Глава 15

Уравнения математической физики

[164/65%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

15.1 · Составление дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка[20/0%]

Задача 5797

Абсолютно гибкая однородная нить под влиянием сильного натяжения $T_{0}$ находится в прямолинейном положении равновесия.

Доказать, что уравнение малых колебаний нити имеет вид

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}}, \quad a = \sqrt{\frac{T_{0}}{\rho }},

где $u$ есть смещение точки с абсциссой $x$ , $t$ --- время, а $\rho$ --- линейная плотность нити (рис. 15.1).

Рис. 15.1

Задача 5798

Тонкий однородный стержень совершает продольные колебания, при которых его поперечные сечения, оставаясь плоскими, перемещаются вдоль оси $OX$ . Доказать, что уравнение малых колебаний имеет вид

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}}, \quad a = \sqrt{\frac{E}{\rho }},

где $u$ есть смещение сечения с абсциссой $x$ , $\rho$ --- плотность, а $E$ --- модуль упругости материала стержня (рис. 15.2).

Рис. 15.2

Задача 5799

Доказать, что уравнение продольных колебаний конического стержня имеет вид

\frac{\partial }{\partial x} \left(\left(1-\frac{x}{h}\right)^{2} \frac{\partial u}{\partial x}\right) = \frac{1}{a^{2}} \left(1-\frac{x}{h}\right)^{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}}, \quad a = \sqrt{\frac{E}{\rho }},

где $u$ есть перемещение стержня с абсциссой $x$ , а $h$ --- высота конуса (рис. 15.3).

Рис. 15.3

Задача 5800

Крутильными колебаниями стержня называются такие колебания, при которых его поперечные сечения поворачиваются одно относительно другого, вращаясь при этом около оси стержня. Доказать, что уравнением малых колебаний круглого стержня служит уравнение

\frac{\partial ^{2} \theta }{\partial x^{2}} = \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{\partial ^{2} \theta }{\partial t}, \quad a = \sqrt{\frac{GI}{k}},

где $\theta$ есть угол поворота сечения с абсциссой $x$ , $G$ --- модуль сдвига, $I$ --- полярный момент инерции поперечного сечения, а $k$ --- момент инерции части стержня, имеющей единицу длины относительно оси стержня.

Задача 5801

Абсолютно гибкая однородная нить закреплена в одном из концов и под действием своего веса находится в вертикальном положении равновесия. Доказать, что уравнение малых колебаний нити имеет вид

\frac{\partial }{\partial x} \left((l-x) \frac{\partial u}{\partial x}\right) = \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}}, \quad a = \sqrt{g},

где $u$ есть смещение точки с абсциссой $x$ , $l$ --- длина нити, а $g$ --- ускорение силы тяжести (рис. 15.4).

Рис. 15.4

Задача 5802

Абсолютно гибкая нить длиной $l$ подвешена за конец $x = l$ , а на другом конце $x = 0$ прикреплен груз в $P$ кг. Линейная плотность нити $\rho$ изменяется по закону

\rho = \frac{A}{\sqrt{l_{1}+x}},

где постоянные $A$ и $l_{1}$ связаны с массой $M$ груза соотношением

M = 2A\sqrt{l_{1}}.

Доказать, что уравнение малых колебаний нити около своего равновесного положения имеет вид

\frac{\partial ^{2} u}{\partial \theta ^{2}} = \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}}, \quad a = \sqrt{\frac{g}{2}}, \ \text{где} \ \theta = \sqrt{l+l_{1}}-\sqrt{l_{1}+x}.

Задача 5803

Тяжелая однородная нить длиной $l$ , закрепленная верхним концом ( $x = 0$ ) на вертикальной оси, вращается вокруг этой оси с постоянной угловой скоростью $\omega$ (рис. 15.5).

Доказать, что уравнение малых колебаний нити около своего вертикального положения равновесия имеет вид

\frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}} = a^{2} \frac{\partial }{\partial x} \left(x \frac{\partial u}{\partial x}\right) + \omega ^{2} u,

где $a = \sqrt{g}$ .

Рис. 15.5

Задача 5804

Абсолютно гибкая однородная нить закреплена в одном из концов и в положении равновесия располагается по оси $x$ . Выведенная из положения равновесия, она вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг оси $u$ (рис. 15.6).

Доказать, что уравнение малых колебаний нити около своего относительного положения равновесия имеет вид

\frac{\partial }{\partial x} \left((l^{2}-x^{2}) \frac{\partial u}{\partial x}\right) = \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}}, \quad a = \frac{\omega }{\sqrt{2}},

где через $l$ обозначена длина нити.

Рис. 15.6

Задача 5805

Неоднородная нить, плотность которой изменяется по закону

\rho = \frac{a}{\sqrt{b^{2}-x^{2}}}; \quad b > l,

прикреплена концом $x = 0$ к неподвижной оси, а на другом конце $x = l$ прикреплен шарик, масса которого выражается равенством

M = \frac{a}{l}\sqrt{b^{2}-l^{2}}.

Доказать, что при вращении нити с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг указанной оси уравнение малых колебаний будет иметь вид

\frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}} = \omega ^{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}},

где

y = \arcsin \frac{x}{b}.

Задача 5806

Вывести уравнение поперечных колебаний нити, закрепленной на концах, взяв за исходную точку минимальный принцип Гамильтона.

Примечание.

Указание. При малых колебаниях нити величины потенциальной и кинетической энергий выражаются формулами:

U = \frac{T_{0}}{2} \int _{0}^{l} \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2} dx, \quad T = \frac{\rho }{2} \int _{0}^{l} \left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^{2} dx,

где $T_{0}$ есть величина начального натяжения, а $l$ --- длина нити. Согласно принципу Гамильтона при любых моментах времени $t_{1}$ и $t_{2}$ имеет место равенство

\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}} (U-T) \, dt = 0.

Задача 5807

Исходя из принципа Гамильтона, решить задачи 5801 и 5804 (задача 5801: абсолютно гибкая однородная нить закреплена в одном из концов и под действием своего веса находится в вертикальном положении равновесия, требуется вывести уравнение малых колебаний нити около этого положения; задача 5804: абсолютно гибкая однородная нить закреплена в одном из концов и в положении равновесия располагается по оси $x$ , а будучи выведена из положения равновесия, вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг оси $u$ , требуется вывести уравнение малых колебаний нити около своего относительного положения равновесия).

Задача 5808

Гибкая однородная нить натянута на абсолютно гладкой сфере радиуса $R$ и в положении равновесия направлена по экватору. Доказать, что уравнение малых колебаний нити имеет вид

\frac{\partial ^{2} \theta }{\partial \varphi ^{2}}+\theta = \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{\partial ^{2} \theta }{\partial t^{2}}, \quad a = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{T_{0}}{\rho }},

где $\theta$ и $\varphi$ обозначают географические координаты точки $M$ , $T_{0}$ есть начальное натяжение, а $\rho$ --- линейная плотность нити (рис. 15.7).

