Геометрические вероятности и законы распределения вероятностей

На отрезке $AB$ длины $l$ поставлены наудачу две точки $L$ и $M$. Какова вероятность того, что точка $L$ окажется ближе к точке $A$, нежели точка $M$? Все положения точек $L$ и $M$ на отрезке $AB$ одинаково возможны.

На отрезке $AB$ длины $l$ поставлены наудачу две точки $L$ и $M$. Какова вероятность, что точка $L$ ближе к точке $M$, чем к точке $A$? Все положения точек $L$ и $M$ одинаково возможны.

На отрезке $AB$ длины $l$ поставлена наудачу точка $L$. Какова вероятность того, что расстояние от этой точки до середины отрезка меньше, чем расстояние от этой точки до одного из краев, и какова вероятность того, что расстояние до середины меньше, чем расстояние до определенного края? Все положения точки $L$ на отрезке $AB$ одинаково возможны.

На отрезке $AB$ длины $l$ поставлены наудачу две точки $L$ и $M$. Вычислить м.о. длины отрезка $LM$ и величину стандартного уклонения при условии, что все положения точек $L$ и $M$ на отрезке $AB$ одинаково возможны.

На отрезке $AB$ длины $l$ поставлены наудачу две точки $L$ и $M$. Предполагая, что все положения точек $L$ и $M$ одинаково возможны, построить интегральную и дифференциальную кривые распределения длины отрезка $LM$.

Какова вероятность, что из трех взятых наудачу отрезков можно составить треугольник? Длина каждого из отрезков не превышает $a$, и все значения ее одинаково возможны.

Прут длины $l$ разламывается на две части, после чего бо́льшая часть опять разламывается надвое. Вычислить вероятность того, что из получившихся частей можно составить треугольник.

Предполагая, что все значения $\left|p\right| \leqslant 1$, $\left|q\right| \leqslant 1$ равновероятны и единственно возможны, определить вероятности того, что корни уравнения

Предполагая, что оба корня уравнения

имеют одинаковую вероятность иметь любое значение в промежутках $-1 \leqslant \alpha \leqslant 1$; $-1 \leqslant \beta \leqslant 1$, определить плотности $f(p)$ и $\varphi (q)$ распределения вероятностей коэффициентов $p$, $q$.

Какова вероятность того, что все корни кубического уравнения

написанного наудачу, окажутся вещественными? При этом предполагается, что все значения коэффициентов $p$ и $q$ одинаково возможны и не превосходят по абсолютному значению величины $M$.

Двое условились встретиться в определенном месте. Относительно времени уговорились, что каждый из них будет на месте встречи между 1 ч. и 2 ч. и ранее пришедший подождет другого в течение четверти часа. Вычислить вероятность того, что встреча произойдет.

Два лица, встречающихся в назначенном месте, имеют одинаковую вероятность прийти в любой момент промежутка времени $T$. Определить вероятность $\mathbb {P}\left(P\right)(t_{0})$, что одному из двух придется ждать другого, времени $t \leqslant t_{0}$, $\mathbb {E}\left[t\right]$ и $\mathbb {E}\left[t^{2}\right]$.

Необработанный алмаз разбился на $K$ частей. Предполагая, что ценность неграненого алмаза пропорциональна квадрату его веса, определить, во сколько раз уменьшилась его ценность, вычислив м.о. стоимости осколков. При решении задачи считать все возможные разделения объема на $K$ частей одинаково вероятными.

На окружности круга наудачу поставлены две точки $A$ и $B$. Считая все положения точек на окружности одинаково возможными, вычислить плотность вероятности того, что отношение расстояния между ними к диаметру окружности равно данной величине $x$. Составить кривую распределения вероятностей.

Материальная точка описывает под действием центральной силы эллиптическую траекторию. В некоторый момент времени производится измерение расстояния движущейся частицы от притягивающего центра. Вычислить м.о. расстояния движущейся точки от центра. Вероятность всех моментов измерения одинакова. Большая ось орбиты $a$ и эксцентриситет $e$.

Доказать, что при любом законе вероятностей м.о. квадрата расстояния между двумя точками $M_{1}(x_{1},y_{1})$ и $M_{2}(x_{2},y_{2})$ данной области не больше удвоенного м.о. квадрата расстояния от любой точки области до начала координат, которому оно равно, если $\mathbb {E}\left[x_{1}\right] = \mathbb {E}\left[y_{1}\right] = 0$.

