероятность того, что другой из близнецов мальчик, после того как установлено, что первый из них — мальчик.

Какова вероятность $p_{0}$, что среди 1000 лампочек нет испорченной, если из взятых 100 наудачу все оказались исправными? Решить задачу при предположении, что число плохих лампочек не может превысить 5 на тысячу и все значения (0, 1, 2, 3, 4, 5) числа испорченных лампочек a priori равновозможны.

В сосуд, содержащий $n$ шаров, опущен белый шар. Какова вероятность вынуть белый шар из этого сосуда? Все предположения о первоначальном составе шаров считаются одинаково возможными.

Из сосуда, содержащего $n$ шаров неизвестного цвета, вынут один шар, оказавшийся белым. Вычислить вероятность того, что вновь вынутый шар будет тоже белый. Все предположения о первоначальном составе шаров в сосуде считать одинаково возможными.

Из сосуда, содержащего $n$ шаров неизвестного цвета, вынут один шар, оказавшийся белым. По возвращении этого шара в урну вновь вынут шар. Определить вероятность того, что этот шар будет белого цвета. Первоначальный состав сосуда представляется одинаково вероятным.

Из сосуда, содержащего $N$ шаров, вынуты $m+n$ шаров, среди которых $m$ шаров белого цвета. Установить вероятность того, что до изъятия в сосуде было $M$ шаров белого цвета.

Из отвала, содержащего на поверхности $n$ кусков окисленной руды и $n'$ кусков сульфидной руды, отобрано наудачу $m$ образцов и отправлено в лабораторию для анализа. При вскрытии ящика с образцами оказалось, что первые $k$ из вынутых кусков относятся к рудам окисленным.

Какова вероятность, что и следующий кусок будет относиться к той же руде? При решении задачи принять, что любые $m$ из $n+n'$ кусков на поверхности отвала могли быть отобраны в ящик с одинаковой вероятностью.

В сосуде содержатся белые и черные шары. Общее число $N$ шаров в сосуде известно, но не известно ни число белых, ни число черных шаров.

При $(m+n)$-кратном извлечении шара из сосуда $m$ раз появился белый шар и $n$ раз черный.

Какой состав шаров в сосуде представляется наиболее вероятным? Все предположения о первоначальном составе сосуда одинаково вероятны.

Обозначая через $\mathbb {P}\left(P_{i,n}\right)$ вероятность появления события $A$ $i$ раз при $n$ независимых опытах, если вероятности $A$ последовательно равны $p_{1}, p_{2}, \ldots , p_{n}$, доказать неравенства

из которых вытекает, что $\mathbb {P}\left(P_{i,n}\right)$ возрастает вместе с $i$ до некоторого максимального значения, после которого она начинает убывать.

Пример. $p_{1} = \frac{1}{2}$, $p_{2} = \frac{1}{3}$, $p_{3} = \frac{1}{4}$, $p_{4} = \frac{1}{5}$, $p_{5} = \frac{1}{6}$.

Даны 3 попарно независимых события, которые, однако, все 3 вместе произойти не могут. Предполагая, что все они имеют одну и ту же вероятность $x$, определить наибольшее возможное значение $x$.

В лотерее разыгрываются два предмета: велосипед стоимостью в 2500 руб. и часы ценою в 500 руб. Чему равно математическое ожидание выигрыша для лица, обладающего одним билетом, если общее число выигрышных билетов равно 1000?

Из ящика, содержащего 4 белых и 20 черных шаров, вынимают 5 шаров и перекладывают в другой ящик, где положено было 16 белых шаров; после этого из второго ящика в первый обратно перекладывают 6 шаров. Спрашивается, каковы будут после этого математические ожидания чисел белых шаров $x_{1}$ и $x_{2}$ в обоих ящиках?

При бросании 3 игральных костей игрок выигрывает 100 руб., если на всех костях по 6 очков, и получает 10 руб., если шесть будет только на 2 костях. Какую сумму он должен внести за билет на право участия в игре, чтобы игра была безобидна?

