Теорема Бернулли. Неравенства Чебышева

Применяя лемму Чебышева--Маркова, указать нижнюю границу вероятности $\mathbb {P}\left(P\right)$ неравенства

при $n$ независимых опытах, если в каждом опыте вероятность равна $\frac{1}{2}$, полагая $n = 10\, 000$; $n = 100\, 000$.

Применяя лемму Чебышева--Маркова, определить, как велико должно быть $n$, чтобы вероятность $\mathbb {P}\left(P\right)$ неравенства (*) из задачи 6222 ($\left|\frac{m}{n} - \frac{1}{2}\right| < \frac{1}{100}$, при $n$ независимых опытах с вероятностью $\frac{1}{2}$ в каждом опыте) была больше, чем 0,99?

Применяя лемму Чебышева--Маркова, при $n = 10\, 000$, какую верхнюю границу для $\left|\frac{m}{n} - \frac{1}{2}\right|$ можно указать с вероятностью не меньшей, чем 0,99?

Если игрок при бросании игральной кости выигрывает 4 руб. в случае появления 6 очков и выплачивает 1 руб. в прочих случаях, какова вероятность, применяя лемму Чебышева--Маркова, что при 10000 бросаниях он проиграет не менее 200 руб.?

Предполагая, что в $n$ последовательных и независимых опытах вероятности появления события $A$ соответственно $p_{i} = \left(\frac{1}{2}\right)^{i}$, определить нижнюю границу вероятности того, что число его появлений $m \leqslant 1$.

Показать, что каковы бы ни были случайная величина $x$ и данное положительное число $\varepsilon$, вероятность неравенства

меньше, чем $e^{-t^{2}}$, где $I = \mathbb {E}\left[e^{\varepsilon x}\right]$.

Полагая, что $m$ есть число появлений события $A$ в серии независимых опытов с соответственными вероятностями $p_{i}$, вывести из (A) — неравенства $\varepsilon x > t^{2} + \lg I$ из задачи 6227, — что вероятность неравенства

меньше, чем $e^{-t^{2}}$ (если $\varepsilon \leqslant 1$, $t^{2} \leqslant \sum_{n=1}^{n} p_{i}q_{i}$).

Показать тем же способом, что и в задаче 6228, что вероятность неравенства

меньше, чем $e^{-t^{2}}$ ($t^{2} \leqslant \sum_{i=1}^{n} p_{i}q_{i}$).

Пользуясь неравенствами (B) и (C) из задач 6228 и 6229, решить задачи 6223 и 6225.

Показать, что если $p = \frac{1}{2}$, то вероятность неравенства

меньше, чем $e^{-t^{2}}$. Применить к решению задачи 6224.

Производится $n$ независимых опытов, где вероятность $p_{i}$ в $i$-м опыте появления события $A$ равна $\left(\frac{3}{4}\right)^{i}$; требуется определить верхнюю границу вероятности $p$, что число $m$ появлений $A$ будет более 10.

Величина $x_{k}$ принимает три значения: $+k^{\beta }$, $-k^{\beta }$ и 0 с вероятностями, равными соответственно $\frac{1}{2k^{\alpha }}$, $\frac{1}{2k^{\alpha }}$ и $1-\frac{1}{k^{\alpha }}$. Доказать, что к сумме независимых величин $\sum_{k=1}^{n} x_{k}$ приложим закон больших чисел, если $\alpha > 1$.

Обобщить результат предыдущей задачи (задачи 6233), показав применимость закона больших чисел к сумме $\sum_{k=1}^{n} x_{k}$ независимых случайных переменных $x_{k}$, определяемых следующим образом. Случайная переменная $x_{k}$ принимает серию значений с вероятностями, указанными в таблице:

Ряд $p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{k}+\ldots$ сходящийся.