Применение основных теорем. Формула Байеса

При записи фамилий членов некоторого собрания, общее число которых равно 360, оказалось, что начальной буквой фамилии у семи была $A$, у пяти была $E$, у восьми была $И$, у девяти — $O$, у четырех — $У$, у двух — $Ю$, у всех прочих фамилия начиналась с согласной. Требуется определить вероятность $\mathbb {P}\left(P\right)$ того, что фамилия члена данного собрания начинается гласной.

Из ящика, в котором находится 20 шаров белого цвета и 2 черного, вынимается $m$ шаров, причем после каждого вынимания шар кладется обратно; требуется определить наименьшее значение $x_{0}$ числа $m$ выниманий, при котором вероятность $\mathbb {P}\left(P\right)$ достать хоть один раз черный шар больше $\frac{1}{2} \left(\mathbb {P}\left(P\right) > \frac{1}{2}\right)$.

При тех же условиях, что и в предыдущей задаче — из ящика, в котором находится 20 шаров белого цвета и 2 черного, вынимается $m$ шаров без возврата шара обратно в ящик — определить наименьшее значение $x$ числа выниманий $m$, чтобы вероятность $\mathbb {P}\left(P\right)$ достать хоть один белый шар была более $\frac{1}{2}$, если шар не кладется обратно.

Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы появление хоть один раз 6 очков получило вероятность больше 0,7? больше 0,8? больше 0,9?

Колода карт разделяется на две пачки поровну (по 26 карт). Требуется определить вероятность $\mathbb {P}\left(P\right)$, что в обеих пачках окажется равное (2) число тузов.

При тех же условиях, что и в предыдущей задаче — колода карт разделяется на две пачки поровну (по 26 карт) — определить вероятность $\mathbb {P}\left(P_{1}\right)$, что карт красных и черных мастей в каждой пачке будет поровну (13).

Из колоды карт берется 6 карт. Требуется определить вероятность $\mathbb {P}\left(P\right)$, что среди этих карт будут представительницы всех четырех мастей.

Каково наименьшее число $x_{0}$ карт, которое необходимо взять из колоды, чтобы вероятность $\mathbb {P}\left(P_{x_{0}}\right)$, что среди них встретятся две карты одинакового наименования, была более $\frac{1}{2}$?

20 человек, среди которых 10 мужчин и 10 женщин, группируются попарно. Какова вероятность $\mathbb {P}\left(P\right)$, если группировка происходит случайно, что каждая из 10 пар состоит из лиц разного пола?

Общество из 5 мужчин и 10 женщин разбивается на 5 групп по 3 человека. Какова вероятность при случайной группировке, что в каждой группе будет по 1 мужчине?

Телефонный номер состоит из 5 цифр. Определить вероятность $\mathbb {P}\left(P\right)$, что все цифры различны (каждая цифра может иметь 10 значений).

В трех урнах содержатся белые и черные шары. В первой содержатся 3 белых шара и 1 черный, во второй урне 6 белых и 4 черных, в третьей — 9 белых и 1 черный. Из урны, выбранной наудачу, извлекается шар. Вычислить вероятность, что этот шар белый, считая, что выбор любой из урн одинаково вероятен.

Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложено два шара в урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара. Вычислить вероятность вынуть белый шар из второй урны.

В трех урнах содержатся белые и черные шары. В первой 2 белых и 3 черных шара, во второй 2 белых и 2 черных шара, в третьей 3 белых и 1 черный шар. Из первой урны переложен шар во вторую. После этого шар из второй урны переложен в третью. Наконец из третьей урны шар переложен в первую.

Какое распределение черных и белых шаров в первой урне представляется наиболее вероятным? Вычислить эту вероятность.

Что представляется более вероятным: сохранение первоначального состава урны или его изменение?

В условиях предыдущей задачи (задачи 6150 — из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложено два шара в урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара) определить вероятность того, что состав шаров во всех урнах не изменится от перекладывания.

В условиях задачи 6150 (из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложено два шара в урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара) вычислить вероятность того, что при перекладывании шаров из одной урны в другую два раза был переложен шар белого цвета и один раз шар черного цвета. Указать вероятность того, что при этом состав первой урны не изменится.

Требуется показать, что

в частности, если $A$ и $B$ независимы, то

Доказать, что если $Y = X + \delta$, причем вероятность того, что $X \leqslant 10$, равна 0,9, а вероятность того, что $\left|\delta \right| \leqslant 1$, равна 0,95, то вероятность $\mathbb {P}\left(P_{1}\right)$ того, что $Y \leqslant 9$, и вероятность $\mathbb {P}\left(P_{2}\right)$ того, что $Y \leqslant 11$, удовлетворяют неравенствам

какова бы ни была зависимость между $X$ и $\delta$.

