Математические ожидания. Способ конечных разностей и производящих функций

В лотерее разыгрываются два предмета: велосипед стоимостью в 2500 руб. и часы ценою в 500 руб. Чему равно математическое ожидание выигрыша для лица, обладающего одним билетом, если общее число выигрышных билетов равно 1000?

Из ящика, содержащего 4 белых и 20 черных шаров, вынимают 5 шаров и перекладывают в другой ящик, где положено было 16 белых шаров; после этого из второго ящика в первый обратно перекладывают 6 шаров. Спрашивается, каковы будут после этого математические ожидания чисел белых шаров $x_{1}$ и $x_{2}$ в обоих ящиках?

При бросании 3 игральных костей игрок выигрывает 100 руб., если на всех костях по 6 очков, и получает 10 руб., если шесть будет только на 2 костях. Какую сумму он должен внести за билет на право участия в игре, чтобы игра была безобидна?

При бросании $n$ игральных костей определить м.о. (математическое ожидание) суммы очков на всех костях и дисперсию этой суммы.

Вероятность появления события $A$ равна $p$. Вычислить м.о. $x$ числа последовательных опытов, где $A$ неизменно повторяется, и дисперсию $B$ этого числа.

За каждую серию из $a > 0$ опытов, где $A$ неизменно повторяется, игрок получает $y^{a}$ руб.; напротив, если $a = 0$, он платит 1 руб. Требуется определить величину $y$ при условии, что игра будет безобидной. Рассмотреть пример $p = \frac{1}{13}$.

В случаях задачи 6167 (из сосуда, содержащего $m$ белых и $n$ черных шаров, извлекается шар и возвращается в сосуд обратно, извлечение продолжается до тех пор, пока не появится белый шар) найти $\mathbb {E}\left[M\right]$.

Из сосуда, содержащего $m$ белых и $n$ черных шаров, вынимаем шары, извлекая их последовательно до тех пор, пока не появится белый шар. Определить м.о. числа вынутых при этом черных шаров.

Из сосуда, содержащего $m$ белых и $n$ черных шаров, извлекаются шары и возвращаются обратно, пока не появится белый шар. Вычислить м.о. числа вынутых черных шаров и его дисперсию.

В сосуде содержится $a$ билетов с номером 1, $b$ билетов с номером 2, и $k$ билетов с номером $m$. Из сосуда вынуто $n$ билетов. Вычислить м.о. числа не вышедших номеров.

В сосуде содержится $a$ билетов с номером 1, $b$ билетов с номером 2, $c$ билетов с номером 3 и т.д., $k$ билетов с номером $m$, причем $a+b+\ldots +k \geqslant m$. Определить м.о. числа совпадений номера вышедшего билета с номером извлечения, когда извлекаются все шары.

Доказать, что если $\mathbb {E}\left[x^{2}\right] = \mathbb {E}\left[x^{3}\right] = \mathbb {E}\left[x^{4}\right] = a$, то величина $x$ не может получать иных значений, кроме 0 и 1.

Известно, что $x \leqslant A$ и $\mathbb {E}\left[x\right] = 0$; показать, что вероятность $\mathbb {P}\left(P\right)$ неравенства $x < -At^{2}$ меньше, чем $\frac{1}{1+t^{2}}$.

Доказать тождество

(где $A \geqslant a$ — целые положительные числа), вычисляя двумя различными способами м.о. числа $m$ черных шаров, отделяющих 2 соседних белых в серии, состоящей из $A+1$ шара, среди которых имеется $a$ белых.

Показать, что дисперсия $\sigma^{2}$ величины $x$ не может превысить квадрата полуразности между крайними ее значениями. Указать условия, при которых этот верхний предел достигается.

Величина $x$ может получать все целые положительные значения с вероятностями, убывающими в геометрической прогрессии. Требуется определить знаменатель прогрессии $q$ так, чтобы $\mathbb {E}\left[x\right] = 10$, и вычислить при этом условии вероятность $\mathbb {P}\left(P_{10}\right)$ того, что $x \leqslant 10$, и вероятность $\mathbb {P}\left(P_{100}\right)$ того, что $x \leqslant 100$.

Величина $x$ может получать значение 0 с вероятностью $a_{0}$ и любое целое положительное значение $n > 0$ с вероятностями $p_{n}$, убывающими в геометрической прогрессии ($p_{n} = B^{n}$). Надо определить указанные вероятности, если известно, что $\mathbb {E}\left[x\right] = a$, $\mathbb {E}\left[x^{2}\right] = b$, и установить условия, которым должны подчиняться $a$ и $b$, чтобы задача была возможна. Проверить, приемлемы ли значения $a=4$, $b=25$.

Величина $x$ получает целые неотрицательные значения $n \geqslant 0$ с вероятностями $a_{n} = A\frac{k^{n}}{n!}$. Определить $A$ и $k$, если известно, что $\mathbb {E}\left[x\right] = a$, и найти наиболее вероятное значение $\mu$ числа $n$.