Рис. 15.7

Примечание.

Указание. Можно воспользоваться принципом Гамильтона, приняв во внимание следующие выражения для потенциальной и кинетической энергий:

U = \frac{RT_{0}}{2} \int _{0}^{a} \left(\left(\frac{\partial \theta }{\partial \varphi }\right)^{2}-\theta ^{2}\right) d\varphi , \quad T = \frac{R^{3}\rho }{2} \int _{0}^{a} \left(\frac{\partial \theta }{\partial t}\right)^{2} d\varphi ,

где $aR = l$ и через $l$ обозначена длина нити.

Задача 5809

Гибкая однородная нить длиной $l$ закреплена одним из концов в полюсе абсолютно гладкой сферы и под действием своего веса располагается по дуге большого круга. Доказать, что уравнение малых колебаний нити имеет вид

\frac{\partial }{\partial \varphi } \left((\cos \varphi - \cos a) \frac{\partial \theta }{\partial \psi }\right)+(\cos \varphi - \cos a)\theta = \frac{1}{a^{2}} \frac{\partial ^{2} \theta }{\partial t^{2}}, \quad a = \sqrt{\frac{g}{R}},

где через $g$ обозначено ускорение силы тяжести, а через $R$ --- радиус сферы (рис. 15.8).

Рис. 15.8

Примечание.

Указание. Выражения потенциальной и кинетической энергий имеют следующий вид:

U = \frac{g\rho R^{2}}{2} \int _{0}^{a} (\cos \varphi - \cos a) \left(\left(\frac{\partial \theta }{\partial \varphi }\right)^{2}-\theta ^{2}\right) d\varphi ,

T = \frac{\rho R^{3}}{2} \int _{0}^{a} \left(\frac{\partial \theta }{\partial t}\right)^{2} d\varphi .

Задача 5810

Доказать, что при непрерывно распределенных вдоль провода омическом сопротивлении $R$ , емкости $C$ , индуктивности $L$ и утечки изоляции $G$ дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют напряжение $p$ и сила тока $i$ , имеют вид

\frac{\partial p}{\partial x}+L\frac{\partial i}{\partial t}+Ri = 0, \quad \frac{\partial i}{\partial x}+C\frac{\partial p}{\partial t}+Gp = 0.

Примечание.

Указание. Первое уравнение выводится из закона индукции, примененного к весьма малому участку провода. Второе уравнение получается из условия непрерывности тока в проводе.

Задача 5811

Абсолютно гибкая однородная пленка (мембрана) натянута на каркасе $C$ . Это положение мембраны принимается за плоскость координат $XOY$ . Доказать, что уравнение малых поперечных колебаний мембраны имеет вид

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}} = \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}}, \quad a = \sqrt{\frac{T_{0}}{\sigma }},

где $T_{0}$ есть сила начального натяжения, рассчитанная на единицу контура $C$ , а $\sigma$ обозначает поверхностную плотность мембраны (рис. 15.9).

Рис. 15.9

Задача 5812

Тонкий однородный стержень изолирован от внешнего пространства и имеет в точке $M(x)$ температуру $u(x,t)$ , изменяющуюся с течением времени. Доказать, что эта температура удовлетворяет уравнению

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{\partial u}{\partial t}, \quad a = \sqrt{\frac{k}{c\rho }},

где $c$ есть теплоемкость, $k$ --- коэффициент внутренней теплопроводности, а $\rho$ --- плотность вещества стержня.

Задача 5813

Доказать, что уравнение распространения тепла в тонкой изолированной пластинке имеет вид

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}} = \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{\partial u}{\partial t},

где значение постоянной $a$ то же, что и в предыдущей задаче (задача 5812: $a = \sqrt{k/(c\rho )}$ , где $c$ есть теплоемкость, $k$ --- коэффициент внутренней теплопроводности, а $\rho$ --- плотность вещества).

Задача 5814

Дано однородное кольцо с очень малым поперечным сечением (рис. 15.10). Приняв во внимание потерю тепла в окружающую кольцо среду вследствие лучеиспускания через боковую поверхность, доказать, что уравнением распространения тепла в кольце служит уравнение

\frac{1}{R^{2}} \frac{\partial ^{2} u}{\partial \theta ^{2}}-bu = \frac{1}{a^{2}} \frac{\partial u}{\partial t}, \quad a = \sqrt{\frac{k}{c\rho }}, \quad b = \frac{hl}{\sigma k},

где через $\theta$ обозначена длина дуги кольца, а входящие в уравнение постоянные имеют следующие значения: $k$ , $h$ --- коэффициенты внутренней и внешней теплопроводности, $c$ , $\rho$ --- теплоемкость и плотность вещества кольца, $\sigma$ , $l$ --- площадь и периметр поперечного сечения.

Рис. 15.10

Задача 5815

Доказать, что температура однородного проводника, находящегося под действием постоянного тока, удовлетворяет дифференциальному уравнению

\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{k}{c\rho } \frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} - \frac{hp}{c\rho \omega }(u-u_{0}) + \frac{0{,}24 i^{2} r}{c\rho \omega ^{2}},

где через $i$ и $r$ обозначены сила тока и удельное сопротивление проводника, через $p$ и $\omega$ --- периметр и площадь его поперечного сечения, а через $u_{0}$ --- температура окружающей среды; значения букв $k$ , $h$ , $c$ , $\rho$ те же, что в задаче 5813 (задача 5813: $k$ --- коэффициент внутренней теплопроводности, $c$ --- теплоемкость, $\rho$ --- плотность вещества).

Задача 5816

Доказать, что уравнение радиального распространения тепла в однородной изолированной сфере имеет вид

\frac{\partial ^{2} v}{\partial r^{2}} = \frac{1}{a^{2}} \frac{\partial v}{\partial t}, \quad v(r,t) = ru(r,t), \quad a = \sqrt{\frac{k}{c\rho }},

где $u$ есть температура сферы в точке, отстоящей на расстояние $r$ от ее центра; значения букв те же, что в задаче 5814 (задача 5814: $k$ , $h$ --- коэффициенты внутренней и внешней теплопроводности, $c$ , $\rho$ --- теплоемкость и плотность вещества, $\sigma$ , $l$ --- площадь и периметр поперечного сечения).

15.2 · Приведение линейных уравнений второго порядка к канонической форме[7/100%]

Задача 5817

Привести к канонической форме следующее дифференциальное уравнение:

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} - \frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}} = 0.

Задача 5818

Привести к канонической форме следующее дифференциальное уравнение:

x^{2}\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}}+2xy\frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial y}+y^{2}\frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}} = 0.

Задача 5819

Привести к канонической форме следующее дифференциальное уравнение:

y^{2}\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}}+x^{2}\frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}} = 0.

Задача 5820

Привести к канонической форме следующее дифференциальное уравнение:

x^{2}\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}}-y^{2}\frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}} = 0.