Две точки $x$ и $y$ находятся на двух противоположных сторонах прямоугольника, стороны которого равны $a$ и $b$; полагая распределение вероятностей для каждой точки равномерным, определить вероятность $\mathbb {P}\left(P\right)(z_{1})$, что расстояние между ними $z < z_{1}$, а также $\mathbb {E}\left[z\right]$ и $\mathbb {E}\left[z^{2}\right]$.

Решить задачу, отличающуюся от предыдущей (задачи 6273 — точки $x$ и $y$ на сторонах прямоугольника со сторонами $a$ и $b$, равномерное распределение) тем, что точки $x$ и $y$ находятся на смежных сторонах прямоугольника.

Определить м.о. квадрата расстояния между двумя точками, находящимися на любой из четырех сторон прямоугольника, если все положения точек равновозможны. Проверить, что оно зависит только от периметра $2p$.

Вычислить м.о. квадрата расстояния между внутренними точками:

На отрезке $AB$ длины $l$ поставлены наудачу $k$ отрезков одинаковой длины $a$. Какова вероятность того, что точка $M$, находящаяся на расстоянии $b$ от одного из концов, окажется не покрытой ни одним из отрезков? Все положения каждого из отрезков считаются одинаково возможными.

На отрезке $AB$ длины $l$ поставлены наудачу 2 отрезка одинаковой длины $a$. Вычислить м.о. длины, перекрытой этими отрезками.

На отрезке $(a,b)$ разбросано наудачу $n$ точек $x_{i}$ (так что закон вероятностей $x_{i}$ на $(a,b)$ равномерен). Требуется определить закон распределения вероятностей $p_{m}(x_{m})$ точки $x_{m}$, занимающей $m$-е место от конца $b$.

Сохраняя условия предыдущей задачи (задачи 6279 — $n$ точек, разбросанных наудачу на $(a,b)$), вычислить м.о. $x_{m}$ и ее дисперсию $\sigma^{2}(x_{m})$.

Показать, сохранив условия задачи 6279 ($n$ точек, разбросанных наудачу на $(a,b)$), что если $a$ и $b$ — данные постоянные величины, а числа $m$ и $n$ бесконечно возрастают так, что $\mathbb {E}\left[x_{m}\right] = 0$, то вероятность неравенства $\frac{\beta }{\sqrt{n}} < x_{m} < \frac{\alpha }{\sqrt{n}}$ имеет пределом $\frac{1}{\sqrt{2\pi ab}}\int_{\alpha }^{\beta } e^{-z^{2}/2ab}\, dz$, где $\alpha$ и $\beta$ — произвольные конечные числа.

Найти в условиях задачи 6279 ($n$ точек, разбросанных наудачу на $(a,b)$) уравнение поверхности корреляции между $x_{k}$ и $x_{m}$ и показать, что обе линии регрессии прямые.

Найти в условиях задачи 6279 ($n$ точек, разбросанных наудачу на $(a,b)$) плотность распределения вероятностей $p(z)$ расстояния $z = x_{m}-x_{k}$, полагая $k-m=h$.

Найти в условиях задачи 6279 ($n$ точек, разбросанных наудачу на $(a,b)$) предельный закон вероятностей $n(x_{m}-x_{n})$ при $x \to \infty$, если $h=k-m$ остается конечным.

Вычислить в условиях задачи 6279 ($n$ точек, разбросанных наудачу на $(a,b)$) вероятность $u(\delta )$ того, что наименьшее из расстояний $x_{i}-x_{i+1}$ ($x_{0}=a$, $x_{n+1}=b$) больше данной величины $\delta \leqslant \frac{b-a}{n+1}$. Рассмотреть случай $n \to \infty$.

Вычислить вероятности $u_{1}(\delta )$ и $u_{2}(\delta )$ того, что ровно одно и ровно два из расстояний $x_{i}-x_{i+1}$ (в условиях задачи 6279) менее $\delta$.

Величина $a$, которая при $t=0$ равна нулю, имеет вероятность $p\Delta t$ увеличиться на одну единицу и вероятность $1-p\Delta t$ остаться неизменной. Требуется определить предел вероятности того, что $a=k$ по истечении времени $t$, полагая, что $\Delta t \to 0$.

Событие $A$ происходит $m$ раз в течение периода времени $T_{0}$, причем вероятность его появления в любой момент одна и та же. Определить вероятность, что оно произошло $k$ раз в продолжение данного промежутка $T$, полагая, что $T_{0} \to \infty$ и $\frac{m}{T_{0}} \to p$.

Появление события $A$ при $n$ наблюдениях сопровождалось появлением события $B$. Определить вероятность $\mathbb {P}\left(P_{m}\right)$ того, что при $m$ дальнейших наблюдениях появление события $A$ будет сопровождаться появлением события $B$. Все предположения относительно первоначального значения величины вероятности появления события $A$ одинаково возможны.