Найти необходимые и достаточные условия, которым надо подчинить $a = \mathbb {E}\left[x\right]$, $b = \mathbb {E}\left[x^{2}\right]$, $c = \mathbb {E}\left[x^{3}\right]$, для того чтобы величина $x$ получала только целые неотрицательные значения $n \geqslant 0$ с вероятностями $a_{n} = \frac{Ak^{n}+Bl^{n}}{n!}$, где $A \geqslant 0$, $B \geqslant 0$, $k \geqslant 0$, $l \geqslant 0$. Рассмотреть численный пример: $a = \frac{7}{4}$, $b = \frac{13}{2}$, $c = \frac{13}{4}$; определить наиболее вероятное значение $n$.

Решить предыдущую задачу (задачу 6206) при условии, что $k$ может быть отрицательным.

Пример. $a = 1{,}85$; $b = 5{,}7$; $c = 20{,}95$.

Доказать, что $\left(\mathbb {E}\left[x^{p}\right]\right)^{q} \geqslant \left(\mathbb {E}\left[x^{q}\right]\right)^{p}$, если $x \geqslant 0$ и $p > q > 0$.

Доказать, что какова бы ни была величина $x$, моменты, т.е. м.о. последовательных ее степеней $a_{i} = \mathbb {E}\left[x^{i}\right]$, удовлетворяют неравенствам

Величина $x$ может получить три значения, из которых одно есть нуль. Зная моменты его первых четырех степеней, определить значения $x$ и их вероятности; указать условия, необходимые и достаточные, чтобы эти значения были:

Число $x \geqslant 0$ может получать любые целые значения с вероятностью

Вычислить $a_{h}$, если известно, что $\mathbb {E}\left[x\right] = A$; показать, что $\mathbb {E}\left[x^{2}\right]$ не имеет смысла. Полагая $A=3$, вычислить вероятность $\mathbb {P}\left(P_{10}\right)$ того, что $x < 10$.

Известно, что

представляет вероятность числу $x \geqslant 0$ получить целое значение $h$. Определить $a_{h}$ по условию, чтобы среднеквадратическое отклонение $\sigma$ числа $x$, так же как и его м.о. $A$, были целыми числами.

Даны 2 ящика с шарами; в первом $N$ шаров, из них $M$ белых, во втором $N_{1}$ шаров, из них $M_{1}$ белых. Одновременно один шар из одного ящика заменяется шаром из другого, и обратно. Эта операция смешения производится последовательно $l$ раз. Требуется определить м.о. числа белых шаров после этого в каждом из ящиков. Рассмотреть случай, когда $l \to \infty$.

Решить предыдущую задачу (задачу 6213) в предположении, что $N_{1} = \infty$, т.е. при условии, что вынутый из первого ящика шар всегда заменяется черным. Рассмотреть случай, когда $l \to \infty$, причем $\frac{l}{N} = a$ остается конечным.

Вычислить дисперсию $B_{l}$ числа белых шаров после $l$ выниманий при условиях предыдущей задачи (задачи 6214: из первого ящика с $N$ шарами, из них $M$ белых, вынутый шар всегда заменяется черным, при $l \to \infty$, $\frac{l}{N}=a$ конечно).

Вероятность появления события изменяется от испытания к испытанию. Построить производящую функцию вероятностей $\mathbb {P}\left(P'_{m,n}\right)$ появления события $m$ или менее раз при $n$ независимых испытаниях.

При некоторой игре игрок имеет одинаковую вероятность $p=\frac{1}{5}$ ничего не выиграть или же выиграть или проиграть по 20 или 40 копеек. Требуется определить вероятность того, что после 12 партий он проиграет не менее 3 руб., и дисперсию $B$ его выигрыша.

Если игрок при бросании игральной кости выигрывает 4 руб. в случае появления 6 очков и выплачивает 1 руб. в прочих случаях, какова вероятность, что при 10000 бросаниях он проиграет не менее 200 руб.?

Предполагая, что при составлении 7-значной таблицы (мантисс) логарифмов все цифры равновероятны, какова вероятность $\mathbb {P}\left(R_{s}\right)$, что сумма $S$ цифр мантиссы окажется меньше 20? Каковы $\mathbb {E}\left[S\right]$ и $\mathbb {E}\left[S^{2}\right]$?

Число $x$ может получать любые целые значения $m$ с вероятностью $(1-q)q^{m}$; складывая $h$ значений этого числа, определить вероятность $\mathbb {P}\left(P_{a}\right)$, что полученная сумма $y$ равна $a$. Найти наиболее вероятное значение $S$ этой суммы; рассмотреть предельный случай, когда $h \to \infty$, причем $hq = t$ остается конечным.

Число $x_{n}$ с увеличением $n$ на 1 получает приращение $+1$ или $-1$, причем оба значения равно возможны, если $x_{n}=0$; если $x_{n} \geqslant 0$, то вероятность уменьшения $\left|x_{n}\right|$ равна $A \geqslant \frac{1}{2}$ (вероятность увеличения $\left|x_{n}\right|$ равна $B = 1-A \leqslant \frac{1}{2}$). Полагая $x_{0}=0$, найти вероятность $\mathbb {P}\left(P_{n,h}\right)$ равенства $\left|x_{n}\right|=h$ при любых $n$ и $h$; рассмотреть случай $n \to \infty$. Вычислить $\mathbb {E}\left[\left|x_{n}\right|\right]$. Рассмотреть случай $A=B=\frac{1}{2}$.