При бросании $n$ игральных костей определить м.о. (математическое ожидание) суммы очков на всех костях и дисперсию этой суммы.

Вероятность появления события $A$ равна $p$. Вычислить м.о. $x$ числа последовательных опытов, где $A$ неизменно повторяется, и дисперсию $B$ этого числа.

За каждую серию из $a > 0$ опытов, где $A$ неизменно повторяется, игрок получает $y^{a}$ руб.; напротив, если $a = 0$, он платит 1 руб. Требуется определить величину $y$ при условии, что игра будет безобидной. Рассмотреть пример $p = \frac{1}{13}$.

В случаях задачи 6167 (из сосуда, содержащего $m$ белых и $n$ черных шаров, извлекается шар и возвращается в сосуд обратно, извлечение продолжается до тех пор, пока не появится белый шар) найти $\mathbb {E}\left[M\right]$.

Из сосуда, содержащего $m$ белых и $n$ черных шаров, вынимаем шары, извлекая их последовательно до тех пор, пока не появится белый шар. Определить м.о. числа вынутых при этом черных шаров.

Из сосуда, содержащего $m$ белых и $n$ черных шаров, извлекаются шары и возвращаются обратно, пока не появится белый шар. Вычислить м.о. числа вынутых черных шаров и его дисперсию.

В сосуде содержится $a$ билетов с номером 1, $b$ билетов с номером 2, и $k$ билетов с номером $m$. Из сосуда вынуто $n$ билетов. Вычислить м.о. числа не вышедших номеров.

В сосуде содержится $a$ билетов с номером 1, $b$ билетов с номером 2, $c$ билетов с номером 3 и т.д., $k$ билетов с номером $m$, причем $a+b+\ldots +k \geqslant m$. Определить м.о. числа совпадений номера вышедшего билета с номером извлечения, когда извлекаются все шары.

Доказать, что если $\mathbb {E}\left[x^{2}\right] = \mathbb {E}\left[x^{3}\right] = \mathbb {E}\left[x^{4}\right] = a$, то величина $x$ не может получать иных значений, кроме 0 и 1.

Известно, что $x \leqslant A$ и $\mathbb {E}\left[x\right] = 0$; показать, что вероятность $\mathbb {P}\left(P\right)$ неравенства $x < -At^{2}$ меньше, чем $\frac{1}{1+t^{2}}$.

Доказать тождество

(где $A \geqslant a$ — целые положительные числа), вычисляя двумя различными способами м.о. числа $m$ черных шаров, отделяющих 2 соседних белых в серии, состоящей из $A+1$ шара, среди которых имеется $a$ белых.

Показать, что дисперсия $\sigma^{2}$ величины $x$ не может превысить квадрата полуразности между крайними ее значениями. Указать условия, при которых этот верхний предел достигается.

Величина $x$ может получать все целые положительные значения с вероятностями, убывающими в геометрической прогрессии. Требуется определить знаменатель прогрессии $q$ так, чтобы $\mathbb {E}\left[x\right] = 10$, и вычислить при этом условии вероятность $\mathbb {P}\left(P_{10}\right)$ того, что $x \leqslant 10$, и вероятность $\mathbb {P}\left(P_{100}\right)$ того, что $x \leqslant 100$.

Величина $x$ может получать значение 0 с вероятностью $a_{0}$ и любое целое положительное значение $n > 0$ с вероятностями $p_{n}$, убывающими в геометрической прогрессии ($p_{n} = B^{n}$). Надо определить указанные вероятности, если известно, что $\mathbb {E}\left[x\right] = a$, $\mathbb {E}\left[x^{2}\right] = b$, и установить условия, которым должны подчиняться $a$ и $b$, чтобы задача была возможна. Проверить, приемлемы ли значения $a=4$, $b=25$.