Задача 5821

Привести к канонической форме следующее дифференциальное уравнение:

(l-x)\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} - \frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}} - \frac{\partial u}{\partial x} = 0.

Задача 5822

Привести к канонической форме следующее дифференциальное уравнение:

(l^{2}-x^{2})\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} - \frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}} - 2x\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{1}{4}u = 0.

Задача 5823

Найти замену переменных, при которых уравнение

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial y} - \beta ' \ctg (x-y)\frac{\partial u}{\partial x} + \beta \ctg (x-y)\frac{\partial u}{\partial y} + \beta \beta ' u = 0

преобразовывается в уравнение

\frac{\partial ^{2} v}{\partial \xi \partial \eta } - \frac{m}{\xi -\eta }\frac{\partial v}{\partial \xi } + \frac{n}{\xi -\eta }\frac{\partial v}{\partial \eta } + \frac{p}{(\xi -\eta )^{2}}v = 0.

15.3 · Метод характеристик[17/24%]

Задача 5824

Доказать, что общий интеграл уравнения

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x} = \frac{1}{a^{2}} \frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}}

имеет вид $u = \varphi (x-at)+\psi (x+at)$ , где $\varphi$ и $\psi$ --- произвольные функции.

Задача 5825

Показать, что общему решению уравнения

\frac{\partial }{\partial x} \left(\left(1-\frac{x}{h}\right)^{2} \frac{\partial u}{\partial x}\right) = \frac{1}{a^{2}} \left(1-\frac{x}{h}\right)^{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}}

можно придать форму

u = \frac{\varphi (x-at)+\psi (x+at)}{x-h}.

Задача 5826

Доказать, что решением уравнения

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{1}{a^{2}} \frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}},

удовлетворяющим условиям

u\Big|_{t=0} = f(x), \quad \frac{\partial u}{\partial t}\Big|_{t=0} = F(x),

служит выражение

u = \frac{f(x-at)+f(x+at)}{2} + \frac{1}{2a}\int _{x-at}^{x+at} F(z) \, dz.

Примечание.

Указание. Следует воспользоваться результатом задачи 5824.

Задача 5827

Отрезок однородной струны, закрепленной на концах $x = 0$ и $x = l$ , имеет в начальный момент времени форму параболы, симметричной относительно перпендикуляра, проведенного через середину отрезка $(0, l)$ . Определить форму струны в моменты времени $t = \dfrac {l}{2a}$ и $t = \dfrac {l}{a}$ , предполагая, что начальные скорости отсутствуют.

Задача 5828

Доказать, что уравнение, приведенное в задаче 5825 (задача 5825: $\dfrac {\partial }{\partial x}\left(\left(1-\frac{x}{h}\right)^{2}\frac{\partial u}{\partial x}\right) = \frac{1}{a^{2}}\left(1-\frac{x}{h}\right)^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}$ , с общим решением $u = \dfrac {\varphi (x-at)+\psi (x+at)}{x-h}$ ), при условиях

u\Big|_{t=0} = f(x), \quad \frac{\partial u}{\partial t}\Big|_{t=0} = F(x)

имеет решение вида

u = \frac{(h-x+at)f(x-at)+(h-x-at)f(x+at)}{2(h-x)} + \frac{1}{2a}\int _{x-at}^{x+at} \frac{h-z}{h-x}F(z) \, dz.

Задача 5829

Найти интеграл уравнения

(p-x)\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} - \frac{1}{2}\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}} = 0, \quad 0 < x < p

при условиях:

u\Big|_{y=0} = f(x); \quad \frac{\partial u}{\partial y}\Big|_{y=0} = F(x).

Задача 5830

Проинтегрировать уравнение

(p^{2}-x^{2})\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} - x\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}} = 0, \quad 0 < x < p

при условиях:

u\Big|_{y=0} = f(x); \quad \frac{\partial u}{\partial y}\Big|_{y=0} = F(x).

Задача 5831

Доказать, что общее решение уравнения

x^{2}\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}}+2xy\frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial y}+y^{2}\frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}} = 0

имеет форму $u = \varphi \left(\dfrac {y}{x}\right)+y\psi \left(\dfrac {y}{x}\right)$ .

Примечание.

Указание. См. задачу 5818 (задача 5818: $x^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+2xy\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+y^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0$ приводится к каноническому виду $\frac{\partial^{2} u}{\partial \eta^{2}} = 0$ заменой $\xi = y/x$ , $\eta = y$ ).

Задача 5832

Показать, что общему решению уравнения

y^{2}\frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}} - x^{2}\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} = 0

можно придать вид

u = \varphi (xy)+\sqrt{xy}\, \psi \left(\frac{y}{x}\right).

Примечание.

Указание. См. задачу 5820 (задача 5820: $x^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-y^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0$ приводится к каноническому виду $\frac{\partial^{2} u}{\partial \xi \partial \eta }-\frac{1}{2\xi }\frac{\partial u}{\partial \eta } = 0$ заменой $\xi = xy$ , $\eta = y/x$ ).

Задача 5833

Доказать, что уравнение, приведенное в предыдущей задаче (задача 5832: $y^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} - x^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = 0$ , с общим решением $u = \varphi (xy)+\sqrt{xy}\, \psi (y/x)$ ), при условиях

u\Big|_{y=1} = f(x), \quad \frac{\partial u}{\partial y}\Big|_{y=1} = F(x)

имеет следующее решение:

u(x,y) = \frac{1}{2}f(xy)+\frac{y}{2}f\left(\frac{x}{y}\right) + \frac{1}{4}\sqrt{xy}\int _{xy}^{x/y} \frac{f(x)}{x^{3/2}} \, dx - \frac{1}{2}\sqrt{xy}\int _{xy}^{x/y} \frac{F(x)}{x^{3/2}} \, dx.

Примечание.

Указание. Следует воспользоваться результатом предыдущей задачи.

Задача 5834

Доказать, что если при $x = ct$ , $c = \text{const}$ имеют место равенства $u = f(t)$ , $\dfrac {\partial u}{\partial x} = F(t)$ , то решением уравнения

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{1}{a^{2}} \frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}}

служит выражение

u = \frac{1+\beta }{2}f\left(\frac{at+x}{a(1+\beta )}\right) + \frac{1-\beta }{2}f\left(\frac{at-x}{a(1-\beta )}\right) + \frac{a(1-\beta ^{2})}{2}\int _{\frac{t-\frac{x}{a}}{1-\beta }}^{\frac{t+\frac{x}{a}}{1+\beta }} F(z) \, dz,

где $\beta = \dfrac {c}{a}$ .

Примечание.

Указание. Следует воспользоваться результатом задачи 5824 и принять во внимание равенства

\frac{\partial u}{\partial t}\Big|_{x=ct} = \frac{\partial u}{\partial t}\Big|_{x=ct} + \frac{\partial u}{\partial x}\Big|_{x=ct} \cdot \frac{\partial x}{\partial t}\Big|_{x=ct}.