Призовой стрелок при $n$ выстрелах попал в центральное поле мишени. Каким количеством наблюдений надо располагать, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,999, ожидать попадания в центр при новом выстреле? До поступления сведений о результатах стрельбы все предположения о вероятности стрелку попасть в центр мишени представлялись одинаково возможными.

Появление события $A$ при $n$ наблюдениях сопровождалось появлением события $B$. Каким количеством наблюдений необходимо располагать, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,999, ожидать появления события $B$ при следующих десяти появлениях события $A$? Первоначальные предположения о величине вероятности появления события $A$ одинаково возможны.

Отрезок $AB$ состоит из двух неоднородных частей. Ряд проб, взятых в различных точках этого отрезка наудачу, дал $m$ проб относящихся к одной части, и $n$ проб, относящихся к другой. Какое соотношение между частями представляется наиболее вероятным?

На диске имеются отверстия, размеры и расположение которых трудно замерить. На диск брошено $N$ дробинок, из которых $M$ провалилось в отверстия. Принимая дробинку за точку и допуская, что до опыта все предположения о соотношении между площадью диска и площадями отверстий одинаково возможны, установить наиболее вероятное соотношение между площадями отверстий и площадью диска.

Вычислить характеристическую функцию $\theta (t) = \int_{-\infty }^{\infty } e^{itx}f(x)\, dx$ для непрерывной кривой распределения вероятностей

Вычислить характеристическую функцию $\theta (t) = \int_{-\infty }^{\infty } e^{itx}f(x)\, dx$ для непрерывной кривой распределения вероятностей $f(x) = 0$ при $\left|x\right| > 2$; $f(x) = \frac{1}{2}\left(1-\frac{\left|x\right|}{2}\right)$ при $\left|x\right| \leqslant 2$.

Вычислить характеристическую функцию $\theta (t) = \int_{-\infty }^{\infty } e^{itx}\, dF(x)$ для распределения вероятностей, соответствующего интегральному закону $F(x)$ распределения вероятностей: $F(x)=0$ при $x<a$; $F(x)=p$ при $a \leqslant x < b$; $F(x)=1$ при $x > b$.

Вычислить характеристическую функцию $\theta (t) = \int_{-\infty }^{\infty } e^{itx}\, dF(x)$ для распределения вероятностей, соответствующего интегральному закону $F(x)$ распределения вероятностей: $F(x)=0$ при $x<a$, $F(x)=1-e^{-2k(x-a)}$ при $x \geqslant a$.

Вычислить характеристическую функцию $\theta (t) = \int_{-\infty }^{\infty } e^{itx}\, dF(x)$ для распределения вероятностей, соответствующего интегральному закону $F(x)$ распределения вероятностей: $F(x)=0$ при $x<-a$, $F(x)=\frac{x+a}{2a}$ при $-a \leqslant x < a$, $F(x)=1$ при $x \geqslant a$.

Вычислить характеристическую функцию и моменты распределения задачи 6270 (отношение расстояния между двумя точками на окружности к диаметру окружности).

Для данной линии трамвая от пункта $O$ до $L$ известна функция $F(a,b)$, определяющая вероятность того, что пассажир, едущий по этой линии, сел в точке $x < a$ и едет до точки $y \leqslant b$. Требуется определить:

Предполагая все функции, введенные в предыдущей задаче (задаче 6300), непрерывными и дифференцируемыми, установить зависимости между ними и функцией $p(x,b)$, выражающей плотность вероятности для пассажира, севшего в точке $x$, сойти в точке $b > x$.

Определить функцию $\varphi (x)$ плотности движения, если дано, что вероятность $\varphi '_{1}(x)$ сесть в трамвай в точке $x$ пропорциональна $x(L-x)^{2}$, а вероятность $p(x,y)$ пропорциональна $(y-x)^{h}$, где $h \geqslant 0$. Рассмотреть случаи $h=1$ и $h=0$.

Определить $p(x,y)$ и $\varphi (z)$, если вероятность маршрута от $x$ к $y$, представляющая $\frac{\partial^{2} F(x,y)}{\partial x \partial y}$, пропорциональна $(y-x)^{h}$, где $h \geqslant 0$. Определить при каждом значении $h$ отношение $\mathbb {P}\left(P_{h}\right)$ максимальной плотности движения к средней плотности; исследовать изменение $\mathbb {P}\left(P_{h}\right)$ в зависимости от $h$.