Величина $x$ получает целые неотрицательные значения $n \geqslant 0$ с вероятностями $a_{n} = A\frac{k^{n}}{n!}$. Определить $A$ и $k$, если известно, что $\mathbb {E}\left[x\right] = a$, и найти наиболее вероятное значение $\mu$ числа $n$.

Найти необходимые и достаточные условия, которым надо подчинить $a = \mathbb {E}\left[x\right]$, $b = \mathbb {E}\left[x^{2}\right]$, $c = \mathbb {E}\left[x^{3}\right]$, для того чтобы величина $x$ получала только целые неотрицательные значения $n \geqslant 0$ с вероятностями $a_{n} = \frac{Ak^{n}+Bl^{n}}{n!}$, где $A \geqslant 0$, $B \geqslant 0$, $k \geqslant 0$, $l \geqslant 0$. Рассмотреть численный пример: $a = \frac{7}{4}$, $b = \frac{13}{2}$, $c = \frac{13}{4}$; определить наиболее вероятное значение $n$.

Решить предыдущую задачу (задачу 6206) при условии, что $k$ может быть отрицательным.

Пример. $a = 1{,}85$; $b = 5{,}7$; $c = 20{,}95$.

Доказать, что $\left(\mathbb {E}\left[x^{p}\right]\right)^{q} \geqslant \left(\mathbb {E}\left[x^{q}\right]\right)^{p}$, если $x \geqslant 0$ и $p > q > 0$.

Доказать, что какова бы ни была величина $x$, моменты, т.е. м.о. последовательных ее степеней $a_{i} = \mathbb {E}\left[x^{i}\right]$, удовлетворяют неравенствам

Величина $x$ может получить три значения, из которых одно есть нуль. Зная моменты его первых четырех степеней, определить значения $x$ и их вероятности; указать условия, необходимые и достаточные, чтобы эти значения были:

Число $x \geqslant 0$ может получать любые целые значения с вероятностью

Вычислить $a_{h}$, если известно, что $\mathbb {E}\left[x\right] = A$; показать, что $\mathbb {E}\left[x^{2}\right]$ не имеет смысла. Полагая $A=3$, вычислить вероятность $\mathbb {P}\left(P_{10}\right)$ того, что $x < 10$.

Известно, что

представляет вероятность числу $x \geqslant 0$ получить целое значение $h$. Определить $a_{h}$ по условию, чтобы среднеквадратическое отклонение $\sigma$ числа $x$, так же как и его м.о. $A$, были целыми числами.

Даны 2 ящика с шарами; в первом $N$ шаров, из них $M$ белых, во втором $N_{1}$ шаров, из них $M_{1}$ белых. Одновременно один шар из одного ящика заменяется шаром из другого, и обратно. Эта операция смешения производится последовательно $l$ раз. Требуется определить м.о. числа белых шаров после этого в каждом из ящиков. Рассмотреть случай, когда $l \to \infty$.

Решить предыдущую задачу (задачу 6213) в предположении, что $N_{1} = \infty$, т.е. при условии, что вынутый из первого ящика шар всегда заменяется черным. Рассмотреть случай, когда $l \to \infty$, причем $\frac{l}{N} = a$ остается конечным.

Вычислить дисперсию $B_{l}$ числа белых шаров после $l$ выниманий при условиях предыдущей задачи (задачи 6214: из первого ящика с $N$ шарами, из них $M$ белых, вынутый шар всегда заменяется черным, при $l \to \infty$, $\frac{l}{N}=a$ конечно).

Вероятность появления события изменяется от испытания к испытанию. Построить производящую функцию вероятностей $\mathbb {P}\left(P'_{m,n}\right)$ появления события $m$ или менее раз при $n$ независимых испытаниях.

При некоторой игре игрок имеет одинаковую вероятность $p=\frac{1}{5}$ ничего не выиграть или же выиграть или проиграть по 20 или 40 копеек. Требуется определить вероятность того, что после 12 партий он проиграет не менее 3 руб., и дисперсию $B$ его выигрыша.