Доказать, что

Рассматриваются $n$ фактов $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{n}$; обозначим через $p_{i} = \mathbb {P}\left(A_{i}\right)$; $p_{ik} = \mathbb {P}\left(A_{i} \text{ и } A_{k}\right)$, $p_{ikl} = \mathbb {P}\left(A_{i} \text{ и } A_{k} \text{ и } A_{l}\right)$ и т.д. Показать, что вероятность

Из урны, содержащей шары с номерами $1, 2, \ldots , N$, производятся последовательно извлечения шара. Каждый раз по извлечении шар возвращается обратно в урну. Вычислить вероятность, что при $n$-кратном извлечении номера последовательно вынутых шаров будут идти в возрастающем порядке.

Из последовательности чисел $1, 2, \ldots , n$ отмечено число $k$. Какова вероятность, что два числа, выбранных наудачу из этой последовательности, окажутся одно меньше и другое больше, чем $k$?

Из последовательности чисел $1, 2, \ldots , N$ отобраны наудачу $n$ чисел: $x_{1} < x_{2} < \cdots < x_{n}$. Найти вероятность того, что $x_{m} = M$.

Из урны, содержащей шары с номерами $1, 2, 3, \ldots , N$, производятся последовательные извлечения $n$ шаров. Каждый раз по извлечении шар возвращается в урну обратно. Номера вынутых шаров записаны в порядке возрастания. Вычислить вероятность, что номер $m$-го шара окажется равным $M$.

Предполагая в предыдущей задаче числа $M$ и $N$ весьма большими и отношение их равным $x$, найти предельный закон распределения величины $x$.

6 билетов с номерами $1, 2, \ldots , 6$, последовательно вынимаемых из ящика, имеют одинаковую вероятность появиться в любом порядке. Нужно определить (пользуясь решением задачи 6157) вероятность $\mathbb {P}\left(P\right)$ того, что порядковый номер по крайней мере у одного из билетов совпадает с его собственным номером. Решить ту же задачу, если число билетов неограниченно возрастает.

Дано $N$ билетов с номерами $1, 2, \ldots , N$, как в предыдущей задаче. Определить вероятность $\mathbb {P}\left(P\right)$ того, что, последовательно выбирая $n < N$ из них, по крайней мере один раз порядковый номер извлечения билета совпадает с его собственным номером. Рассмотреть случай $N = 10$, $n = 5$.

Из сосуда, содержащего $m$ белых и $n$ черных шаров, вынимаются последовательно шары и не возвращаются обратно в урну. Операция продолжается, пока не появится белый шар. Выяснить закон распределения числа извлеченных черных шаров.

Предполагая в предыдущей задаче величины $m$, $n$ весьма большими, установить предельный закон распределения. Отношение $n : (m+n) = a$.

Из сосуда, содержащего $m$ белых и $n$ черных шаров, извлекается шар и возвращается в сосуд обратно. Извлечение продолжается до тех пор, пока не появится белый шар. Вычислить вероятность $k$-кратного извлечения черного шара.

Предположив в задаче 6167, что величины $m$ и $n$ возрастают беспредельно и отношение $n : (m+n)$ стремится к $a$, установить предельный закон распределения.

Из сосуда, содержащего 2 белых и 4 черных шара, двое поочередно извлекают шары. По извлечении шар каждый раз возвращается в сосуд обратно. Извлечение прекращается при появлении белого шара.

Вычислить вероятность извлечь первым белый шар каждому из участников, если шар извлекается не больше $2k$ раз.

Из сосуда, содержащего 2 белых и 4 черных шара, двое поочередно извлекают шар. Вычислить вероятность вынуть первым белый шар каждому из участников.

Двое играют в игру, бросая монету. Выигравшим считается тот, кто первым откроет решетку. Во сколько раз больше вероятность выигрыша начавшего, если бросание монеты может быть продолжено сколь угодно долго?

В сосуде заключается $N$ билетов с различными номерами. Из сосуда вынимают $m$ раз по $n$ билетов, каждый раз возвращая их обратно. Вычислить вероятность, что $k$ билетов не появится. Вычислить вероятность, что все билеты появятся.

В сосуде заключается $N$ билетов с различными номерами. Из сосуда $k$ раз вынимаются $n$ билетов и по извлечении возвращаются обратно. Установить закон распределения для числа различных номеров, появившихся при $k$ извлечениях.