Задача 5835

На конце $x = 0$ цилиндрического стержня, настолько длинного, что его можно считать простирающимся в одну сторону до бесконечности, действует возмущающая гармоническая сила $A\sin \omega t$ . Доказать, что перемещение сечения стержня с абсциссой $x$ выражается формулой

u = \begin{cases} 0 & \text{при } at \leqslant x; \\ A\sin \dfrac {\omega }{a}(at-x) & \text{при } at \geqslant x. \end{cases}

Примечание.

Указание. Применить способ характеристик к интегрированию уравнения

\frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}} = a^{2}\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}}

при пограничном условии $u\big|_{x=0} = A\sin \omega t$ и при начальных условиях: $\dfrac {\partial u}{\partial x}\Big|_{t=0} = 0$ ; $\dfrac {\partial u}{\partial t}\Big|_{t=0} = 0$ , имеющих место при всяком положительном $x$ .

Задача 5836

Идеальный газ, плотность которого изменяется по закону $\rho = f(at-x)$ , совершает продольные колебания в неограниченной цилиндрической трубке. Доказать, что скорость газа в сечении с абсциссой $x$ выражается формулой

v = \frac{af(at-x)+(v_{0}-a)f(at)}{f(at-x)},

где $v_{0}$ --- скорость в сечении $x = 0$ .

Примечание.

Указание. Воспользоваться уравнением непрерывности.

Задача 5837

Бесконечная струна, находящаяся в прямолинейном положении равновесия, получает в начальный момент времени ( $t = 0$ ) удар от молоточка, масса которого равна $M$ , причем этот молоточек касается струны в точке $x = 0$ и имеет начальную скорость $v_{0}$ .

Доказать, что в момент времени $t > 0$ возмущенная струна имеет вид, указанный на рисунке 15.11, где $u_{1}$ --- прямая волна:

Рис. 15.11

u_{1} = \begin{cases} \dfrac {Mav_{0}}{2T_{0}}\left(1-e^{\frac{2T_{0}}{Ma^{2}}(x-at)}\right), & \text{при } x-at < 0; \\ 0, & \text{при } x-at > 0, \end{cases}

а $u_{2}$ --- обратная волна:

u_{2} = \begin{cases} \dfrac {MAv_{0}}{2T_{0}}\left(1-e^{-\frac{2T_{0}}{Ma^{2}}(x+at)}\right), & \text{при } x+at > 0; \\ 0, & \text{при } x+at < 0. \end{cases}

Значения букв $a$ и $T_{0}$ см. задачу 5797 (задача 5797: $a = \sqrt{T_{0}/\rho }$ , где $T_{0}$ --- натяжение, а $\rho$ --- линейная плотность нити).

Примечание.

Указание. При интегрировании уравнения

\frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}} = a^{2}\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}}

следует принять во внимание условие

M\frac{\partial ^{2} u_{1}}{\partial t^{2}}\Big|_{x=0} = M\frac{\partial ^{2} u_{2}}{\partial t^{2}}\Big|_{x=0} = -T_{0}\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{2}}\Big|_{x=0} + T_{0}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}\Big|_{x=0}.

Задача 5838

Начало координат $x = 0$ помещается в плоскости раздела двух газов (I) и (II), заполняющих очень длинную цилиндрическую трубку. Конденсация газов обозначается через $s_{1}$ и $s_{2}$ . Из области (I) движется прямая волна $s_{1} = F\left(t-\dfrac {x}{a_{1}}\right)$ , претерпевающая в сечении $x = 0$ отражение и поглощение.

Доказать, что между падающей волной $F$ , отраженной $f$ и поглощенной $\varphi$ существует соотношение

\frac{f}{F} = \frac{a_{1}-a_{2}}{a_{1}+a_{2}}, \quad \frac{\varphi }{F} = \frac{2a_{2}}{a_{1}+a_{2}},

где $a_{2}$ означает скорость поглощенной волны.

Задача 5839

Область начальных колебаний однородного газа представляет собою шар радиуса $R$ . Начальные скорости частиц газа всюду равны нулю, а начальная плотность $S_{0}$ постоянна внутри шара и равна нулю вне его. Найти выражение для плотности $S$ в момент времени $t > 0$ .

Примечание.

Указание. Применить метод характеристик к интегрированию уравнения

\frac{\partial ^{2}\left(r\Phi (r,t)\right)}{\partial t^{2}} = a^{2}\frac{\partial ^{2}\left(r\Phi (r,t)\right)}{\partial r^{2}}, \quad \left(S = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial \Phi }{\partial t}\right)

при начальных условиях

\Phi \big|_{t=0} = f(r) = 0; \quad \frac{\partial \Phi }{\partial t}\Big|_{t=0} = F(r) = \begin{cases} a^{2}S_{0} & \text{при } r < R; \\ 0 & \text{при } r > R. \end{cases}

Задача 5840

Решить предыдущую задачу (задача 5839), применяя интеграл Пуассона:

\Phi (r,t) = \frac{1}{4\pi a}\left(\frac{\partial }{\partial t} \iint _{\Sigma } \frac{f(\alpha ,\beta ,\gamma )}{r} \, d\sigma + \iint _{\Sigma } \frac{F(\alpha ,\beta ,\gamma )}{t} \, d\sigma \right),

где через $\Sigma$ обозначена сфера, описанная радиусом $r = at$ из точки $M$ , а $\alpha , \beta , \gamma$ суть координаты переменной точки сферы $\Sigma$ (рис. 15.12).

Рис. 15.12

15.4 · Метод Римана[5/40%]

Задача 5841

Проинтегрировать по способу Римана уравнение $\dfrac {\partial^{2} u}{\partial x^{2}} - \dfrac {\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0$ при условиях

u\Big|_{y=0} = f(x), \quad \frac{\partial u}{\partial y}\Big|_{y=0} = F(x).

Примечание.

Указание. В данном случае функция Римана равна единице.

Задача 5842

Решить по способу Римана задачу 5833 (задача 5833: доказать, что уравнение $y^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} - x^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = 0$ при условиях $u\big|_{y=1} = f(x)$ , $\frac{\partial u}{\partial y}\big|_{y=1} = F(x)$ имеет решение $u(x,y) = \frac{1}{2}f(xy)+\frac{y}{2}f(x/y) + \frac{1}{4}\sqrt{xy}\int_{xy}^{x/y} f(x)x^{-3/2}\, dx - \frac{1}{2}\sqrt{xy}\int_{xy}^{x/y} F(x)x^{-3/2}\, dx$ ).

Примечание.

Указание. За область интегрирования следует принять криволинейный треугольник, образованный характеристиками $MP$ , $MQ$ и дугой равносторонней гиперболы $xy = 1$ (рис. 15.13). Функция Римана определяется равенством:

v(x,y;x_{0},y_{0}) = \sqrt{\frac{x_{0}}{x}}.