Если игрок при бросании игральной кости выигрывает 4 руб. в случае появления 6 очков и выплачивает 1 руб. в прочих случаях, какова вероятность, что при 10000 бросаниях он проиграет не менее 200 руб.?

Предполагая, что при составлении 7-значной таблицы (мантисс) логарифмов все цифры равновероятны, какова вероятность $\mathbb {P}\left(R_{s}\right)$, что сумма $S$ цифр мантиссы окажется меньше 20? Каковы $\mathbb {E}\left[S\right]$ и $\mathbb {E}\left[S^{2}\right]$?

Число $x$ может получать любые целые значения $m$ с вероятностью $(1-q)q^{m}$; складывая $h$ значений этого числа, определить вероятность $\mathbb {P}\left(P_{a}\right)$, что полученная сумма $y$ равна $a$. Найти наиболее вероятное значение $S$ этой суммы; рассмотреть предельный случай, когда $h \to \infty$, причем $hq = t$ остается конечным.

Число $x_{n}$ с увеличением $n$ на 1 получает приращение $+1$ или $-1$, причем оба значения равно возможны, если $x_{n}=0$; если $x_{n} \geqslant 0$, то вероятность уменьшения $\left|x_{n}\right|$ равна $A \geqslant \frac{1}{2}$ (вероятность увеличения $\left|x_{n}\right|$ равна $B = 1-A \leqslant \frac{1}{2}$). Полагая $x_{0}=0$, найти вероятность $\mathbb {P}\left(P_{n,h}\right)$ равенства $\left|x_{n}\right|=h$ при любых $n$ и $h$; рассмотреть случай $n \to \infty$. Вычислить $\mathbb {E}\left[\left|x_{n}\right|\right]$. Рассмотреть случай $A=B=\frac{1}{2}$.

Применяя лемму Чебышева--Маркова, указать нижнюю границу вероятности $\mathbb {P}\left(P\right)$ неравенства

при $n$ независимых опытах, если в каждом опыте вероятность равна $\frac{1}{2}$, полагая $n = 10\, 000$; $n = 100\, 000$.

Применяя лемму Чебышева--Маркова, определить, как велико должно быть $n$, чтобы вероятность $\mathbb {P}\left(P\right)$ неравенства (*) из задачи 6222 ($\left|\frac{m}{n} - \frac{1}{2}\right| < \frac{1}{100}$, при $n$ независимых опытах с вероятностью $\frac{1}{2}$ в каждом опыте) была больше, чем 0,99?

Применяя лемму Чебышева--Маркова, при $n = 10\, 000$, какую верхнюю границу для $\left|\frac{m}{n} - \frac{1}{2}\right|$ можно указать с вероятностью не меньшей, чем 0,99?

Если игрок при бросании игральной кости выигрывает 4 руб. в случае появления 6 очков и выплачивает 1 руб. в прочих случаях, какова вероятность, применяя лемму Чебышева--Маркова, что при 10000 бросаниях он проиграет не менее 200 руб.?

Предполагая, что в $n$ последовательных и независимых опытах вероятности появления события $A$ соответственно $p_{i} = \left(\frac{1}{2}\right)^{i}$, определить нижнюю границу вероятности того, что число его появлений $m \leqslant 1$.

Показать, что каковы бы ни были случайная величина $x$ и данное положительное число $\varepsilon$, вероятность неравенства

меньше, чем $e^{-t^{2}}$, где $I = \mathbb {E}\left[e^{\varepsilon x}\right]$.

Полагая, что $m$ есть число появлений события $A$ в серии независимых опытов с соответственными вероятностями $p_{i}$, вывести из (A) — неравенства $\varepsilon x > t^{2} + \lg I$ из задачи 6227, — что вероятность неравенства

меньше, чем $e^{-t^{2}}$ (если $\varepsilon \leqslant 1$, $t^{2} \leqslant \sum_{n=1}^{n} p_{i}q_{i}$).

