Теоремы Лапласа и Ляпунова--Маркова

Пользуясь формулой Лапласа, указать, сколько раз $n$ надо бросить игральную кость, чтобы вероятность неравенства

была не менее, чем вероятность противоположного неравенства, где $m$ — число появлений 6 очков.

Игрок выигрывает 7 руб. при появлении 6 очков и уплачивает 1 руб. в других случаях. Требуется с вероятностью $2\Phi (4) \approx 0{,}999936$ указать, между какими пределами будет его выигрыш $R$ после 8000 бросаний кости.

Вероятность появления события в каждом из серии независимых испытаний одна и та же и равна $\frac{3}{4}$. С какой вероятностью можно ожидать, что при 10000 испытаний отношение числа $m$ появления события к числу $n$ произведенных испытаний отличается от вероятности $\frac{3}{4}$ меньше чем на 0,0001, меньше чем на 0,001 и меньше чем на 0,01 соответственно?

Бюффон, производя опыт для проверки закона больших чисел, бросил монету 4040 раз. Герб появился 2048 раз. Вычислить вероятность, с которой можно ожидать, что при повторении опыта Бюффона отклонение частости появлений герба от вероятности не превзойдет величины уклонения, имевшей место в опыте Бюффона.

Для события, имеющего вероятность появления $p = 0{,}2$, будет произведена серия независимых испытаний. Указать, какое уклонение частости появления события от вероятности можно ожидать с вероятностью $\mathbb {P}\left(P\right) = 0{,}9128$ при 5000 испытаний.

Производились опыты по выяснению устойчивости различных железных сплавов против коррозии.

Произведенные для определенного сплава опыты обнаружили, что этот сплав не поддается коррозии в среднем в течение 875 дней. Это определение сопровождается стандартным уклонением, равным 85 дням.

Пользуясь интегралом вероятностей, указать, какое количество листов, изготовленных из данного сплава, должно быть подвергнуто испытанию, чтобы с вероятностью 0,90 ожидать величину уклонения от средней не больше, чем на $5\%$.

Из урны, содержащей черные и белые шары в отношении $1:3$, производят $n$ извлечений шара. При каждом извлечении регистрируется цвет шара, после чего он возвращается в урну. Каким следует выбрать число $n$, чтобы ожидать уклонение частости появления белого шара от его вероятности не больше, чем на 0,001, с вероятностью 0,9966?

Сколько раз следует бросать монету, чтобы с вероятностью 0,6 ожидать, что уклонение частости появления герба от вероятности 0,5 оказалась меньше 0,01?

Определить уравнение огибающей всех нормальных кривых $y = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e^{-x^{2}/2\sigma^{2}}$.

При подсчете числа простых чисел, которые в восьмом, девятом и десятом миллионах приходятся на каждую из 2000 групп по 500 последовательных чисел, обнаружились следующие данные: ни в одной группе не оказалось менее 17 простых чисел и более 46. В верхней строке прилагаемой таблицы поставлены все числа $x$ ($17 \leqslant x \leqslant 46$), фактически наблюдавшиеся; в дальнейших трех строках в каждом столбце под соответствующим значением $x$ указано число групп $N_{1}(x)$, $N_{2}(x)$, $N_{3}(x)$, содержащих $x$ простых чисел соответственно в восьмом, девятом и десятом миллионах.

Вычислить средние числа $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$ простых чисел на каждую группу и их дисперсии $\sigma_{1}^{2}$, $\sigma_{2}^{2}$, $\sigma_{3}^{2}$ для каждого миллиона. Показать, что если бы в каждом миллионе простые числа были расположены случайно, то дисперсии были бы значительно больше.

Показать, что если бы указанные в предыдущем примере (задаче 6244) средние значения $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$ и соответствующие им средние квадратичные отклонения $\sigma_{1}^{2}$, $\sigma_{2}^{2}$, $\sigma_{3}^{2}$ получены были бы в результате механических выборок, то разница между $M_{1}$ и $M_{3}$ не могла бы быть признана случайной; напротив, разница между $M_{1}$ и $M_{2}$ могла бы быть и случайной.

Построить по схеме Пуассона совокупности групп из 500 опытов в каждой, где вероятность $p_{i}$ появления простого числа была бы равна 0 или $p$ в $i$-м опыте так, чтобы средняя вероятность была равна $\mathbb {P}\left(P\right) = \frac{1}{16} = 0{,}0625$ при заданной дисперсии $\sigma^{2} = 18\frac{11}{48} = \frac{875}{48}$. Показать, пользуясь элементарными соображениями о делимости чисел, что в натуральной последовательности 500 чисел не может быть более 119 простых чисел.