Рис. 15.13

Задача 5843

Показать, пользуясь методом Римана, что интеграл уравнения $\dfrac {\partial^{2} \theta }{\partial \varphi^{2}}+\theta = \dfrac {1}{a^{2}}\dfrac {\partial^{2} \theta }{\partial t^{2}}$ , удовлетворяющий условиям $\theta \big|_{t=0} = f(\varphi )$ ; $\dfrac {\partial \theta }{\partial t}\Big|_{t=0} = F(\varphi )$ , имеет вид

\theta (\varphi ,t) = \frac{f(\varphi -at)+f(\varphi +at)}{2} + \frac{1}{2}\int _{\varphi -at}^{\varphi +at} \Phi (\varphi ,t,z) \, dz,

где

\Phi (\varphi ,t,z) = \frac{1}{a}F(z)J_{0}\left(\sqrt{(z-\varphi )^{2}-a^{2}t^{2}}\right) - atf(z)\frac{J_{0}'\left(\sqrt{(z-\varphi )^{2}-a^{2}t^{2}}\right)}{\sqrt{(z-\varphi )^{2}-a^{2}t^{2}}}.

Примечание.

Указание. Функция Римана определяется равенством

v(x,y;x_{0},y_{0}) = J_{0}\left(\sqrt{(x-x_{0})(y-y_{0})}\right),

где $J_{0}(x)$ обозначает бесселеву функцию нулевого порядка.

Задача 5844

Применив способ Римана, доказать, что при условиях $u\big|_{t=0} = f(x)$ , $\dfrac {\partial u}{\partial t}\Big|_{t=0} = \varphi (x)$ уравнение

(l-x)\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} - \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}}

имеет решение

u(x,t) = \frac{\sqrt{\sqrt{l-x}-\frac{at}{2}}\, f\left(x+\sqrt{l-x}\, at-\frac{a^{2}t^{2}}{4}\right)}{2\sqrt[4]{l-x}} + \frac{\sqrt{\sqrt{l-x}+\frac{at}{2}}\, f\left(x-\sqrt{l-x}\, at-\frac{a^{2}t^{2}}{4}\right)}{2\sqrt[4]{l-x}} + \frac{1}{\sqrt[4]{l-x}}\int _{\sqrt{l-x}-\frac{at}{2}}^{\sqrt{l-x}+\frac{at}{2}} \Phi (x,t,z) \, dz;

\Phi (x,t,z) = \frac{\sqrt{z}}{a}\varphi (l-z^{2})F\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1,\frac{\frac{a^{2}t^{2}}{4}-(z-\sqrt{l-x})^{2}}{4\sqrt{l-x}\, z}\right) + \frac{atf(l-z^{2})}{8\sqrt{l-x}\sqrt{z}}F'\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1,\frac{\frac{a^{2}t^{2}}{4}-(z-\sqrt{l-x})^{2}}{4\sqrt{l-x}\, z}\right),

где $F(\alpha ,\beta ,\gamma ,x) = 1+\dfrac {\alpha \cdot \beta }{1\cdot \gamma }x+\dfrac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}x^{2}+\ldots$ есть гипергеометрический ряд.

Примечание.

Указание. Заданное уравнение надо привести к простейшей канонической форме (см. задачу 5820). За область интегрирования следует принять треугольник, образованный характеристиками $MP$ , $MQ$ и биссектрисой $y = -x$ (рис. 15.14). Функция Римана определяется равенством

v(x,y;x_{0},y_{0}) = F\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1,\frac{(x-x_{0})(y-y_{0})}{(x_{0}-y_{0})(x-y)}\right).

Рис. 15.14

Задача 5845

Проинтегрировать по способу Римана уравнение

(l^{2}-x^{2})\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} - 2x\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}} - \frac{1}{4}u = 0, \quad 0 < x < l,

подчинив его интеграл условиям

u\Big|_{y=0} = f(x), \quad \frac{\partial u}{\partial y}\Big|_{y=0} = \varphi (x).

Примечание.

Указание. Функция Римана имеет следующий вид:

v(x,y;x_{0},y_{0}) = F\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1,\frac{\sin (x-x_{0})\sin (y-y_{0})}{\sin (x_{0}-y_{0})\sin (x-y)}\right).

15.5 · Метод Фурье[54/83%]

Задача 5846

Для однородной струны длиною $l$ , закрепленной на концах $x = 0$ и $x = l$ , известны в начальный момент времени отклонение от прямолинейного положения равновесия и скорости точек. Изучить по способу Фурье поперечные колебания струны (уравнение малых колебаний струны -- задача 5797: $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}$ , $a = \sqrt{T_{0}/\rho }$ ).

Примечание.

Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}}, \quad a = \sqrt{\frac{T_{0}}{\rho }}

и выполнению условий: $u\big|_{x=0} = 0$ , $u\big|_{x=l} = 0$ при всяком $t$ ; $u\big|_{t=0} = f(x)$ , $\dfrac {\partial u}{\partial t}\Big|_{t=0} = F(x)$ при $0 < x < l$ .

Задача 5847

Изучить с помощью метода Фурье продольные колебания цилиндрического стержня длиною $l$ , у которого один конец закреплен, а другой свободен (уравнение малых продольных колебаний стержня -- задача 5798: $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}$ , $a = \sqrt{E/\rho }$ ).

Примечание.

Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}}, \quad a = \sqrt{\frac{E}{\rho }}

при условиях: $u\big|_{x=0} = 0$ , $\dfrac {\partial u}{\partial x}\Big|_{x=l} = 0$ при всяком $t$ ; $u\big|_{t=0} = f(x)$ , $\dfrac {\partial u}{\partial t}\Big|_{t=0} = F(x)$ при $0 < x < l$ .

Задача 5848

Решить предыдущую задачу (задача 5847) при условии, что оба конца стержня свободны.

Задача 5849

Проинтегрировать по способу Фурье уравнение крутильных колебаний вала $\dfrac {\partial^{2} \theta }{\partial x^{2}} = \dfrac {1}{a^{2}}\dfrac {\partial^{2} \theta }{\partial t^{2}}$ , $a = \sqrt{GI/k}$ , при условии, что один из концов вала заделан, а на другом прикреплен шкив (см. задачу 5801).

Примечание.

Указание. Интеграл уравнения колебаний удовлетворяет условиям

\theta \big|_{x=0} = 0, \quad \frac{\partial ^{2} \theta }{\partial t^{2}}\Big|_{x=l} = -c^{2}\frac{\partial \theta }{\partial x}\Big|_{x=l}

при всяком $t$ и $\theta \big|_{t=0} = f(x)$ , $\dfrac {\partial \theta }{\partial t}\Big|_{t=0} = F(x)$ при $0 < x < l$ , где $c = \sqrt{GI/k_{1}}$ и $k_{1}$ обозначает момент инерции шкива относительно оси вала.

Задача 5850

Решить ту же задачу (задача 5849), в предположении, что на концах вала прикреплены два одинаковых шкива.

Примечание.