Показать тем же способом, что и в задаче 6228, что вероятность неравенства

меньше, чем $e^{-t^{2}}$ ($t^{2} \leqslant \sum_{i=1}^{n} p_{i}q_{i}$).

Пользуясь неравенствами (B) и (C) из задач 6228 и 6229, решить задачи 6223 и 6225.

Показать, что если $p = \frac{1}{2}$, то вероятность неравенства

меньше, чем $e^{-t^{2}}$. Применить к решению задачи 6224.

Производится $n$ независимых опытов, где вероятность $p_{i}$ в $i$-м опыте появления события $A$ равна $\left(\frac{3}{4}\right)^{i}$; требуется определить верхнюю границу вероятности $p$, что число $m$ появлений $A$ будет более 10.

Величина $x_{k}$ принимает три значения: $+k^{\beta }$, $-k^{\beta }$ и 0 с вероятностями, равными соответственно $\frac{1}{2k^{\alpha }}$, $\frac{1}{2k^{\alpha }}$ и $1-\frac{1}{k^{\alpha }}$. Доказать, что к сумме независимых величин $\sum_{k=1}^{n} x_{k}$ приложим закон больших чисел, если $\alpha > 1$.

Обобщить результат предыдущей задачи (задачи 6233), показав применимость закона больших чисел к сумме $\sum_{k=1}^{n} x_{k}$ независимых случайных переменных $x_{k}$, определяемых следующим образом. Случайная переменная $x_{k}$ принимает серию значений с вероятностями, указанными в таблице:

Ряд $p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{k}+\ldots$ сходящийся.

Пользуясь формулой Лапласа, указать, сколько раз $n$ надо бросить игральную кость, чтобы вероятность неравенства

была не менее, чем вероятность противоположного неравенства, где $m$ — число появлений 6 очков.

Игрок выигрывает 7 руб. при появлении 6 очков и уплачивает 1 руб. в других случаях. Требуется с вероятностью $2\Phi (4) \approx 0{,}999936$ указать, между какими пределами будет его выигрыш $R$ после 8000 бросаний кости.

Вероятность появления события в каждом из серии независимых испытаний одна и та же и равна $\frac{3}{4}$. С какой вероятностью можно ожидать, что при 10000 испытаний отношение числа $m$ появления события к числу $n$ произведенных испытаний отличается от вероятности $\frac{3}{4}$ меньше чем на 0,0001, меньше чем на 0,001 и меньше чем на 0,01 соответственно?

Бюффон, производя опыт для проверки закона больших чисел, бросил монету 4040 раз. Герб появился 2048 раз. Вычислить вероятность, с которой можно ожидать, что при повторении опыта Бюффона отклонение частости появлений герба от вероятности не превзойдет величины уклонения, имевшей место в опыте Бюффона.

Для события, имеющего вероятность появления $p = 0{,}2$, будет произведена серия независимых испытаний. Указать, какое уклонение частости появления события от вероятности можно ожидать с вероятностью $\mathbb {P}\left(P\right) = 0{,}9128$ при 5000 испытаний.

Производились опыты по выяснению устойчивости различных железных сплавов против коррозии.

Произведенные для определенного сплава опыты обнаружили, что этот сплав не поддается коррозии в среднем в течение 875 дней. Это определение сопровождается стандартным уклонением, равным 85 дням.

Пользуясь интегралом вероятностей, указать, какое количество листов, изготовленных из данного сплава, должно быть подвергнуто испытанию, чтобы с вероятностью 0,90 ожидать величину уклонения от средней не больше, чем на $5\%$.

Из урны, содержащей черные и белые шары в отношении $1:3$, производят $n$ извлечений шара. При каждом извлечении регистрируется цвет шара, после чего он возвращается в урну. Каким следует выбрать число $n$, чтобы ожидать уклонение частости появления белого шара от его вероятности не больше, чем на 0,001, с вероятностью 0,9966?