В трех ящиках находятся соответственно:

При тех же условиях, что и в задаче 6174 (три ящика: (а) 2 белых и 3 черных шара, (б) 4 белых и 3 черных шара, (в) 6 белых и 2 черных шара, извлечение из всех трех ящиков одинаково вероятно), определить вероятности $x_{1}$ и $x_{2}$ того, что извлечение было произведено из первого ящика, если известно, что после трех извлечений (с возвратом шара) из того же ящика: а) все три шара оказались белыми; б) все три шара оказались черными.

Даны два ящика: в первом находятся 2 белых, 3 красных и 20 черных шаров, во втором — 8 белых, 15 красных и 2 черных шара. После извлечений шара из одного, а потом из другого ящика вынутыми оказались сперва черный, а потом красный шары.

Определить вероятность того, что извлечение производилось сначала из первого, а потом из второго ящика, предполагая обе последовательности a priori равновероятными.

Событие $A$ имеет вероятность $\mathbb {P}\left(P\right)$ произойти в любой момент промежутка времени $T$. Требуется определить его вероятность $p$ произойти в течение остающегося времени $T-t$, если по истечении времени $t < T$ событие $A$ еще не произошло.

Если известно, что вероятность двум близнецам быть одинакового пола вдвое больше, чем вероятность быть разного пола, причем вообще, вероятность рождения мальчика равна 0,51, требуется определить вероятность того, что другой из близнецов мальчик, после того как установлено, что первый из них — мальчик.

Какова вероятность $p_{0}$, что среди 1000 лампочек нет испорченной, если из взятых 100 наудачу все оказались исправными? Решить задачу при предположении, что число плохих лампочек не может превысить 5 на тысячу и все значения (0, 1, 2, 3, 4, 5) числа испорченных лампочек a priori равновозможны.

В сосуд, содержащий $n$ шаров, опущен белый шар. Какова вероятность вынуть белый шар из этого сосуда? Все предположения о первоначальном составе шаров считаются одинаково возможными.

Из сосуда, содержащего $n$ шаров неизвестного цвета, вынут один шар, оказавшийся белым. Вычислить вероятность того, что вновь вынутый шар будет тоже белый. Все предположения о первоначальном составе шаров в сосуде считать одинаково возможными.

Из сосуда, содержащего $n$ шаров неизвестного цвета, вынут один шар, оказавшийся белым. По возвращении этого шара в урну вновь вынут шар. Определить вероятность того, что этот шар будет белого цвета. Первоначальный состав сосуда представляется одинаково вероятным.

Из сосуда, содержащего $N$ шаров, вынуты $m+n$ шаров, среди которых $m$ шаров белого цвета. Установить вероятность того, что до изъятия в сосуде было $M$ шаров белого цвета.

Из отвала, содержащего на поверхности $n$ кусков окисленной руды и $n'$ кусков сульфидной руды, отобрано наудачу $m$ образцов и отправлено в лабораторию для анализа. При вскрытии ящика с образцами оказалось, что первые $k$ из вынутых кусков относятся к рудам окисленным.

Какова вероятность, что и следующий кусок будет относиться к той же руде? При решении задачи принять, что любые $m$ из $n+n'$ кусков на поверхности отвала могли быть отобраны в ящик с одинаковой вероятностью.

В сосуде содержатся белые и черные шары. Общее число $N$ шаров в сосуде известно, но не известно ни число белых, ни число черных шаров.

При $(m+n)$-кратном извлечении шара из сосуда $m$ раз появился белый шар и $n$ раз черный.

Какой состав шаров в сосуде представляется наиболее вероятным? Все предположения о первоначальном составе сосуда одинаково вероятны.

Обозначая через $\mathbb {P}\left(P_{i,n}\right)$ вероятность появления события $A$ $i$ раз при $n$ независимых опытах, если вероятности $A$ последовательно равны $p_{1}, p_{2}, \ldots , p_{n}$, доказать неравенства

из которых вытекает, что $\mathbb {P}\left(P_{i,n}\right)$ возрастает вместе с $i$ до некоторого максимального значения, после которого она начинает убывать.

Пример. $p_{1} = \frac{1}{2}$, $p_{2} = \frac{1}{3}$, $p_{3} = \frac{1}{4}$, $p_{4} = \frac{1}{5}$, $p_{5} = \frac{1}{6}$.

Даны 3 попарно независимых события, которые, однако, все 3 вместе произойти не могут. Предполагая, что все они имеют одну и ту же вероятность $x$, определить наибольшее возможное значение $x$.