Указание. Предельные условия имеют вид

\frac{\partial ^{2} \theta }{\partial t^{2}}\Big|_{x=0} = c^{2}\frac{\partial \theta }{\partial x}\Big|_{x=0}; \quad \frac{\partial ^{2} \theta }{\partial t^{2}}\Big|_{x=l} = -c^{2}\frac{\partial \theta }{\partial x}\Big|_{x=l}, \quad \text{где} \quad c = \sqrt{\frac{GI}{k_{1}}}.

Задача 5851

К концу $x = l$ однородного стержня, закрепленного в точке $x = 0$ , подвешен груз в $P$ кг. Изучить вынужденные продольные колебания стержня, предполагая, что на него действует внешняя непрерывно распределенная сила $\rho Y(x,t)$ .

Примечание.

Указание. Задача сводится к интегрированию уравнения

\frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}} = a^{2}\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}}+Y(x,t), \quad a = \sqrt{\frac{E}{\rho }}

при условиях

u\big|_{x=0} = 0; \quad \frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}}\Big|_{x=l} = -c^{2}\frac{\partial u}{\partial x}\Big|_{x=l}, \quad c = \sqrt{\frac{gE}{P}};

u\big|_{t=0} = 0; \quad \frac{\partial u}{\partial t}\Big|_{t=0} = 0;

$g$ --- ускорение свободного падения.

Задача 5852

Струна длиной $l$ закреплена на концах $x = 0$ и $x = l$ и в начальный момент времени оттянута в точке $x = c$ на расстояние $h$ от оси $OX$ ; затем она отпущена без сообщения ее точкам начальной скорости (рис. 15.15). Определить отклонение $u(x,t)$ струны для любого момента времени (см. задачу 5846).

Рис. 15.15

Задача 5853

Струна длиной $l$ закреплена на концах $x = 0$ и $x = l$ и в начальный момент времени в точке $x = c$ получает удар от молоточка (струна пианино). Предполагается, что во время удара молоточек касается очень малого участка струны и что сам удар длится очень недолго по сравнению с периодом колебания струны. Найти выражение для отклонения $u(x,t)$ струны (см. задачу 5846).

Примечание.

Указание. Начальные условия колебания: $f(x) = 0$ во всем интервале $(0,l)$ , $F(x) = 0$ во всем интервале $(0,l)$ за исключением очень малого участка $(c-\varepsilon , c+\varepsilon )$ , где $F(x) > 0$ .

Задача 5854

Абсолютно изолированный электрический провод длиною $l$ в некоторый момент времени, принимаемый за начальный, заряжен до некоторого постоянного потенциала $p_{0}$ . Определить величину напряжения и силу тока $i$ по истечении времени $t$ от начального момента, предполагая, что один из концов провода замкнут накоротко, а другой открыт (уравнения линии -- задача 5810: $\frac{\partial p}{\partial x}+L\frac{\partial i}{\partial t}+Ri = 0$ , $\frac{\partial i}{\partial x}+C\frac{\partial p}{\partial t}+Gp = 0$ ).

Примечание.

Указание. Задача приводится к интегрированию системы уравнений

\frac{\partial p}{\partial x}+L\frac{\partial i}{\partial t}+Ri = 0, \quad \frac{\partial i}{\partial x}+C\frac{\partial p}{\partial t} = 0

при условиях: $p\big|_{x=0} = 0$ , $i\big|_{x=l} = 0$ при всяком $t$ , $p\big|_{t=0} = p_{0}$ , $i\big|_{t=0} = 0$ при $0 < x < l$ .

Задача 5855

Однородная струна длиной $l$ под влиянием сильного натяжения $T_{0}$ находится в прямолинейном положении равновесия и закреплена на концах $x = 0$ и $x = l$ . В точке $x = c$ на струну действует сосредоточенная гармоническая сила $\rho P(t) = \rho A\sin \omega t$ .

Определить отклонение $u(x,t)$ струны от положения равновесия (рис. 15.16).

Рис. 15.16

Примечание.

Указание. Задачу можно привести к интегрированию уравнений

\frac{\partial ^{2} u_{1}}{\partial x^{2}} = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial ^{2} u_{1}}{\partial t^{2}}, \quad \frac{\partial ^{2} u_{2}}{\partial x^{2}} = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial ^{2} u_{2}}{\partial t^{2}}, \quad a = \sqrt{\frac{T_{0}}{\rho }}

и выполнению пограничных условий:

u_{1}\big|_{x=0} = 0, \quad u_{1}\big|_{x=c} = u_{2}\big|_{x=c}, \quad u_{2}\big|_{x=l} = 0.

T_{0}\frac{\partial u_{2}}{\partial x}\Big|_{x=c} - T_{0}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}\Big|_{x=c} + P\rho = 0.

Задача 5856

Однородная струна длиною $l$ , закрепленная на концах $x = 0$ и $x = l$ , колеблется под действием внешней возмущающей силы $\rho Y(x,t)$ , распределенной непрерывным образом вдоль всего отрезка струны. Найти отклонения струны от положения равновесия, приняв во внимание ее свободные колебания, вызываемые начальным отклонением и начальной скоростью.

Примечание.

Указание. Уравнение вынужденных колебаний имеет вид

\frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}} = a^{2}\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}}+Y(x,t); \quad a = \sqrt{\frac{T_{0}}{\rho }};

интеграл этого уравнения пишется в виде суммы $u = u_{1}+u_{2}$ , где $u_{1}$ есть интеграл однородного уравнения $\dfrac {\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = a^{2}\dfrac {\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ , удовлетворяющий условиям:

u_{1}\big|_{x=0} = 0, \quad u_{1}\big|_{x=l} = 0, \quad u_{1}\big|_{t=0} = f(x), \quad \frac{\partial u_{1}}{\partial t}\Big|_{t=0} = F(x),

а $u_{2}$ есть интеграл неоднородного уравнения, подчиненный условиям:

u_{2}\big|_{x=0} = 0, \quad u_{2}\big|_{x=l} = 0, \quad u_{2}\big|_{t=0} = 0, \quad \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\Big|_{t=0} = 0.

Задача 5857

Изучить вынужденные поперечные колебания струны, закрепленной на конце $x = 0$ и подверженной на конце $x = l$ действию возмущающей гармонической силы, вызывающей смещение, равное $A\sin \omega t$ .

Задача 5858

Решить предыдущую задачу (задача 5857) в предположении, что струна закреплена на концах $x = 0$ и $x = l$ и что внешняя возмущающая сила сосредоточена в точке $x = c$ струны. Исследовать частный случай, когда сила действует гармонически.

Примечание.

Указание. Сосредоточенную в точке $x = c$ силу можно рассматривать как предельный случай силы $\rho Y(x,t) > 0$ , непрерывно распределенной по очень малому участку $(c-\varepsilon , c+\varepsilon )$ .

Задача 5859

Две разнородные струны длиной $l_{1}$ и $l_{2}$ , связаны между собою в точке $x = l_{1}$ и закреплены на концах $x = 0$ и $x = l_{1}+l_{2}$ . Определить период поперечных колебаний.

Примечание.