Определить $\varphi (z)$, если $p(x,y)$ пропорционально $\sin \frac{\pi y}{L}$, а $\varphi_{1}(z) = \sin \frac{\pi z}{2L}$ (т.е. вероятность посадки $\varphi '(z) = \frac{\pi }{2L}\cos \frac{\pi z}{2L}$).

Определить вероятность $\varphi '_{1}(z)$ посадки в точке $z$ и плотность движения $\varphi (z)$, если вероятность маршрута $(x,y)$ равна 0 при $y-x < a$ и пропорциональна $x(L-y)$ при $y-x \geqslant a$ (рассмотреть случай $a = \frac{L}{2}$).

Найти предельный закон распределения вероятностей $y_{n}$ при $n \to \infty$, если

где $x_{i}$ — независимые между собой случайные величины, у которых $\mathbb {E}\left[x_{i}\right] = 0$, $\mathbb {E}\left[x_{i}^{2}\right] = 1$, $\mathbb {E}\left[\left|x_{i}\right|^{3}\right] < c^{3}$, причем $p$, $k$, $c$ — определенные числа (предполагается известной предельная теорема Ляпунова--Маркова).

Найти м.о. $x_{i}^{2}$ и предельный закон вероятностей для $S_{n} = \sum_{i=0}^{n} x_{i}$ при $n \to \infty$, если $x_{i+1} = \left(1-\frac{1}{A}\right)x_{i} + \alpha_{i+1}$, где $\alpha_{i}$ — независимые случайные величины, причем $\mathbb {E}\left[\alpha_{i}\right] = 0$, $\mathbb {E}\left[\alpha_{i}^{2}\right] = b^{2}$, полагая, что отношение $\frac{\mathbb {E}\left[\left|\alpha_{i}\right|^{3}\right]}{b^{3}} < \delta$ ограничено, $A > 1$, $x_{0}=0$ и $\lim_{n\to \infty }\frac{A}{n} = 0$.

Сохраняя условия предыдущей задачи (задачи 6307), найти предел коэффициента $R_{\lambda }$ корреляции между $S_{n}$ и $S_{n_{1}}$, где $n_{1} = \lambda^{2}n$; $\lambda^{2} < 1$.

Решить две предшествующие задачи (задачи 6307 и 6308) при условии, что $\lim \frac{A}{n} = a$ отличен от 0. Рассмотреть случай, когда $a \to \infty$, причем $b^{2} = \frac{K}{nA^{2}}$, где $K$ — конечное число.

Найти предельную плотность $p(y)$ распределения вероятностей для $y_{n}$ при $n \to \infty$, если

полагая, что $\alpha_{i}$ — независимые случайные величины, которые принимают лишь значения $+1$, $-1$ с вероятностями, равными $\frac{1}{2}$.

Найти предельный закон $\mathbb {P}\left(P\right)(y)$ вероятностей для $y_{n}$, если

где $\alpha_{i}$ принимает значения $qa$ и $-pa$ ($a>0$) с соответственными вероятностями $p$ и $q$.

Вычислить коэффициент корреляции $R_{n+1}$ между $\Delta y_{n} = y_{n+1}-y_{n}$ и $\Delta y_{n+1} = y_{n+2}-y_{n+1}$, если величины $y_{n}$ независимы и $\mathbb {E}\left[y_{n}\right] = a$, полагая $\mathbb {E}\left[y_{n}^{2}\right] = \sigma_{n}^{2}$; проверить, что $R_{i} < 0$; показать, что при $n \to \infty$ $R_{n} \to -\frac{1}{2}$, если $\lim \sigma_{n} = \sigma$ для всех $i$.

Для совершения некоторого производственного процесса необходимо участие $k$ независимых факторов $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{k}$, которые заканчивают свою работу в течение времени $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{k}$, так что весь процесс заканчивается по истечении времени $X$, равного наибольшему из значений $x_{i}$, $i=1,2,\ldots ,k$. Требуется определить м.о. суммарной потери времени $\sum_{k}$ всех факторов, если известны интегральные законы вероятностей $\mathbb {P}\left(P_{i}\right)(x_{i})$ каждого фактора. Рассмотреть случай, когда $\mathbb {P}\left(P_{i}\right)(x) = \mathbb {P}\left(P\right)(x)$ не зависит от $i$.

Решить предыдущую задачу (задачу 6313 — $k$ независимых факторов, время завершения процесса равно наибольшему из $x_{i}$) в случае, когда $\mathbb {P}\left(P\right)(x) = 0$ при $x < a$; $\mathbb {P}\left(P\right)(x) = \sin^{2}\frac{\pi }{2b}(x-a)$ при $a < x < a+b$; $\mathbb {P}\left(P\right)(x) = 1$ при $x > a+b$.