Сколько раз следует бросать монету, чтобы с вероятностью 0,6 ожидать, что уклонение частости появления герба от вероятности 0,5 оказалась меньше 0,01?

Определить уравнение огибающей всех нормальных кривых $y = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e^{-x^{2}/2\sigma^{2}}$.

При подсчете числа простых чисел, которые в восьмом, девятом и десятом миллионах приходятся на каждую из 2000 групп по 500 последовательных чисел, обнаружились следующие данные: ни в одной группе не оказалось менее 17 простых чисел и более 46. В верхней строке прилагаемой таблицы поставлены все числа $x$ ($17 \leqslant x \leqslant 46$), фактически наблюдавшиеся; в дальнейших трех строках в каждом столбце под соответствующим значением $x$ указано число групп $N_{1}(x)$, $N_{2}(x)$, $N_{3}(x)$, содержащих $x$ простых чисел соответственно в восьмом, девятом и десятом миллионах.

Вычислить средние числа $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$ простых чисел на каждую группу и их дисперсии $\sigma_{1}^{2}$, $\sigma_{2}^{2}$, $\sigma_{3}^{2}$ для каждого миллиона. Показать, что если бы в каждом миллионе простые числа были расположены случайно, то дисперсии были бы значительно больше.

Показать, что если бы указанные в предыдущем примере (задаче 6244) средние значения $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$ и соответствующие им средние квадратичные отклонения $\sigma_{1}^{2}$, $\sigma_{2}^{2}$, $\sigma_{3}^{2}$ получены были бы в результате механических выборок, то разница между $M_{1}$ и $M_{3}$ не могла бы быть признана случайной; напротив, разница между $M_{1}$ и $M_{2}$ могла бы быть и случайной.

Построить по схеме Пуассона совокупности групп из 500 опытов в каждой, где вероятность $p_{i}$ появления простого числа была бы равна 0 или $p$ в $i$-м опыте так, чтобы средняя вероятность была равна $\mathbb {P}\left(P\right) = \frac{1}{16} = 0{,}0625$ при заданной дисперсии $\sigma^{2} = 18\frac{11}{48} = \frac{875}{48}$. Показать, пользуясь элементарными соображениями о делимости чисел, что в натуральной последовательности 500 чисел не может быть более 119 простых чисел.

В двух местностях распределение рабочих по возрасту характеризуется таблицей:

Выяснить, представляется ли разность отношения числа рабочих старше 35 лет к общему числу рабочих в данной местности больше той, которую можно ожидать при случайной выборке.

Стальная проволока, идущая на изготовление канатов, выдерживает в среднем растягивающее усилие в $6720 \text{ кг/см}^{2}$. Стандартное уклонение отдельных образцов от этого среднего имеет величину $220 \text{ кг/см}^{2}$. Серия последовательно проведенных наблюдений показала, что в отношении растягивающих усилий, выдерживаемых отдельными образцами проволоки, имеет место нормальный закон распределения.

Из каждой партии проволоки, поступившей на завод, было подвергнуто испытанию 20 экземпляров. Результаты испытаний даются в приведенной ниже таблице.

Величина растягивающего усилия, выдерживаемого проволокой на 1 см2

Возможно ли на основании этих испытаний утверждать, что обе партии проволоки требуемого качества и результаты испытаний следует объяснить случайностью выборки?

Пользуясь данными предыдущей задачи (задачи 6248 — испытания на растяжение проволоки двух партий), что можно было бы сказать относительно качества проволоки, поступившей на завод, если бы в журнале испытаний не была указана принадлежность образцов к отдельным партиям?

Приемка партий проволоки (см. задачу 6249) происходит при условиях, когда оказывается, что как среднее значение растягивающего усилия, так и его стандартное уклонение для проволоки, поступающей на завод, раньше не определялись. Можно ли сказать в этом случае, что качество поступивших партий проволоки различно, или результат испытаний следует отнести за счет случайности выборки?