Указание. Задача приводится к интегрированию уравнений

\frac{\partial ^{2} u_{1}}{\partial t^{2}} = a_{1}^{2}\frac{\partial ^{2} u_{1}}{\partial x^{2}}; \quad \frac{\partial ^{2} u_{2}}{\partial t^{2}} = a_{2}^{2}\frac{\partial ^{2} u_{2}}{\partial x^{2}}; \quad a_{1} = \sqrt{\frac{T_{0}}{\rho _{1}}}; \quad a_{2} = \sqrt{\frac{T_{0}}{\rho _{2}}}

при условиях

u_{1}\big|_{x=0} = 0, \quad u_{2}\big|_{x=l_{1}+l_{2}} = 0, \quad u_{1}\big|_{x=l_{1}} = u_{2}\big|_{x=l_{1}};

\frac{\partial u_{1}}{\partial x}\Big|_{x=l_{1}} = \frac{\partial u_{2}}{\partial x}\Big|_{x=l_{1}}.

Задача 5860

Струна, закрепленная на концах, состоит из двух неоднородных частей $AB = l_{1}$ и $BC = l_{2}$ , причем в точке $B$ помещается шарик массы $M$ . Доказать, что период $T$ поперечных колебаний определяется из уравнения

\frac{1}{a_{1}}\ctg \frac{2\pi l_{1}}{Ta_{1}} + \frac{1}{a_{2}}\ctg \frac{2\pi l_{2}}{Ta_{2}} = M\frac{2\pi }{TT_{0}},

где $T_{0}$ --- величина натяжения нити.

Примечание.

Указание. Следует принять во внимание условие

M\frac{\partial ^{2} u_{1}}{\partial t^{2}}\Big|_{x=l_{1}} = M\frac{\partial ^{2} u_{2}}{\partial t^{2}}\Big|_{x=l_{1}} = -T_{0}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}\Big|_{x=l_{1}} + T_{0}\frac{\partial u_{2}}{\partial x}\Big|_{x=l_{1}}.

Задача 5861

Стержень $AC$ , закрепленный в начале $A$ и свободный на конце $C$ , состоит из двух неоднородных частей $AB = l_{1}$ и $BC = l_{2}$ . Доказать, что период $T$ продольных колебаний стержня определяется уравнением

\tg \frac{2\pi l_{1}}{a_{1}T} \cdot \tg \frac{2\pi l_{2}}{a_{2}T} = \frac{E_{1}a_{2}}{E_{2}a_{1}},

где $a_{1} = \sqrt{\dfrac {E_{1}}{\rho_{1}}}$ , $a_{2} = \sqrt{\dfrac {E_{2}}{\rho_{2}}}$ .

Примечание.

Указание. Выделить колебания одной и той же частоты, удовлетворяющие уравнениям

\frac{\partial ^{2} u_{1}}{\partial t^{2}} = a_{1}^{2}\frac{\partial ^{2} u_{1}}{\partial x^{2}}; \qquad \frac{\partial ^{2} u_{2}}{\partial t^{2}} = a_{2}^{2}\frac{\partial ^{2} u_{2}}{\partial x^{2}}

при условиях

u_{1}\big|_{x=l_{1}} = u_{2}\big|_{x=l_{1}}; \qquad E_{1}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}\Big|_{x=l_{1}} = E_{2}\frac{\partial u_{2}}{\partial x}\Big|_{x=l_{1}}.

Задача 5862

Тяжелый растяжимый стержень, длина которого в нерастянутом состоянии равна $l$ , подвешен за конец $x = 0$ , а конец $x = l$ оставлен свободным. Изучить вынужденные колебания стержня.

Примечание.

Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения

\frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}} = a^{2}\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}}+g

при условиях: $u\big|_{t=0} = 0$ ; $\dfrac {\partial u}{\partial t}\Big|_{t=0} = 0$ , $u\big|_{x=0} = 0$ ; $\dfrac {\partial u}{\partial x}\Big|_{x=0} = 0$ .

Задача 5863

Доказать, что радиальные колебания однородного газа, заключенного между двумя неподвижными концентрическими сферами радиусов $R_{1}$ и $R_{2}$ , $R_{1} < R_{2}$ , могут происходить гармоническим образом, причем период тона выражается формулой

T_{1} = \frac{2\pi (R_{2}-R_{1})}{\mu }\sqrt{\frac{\rho _{0}}{\gamma p_{0}}},

где $\mu$ --- наименьший положительный корень уравнения

\tg \mu = \frac{\mu }{p\mu ^{2}+1}; \quad p = \frac{R_{1}R_{2}}{(R_{2}-R_{1})^{2}};

здесь $\gamma$ --- постоянная Пуассона, $p_{0}$ и $\rho_{0}$ --- начальные давление и плотность.

Задача 5864

Доказать, что уравнение радиальных колебаний газа $\dfrac {\partial^{2} \Phi }{\partial r^{2}}+\dfrac {2}{r}\dfrac {\partial \Phi }{\partial r} = \dfrac {1}{a^{2}}\dfrac {\partial^{2} \Phi }{\partial t^{2}}$ имеет решение $\Phi = \dfrac {A}{r}\cos \dfrac {\omega }{a}(at-r)$ , обращающееся в нуль при $r\to \infty$ .

Задача 5865

Доказать, что если уравнение малых колебаний газа имеет вид

\frac{\partial ^{2} \Phi }{\partial r^{2}}+\frac{2}{r}\frac{\partial \Phi }{\partial r}+\frac{1}{r^{2}\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin \theta \frac{\partial \Phi }{\partial q}\right) = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial ^{2} \Phi }{\partial t^{2}},

то оно допускает интеграл

\Phi = \frac{A\cos \theta }{r}\left(\cos \frac{\omega }{a}(at-r)+\frac{a}{\omega r}\sin \frac{\omega }{a}(at-r)\right),

обращающийся в нуль при $r\to \infty$ .

Задача 5866

Доказать, что решением задачи 5802 (задача 5802: абсолютно гибкая нить длиной $l$ подвешена за конец $x = l$ , а на другом конце $x = 0$ прикреплен груз в $P$ кг; плотность нити $\rho = A/\sqrt{l_{1}+x}$ , где $M = 2A\sqrt{l_{1}}$ ; требуется найти малые колебания нити около равновесного положения) служит ряд

u = \sum _{k=1}^{\infty } (a_{k}\cos a\lambda _{k}t + b_{k}\sin a\lambda _{k}t) J_{0}\left(\mu _{k}\sqrt{\frac{x}{l}}\right),

где

a_{k} = \frac{1}{lJ_{1}^{2}(\mu _{k})}\int _{0}^{l} f(x)J_{0}\left(\mu _{k}\sqrt{\frac{x}{l}}\right) \, dx; \quad f(x) = u\big|_{t=0},

b_{k} = \frac{1}{a\mu _{k}\sqrt{l}J_{1}^{2}(\mu _{k})}\int _{0}^{1} F(x)J_{0}\left(\mu _{k}\sqrt{\frac{x}{l}}\right) \, dx, \quad F(x) = \frac{\partial u}{\partial t}\Big|_{t=0},

\lambda _{k} = \sqrt{\frac{\mu _{k}^{2}}{4l}-\left(\frac{\omega }{a}\right)^{2}},

а $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots$ означают положительные корни уравнения $J_{0}(x) = 0$ .