В двух местностях распределение рабочих по возрасту характеризуется таблицей:

Выяснить, представляется ли разность отношения числа рабочих старше 35 лет к общему числу рабочих в данной местности больше той, которую можно ожидать при случайной выборке.

Стальная проволока, идущая на изготовление канатов, выдерживает в среднем растягивающее усилие в $6720 \text{ кг/см}^{2}$. Стандартное уклонение отдельных образцов от этого среднего имеет величину $220 \text{ кг/см}^{2}$. Серия последовательно проведенных наблюдений показала, что в отношении растягивающих усилий, выдерживаемых отдельными образцами проволоки, имеет место нормальный закон распределения.

Из каждой партии проволоки, поступившей на завод, было подвергнуто испытанию 20 экземпляров. Результаты испытаний даются в приведенной ниже таблице.

Величина растягивающего усилия, выдерживаемого проволокой на 1 см2

Возможно ли на основании этих испытаний утверждать, что обе партии проволоки требуемого качества и результаты испытаний следует объяснить случайностью выборки?

Пользуясь данными предыдущей задачи (задачи 6248 — испытания на растяжение проволоки двух партий), что можно было бы сказать относительно качества проволоки, поступившей на завод, если бы в журнале испытаний не была указана принадлежность образцов к отдельным партиям?

Приемка партий проволоки (см. задачу 6249) происходит при условиях, когда оказывается, что как среднее значение растягивающего усилия, так и его стандартное уклонение для проволоки, поступающей на завод, раньше не определялись. Можно ли сказать в этом случае, что качество поступивших партий проволоки различно, или результат испытаний следует отнести за счет случайности выборки?

Испытания на растяжение, произведенные для одного и того же сплава, приготовленного на пяти различных заводах, показали следующий результат:

Растягивающее усилие и его стандартное уклонение выражаются в килограммах на квадратный сантиметр.

Следует ли объяснить различие средних случайным отбором образцов, или же различием качества сплавов, т.е. уклонением в производстве одного из заводов от стандартной марки.

Для того чтобы вал радиуса $r$ мог вращаться в круговом отверстии опоры радиуса $R$, необходимо, чтобы между валом и отверстием оставалось свободное пространство. Величина разности между $R$ и $r$ должна, однако, оставаться в известных пределах

При серийном изготовлении валов и опор обе части готовятся раздельно, причем при сборке может оказаться, что части не подходят одна к другой. Полагая, что в налаженном производстве уклонения величин $r$ и $R$ от средних значений $r_{0}$ и $R_{0}$ следуют нормальному закону распределения, вычислить, какой процент изделий придется отбросить при сборке на конвейере.

Распределение значений величины $x$ имеет стандартное уклонение $\sigma$. Отдельное измерение значений $x$ сопровождается средней квадратичной ошибкой $\sigma '$. Для измерения $x$ приходится пользоваться образцами, изготовление которых обходится в $a$ руб. за штуку. Стоимость производства одного измерения — $a'$ руб. Сколько следует изготовить отдельных образцов и сколько измерений произвести над каждым, чтобы среднее значение величины $x$, установленное в результате этой серии наблюдений, сопровождалось средней квадратичной ошибкой, не превосходящей $\alpha$, и стоимость производства опыта была бы возможно малой?

Доказать, что если $x_{k}$ может получать с вероятностями, равными $\frac{1}{2}$, два значения $\pm k^{\lambda }$, где $\lambda \geqslant -\frac{1}{2}$, то к сумме $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} x_{k}$ теорема Ляпунова--Маркова применима.

Рассматривается серия из весьма большого числа $n$ опытов, разбивающихся на группы по 3 в каждой так, что в первых двух опытах каждой группы вероятность появления события $A$ равна $\frac{1}{2}$, а исход третьего опыта предопределен результатами предыдущих двух опытов тем, что число появлений $A$ в каждой группе должно быть четным (0 или 2). Показать, что число $m$ появлений события $A$ во всей серии $n$ подчиняется тому же предельному закону Лапласа--Гаусса, как если бы все опыты (как в схеме Бернулли) были независимы.

Величина $x_{k}$ может получать значения $\pm k^{\lambda }$ с вероятностями $\frac{1}{2k^{\lambda }}$, либо значение 0 с вероятностью $1-\frac{1}{k^{\lambda }}$, где $0 < \lambda < 1$. Требуется доказать, что к сумме $\sum_{k=1}^{n} x_{k}$ независимых величин $x_{k}$ применима теорема Ляпунова--Маркова.