Испытания на растяжение, произведенные для одного и того же сплава, приготовленного на пяти различных заводах, показали следующий результат:

Растягивающее усилие и его стандартное уклонение выражаются в килограммах на квадратный сантиметр.

Следует ли объяснить различие средних случайным отбором образцов, или же различием качества сплавов, т.е. уклонением в производстве одного из заводов от стандартной марки.

Для того чтобы вал радиуса $r$ мог вращаться в круговом отверстии опоры радиуса $R$, необходимо, чтобы между валом и отверстием оставалось свободное пространство. Величина разности между $R$ и $r$ должна, однако, оставаться в известных пределах

При серийном изготовлении валов и опор обе части готовятся раздельно, причем при сборке может оказаться, что части не подходят одна к другой. Полагая, что в налаженном производстве уклонения величин $r$ и $R$ от средних значений $r_{0}$ и $R_{0}$ следуют нормальному закону распределения, вычислить, какой процент изделий придется отбросить при сборке на конвейере.

Распределение значений величины $x$ имеет стандартное уклонение $\sigma$. Отдельное измерение значений $x$ сопровождается средней квадратичной ошибкой $\sigma '$. Для измерения $x$ приходится пользоваться образцами, изготовление которых обходится в $a$ руб. за штуку. Стоимость производства одного измерения — $a'$ руб. Сколько следует изготовить отдельных образцов и сколько измерений произвести над каждым, чтобы среднее значение величины $x$, установленное в результате этой серии наблюдений, сопровождалось средней квадратичной ошибкой, не превосходящей $\alpha$, и стоимость производства опыта была бы возможно малой?

Доказать, что если $x_{k}$ может получать с вероятностями, равными $\frac{1}{2}$, два значения $\pm k^{\lambda }$, где $\lambda \geqslant -\frac{1}{2}$, то к сумме $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} x_{k}$ теорема Ляпунова--Маркова применима.

Рассматривается серия из весьма большого числа $n$ опытов, разбивающихся на группы по 3 в каждой так, что в первых двух опытах каждой группы вероятность появления события $A$ равна $\frac{1}{2}$, а исход третьего опыта предопределен результатами предыдущих двух опытов тем, что число появлений $A$ в каждой группе должно быть четным (0 или 2). Показать, что число $m$ появлений события $A$ во всей серии $n$ подчиняется тому же предельному закону Лапласа--Гаусса, как если бы все опыты (как в схеме Бернулли) были независимы.

Величина $x_{k}$ может получать значения $\pm k^{\lambda }$ с вероятностями $\frac{1}{2k^{\lambda }}$, либо значение 0 с вероятностью $1-\frac{1}{k^{\lambda }}$, где $0 < \lambda < 1$. Требуется доказать, что к сумме $\sum_{k=1}^{n} x_{k}$ независимых величин $x_{k}$ применима теорема Ляпунова--Маркова.

На отрезке $AB$ длины $l$ поставлены наудачу две точки $L$ и $M$. Какова вероятность того, что точка $L$ окажется ближе к точке $A$, нежели точка $M$? Все положения точек $L$ и $M$ на отрезке $AB$ одинаково возможны.

На отрезке $AB$ длины $l$ поставлены наудачу две точки $L$ и $M$. Какова вероятность, что точка $L$ ближе к точке $M$, чем к точке $A$? Все положения точек $L$ и $M$ одинаково возможны.

На отрезке $AB$ длины $l$ поставлена наудачу точка $L$. Какова вероятность того, что расстояние от этой точки до середины отрезка меньше, чем расстояние от этой точки до одного из краев, и какова вероятность того, что расстояние до середины меньше, чем расстояние до определенного края? Все положения точки $L$ на отрезке $AB$ одинаково возможны.