Задача 5867

Линейная плотность подвешенной нити изменяется по закону $\rho = ax^{m}$ , где $m > -1$ . Вывести уравнение малых колебаний нити и доказать, что отклонение от равновесного положения выражается формулой

u = \sum _{k=1}^{\infty } N_{k}\frac{J_{m}\left(\mu _{k}\sqrt{\frac{x}{l}}\right)}{x^{\frac{m}{2}}}\sin \left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{g}{l(m-1)}}\mu _{k}t+\varphi _{k}\right),

где $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots$ --- положительные корни уравнения $J_{m}(x) = 0$ , а $N_{k}$ и $\varphi_{k}$ --- постоянные, зависящие от начальных условий.

Задача 5868

На круглую мембрану, закрепленную по краю, действует внешняя гармоническая сила

\rho Y = \rho A\sin \omega t,

непрерывно распределенная по всей ее площади.

Доказать, что вынужденные колебания мембраны выражаются равенством

u = \frac{A}{\omega ^{2}}\left(\frac{J_{0}\left(\frac{\omega }{a}r\right)}{J_{0}\left(\frac{\omega }{a}R\right)}-1\right)\sin \omega t,

где $R$ --- радиус мембраны.

Задача 5869

Дан тонкий однородный стержень длиной $l$ , изолированный от внешнего пространства. Во все время наблюдения концы $x = 0$ и $x = l$ удерживаются при постоянной температуре $u = 0$ . Кроме того, известно начальное распределение температуры вдоль стержня.

Определить его температуру в момент времени $t$ (уравнение теплопроводности стержня -- задача 5812: $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial u}{\partial t}$ , $a = \sqrt{k/(c\rho )}$ ).

Примечание.

Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения теплопроводности $\dfrac {\partial u}{\partial t} = a^{2}\dfrac {\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ , $a = \sqrt{k/(c\rho )}$ при условиях: $u\big|_{x=0} = 0$ , $u\big|_{x=l} = 0$ , при всяком $t$ ; $u\big|_{t=0} = f(x)$ при $0 < x < l$ .

Задача 5870

Решить предыдущую задачу (задача 5869) в предположении, что конец $x = 0$ стержня имеет температуру, равную нулю, а на конце $x = l$ происходит лучеиспускание тепла в окружающую среду, температура которой считается равной нулю.

Примечание.

Указание. Второе из пограничных условий предыдущей задачи следует заменить условием: $k\dfrac {\partial u}{\partial x}\Big|_{x=l} = -hu\big|_{x=l}$ , где через $k$ и $h$ обозначены коэффициенты внутренней и внешней теплопроводности вещества стержня.

Задача 5871

Решить предыдущую задачу (задача 5870) в предположении, что лучеиспускание тепла в окружающую среду происходит на обоих концах стержня.

Примечание.

Указание. Пограничные условия имеют вид

\frac{\partial u}{\partial x}\Big|_{x=0} = \frac{h}{k}u\big|_{x=0}, \quad \frac{\partial u}{\partial x}\Big|_{x=l} = -\frac{h}{k}u\big|_{x=l}.

Задача 5872

Применить метод Фурье к исследованию распространения тепла в однородном кольце, предполагая, что известно начальное распределение тепла (уравнение теплопроводности кольца -- задача 5814: $\frac{1}{R^{2}}\frac{\partial^{2} u}{\partial \theta^{2}}-bu = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial u}{\partial t}$ , $a = \sqrt{k/(c\rho )}$ , $b = hl/(\sigma k)$ ).

Примечание.

Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения

\frac{\partial v}{\partial t} = a^{2}\frac{\partial ^{2} v}{\partial \theta ^{2}}, \quad u = ve^{-bt}

при выполнении начального условия

u\big|_{t=0} = f(\theta ) \ \text{при} \ 0 < \theta < 2\pi .

Задача 5873

Дана однородная сфера радиуса $R$ , центр которой расположен в начале координат. Известно, что начальная температура любой точки сферы зависит только от расстояния $r$ этой точки от центра сферы. Во все время наблюдения внешняя поверхность сферы удерживается при температуре $0°$ . Определить температуру любой точки внутри сферы в момент времени $t$ (уравнение радиального распространения тепла в сфере -- задача 5816: $\frac{\partial^{2} v}{\partial r^{2}} = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial v}{\partial t}$ , $v(r,t) = ru(r,t)$ , $a = \sqrt{k/(c\rho )}$ ).

Примечание.

Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения $\dfrac {\partial v}{\partial t} = a^{2}\dfrac {\partial^{2} v}{\partial r^{2}}$ , $u = \dfrac {v}{r}$ , $a = \sqrt{k/(c\rho )}$ и выполнению условий: $v\big|_{r=0} = 0$ , $v\big|_{r=R} = 0$ при всяком $t$ ; $v\big|_{t=0} = rf(r)$ при $0 < r < R$ .

Задача 5874

Решить предыдущую задачу (задача 5873) в предположении, что поверхность сферы все время свободно охлаждается в среде, имеющей температуру $0°$ .

Примечание.

Указание. Второе из предельных условий в предыдущей задаче надо переменить на следующее:

\frac{\partial v}{\partial r}\Big|_{r=R} + \left(H-\frac{1}{R}\right)v\big|_{r=R} = 0, \quad H = \frac{h}{k}.

Задача 5875

Однородный газ заключен в неподвижный сосуд, имеющий форму шара радиуса $R$ . Исследовать радиальные колебания газа, предполагая, что движение происходит с потенциалом скоростей.

Примечание.

Указание. При малых колебаниях потенциал скоростей удовлетворяет волновому уравнению

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial ^{2} u}{\partial z^{2}} = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}},

$a = \sqrt{\gamma p_{0}/\rho_{0}}$ , где $p_{0}$ и $\rho_{0}$ --- начальные давление и плотность, а $\gamma$ --- постоянная Пуассона.

Преобразовав уравнение колебаний к сферическим координатам $r$ , $\theta$ , $\varphi$ , искать по способу Фурье интеграл, удовлетворяющий условиям $u\big|_{r=0} =$ конечной величине,

\frac{\partial u}{\partial r}\Big|_{r=R} = 0 \ \text{при всяком} \ t, \quad u\big|_{t=0} = f(r), \quad \frac{\partial u}{\partial t}\Big|_{t=0} = F(r)

при $0 < r < R$ .

Задача 5876

Тяжелая однородная нить длиной $l$ , подвешена за один из своих концов ( $x = l$ ), выводится из положения равновесия и отпускается без начальной скорости (рис. 15.17). Определить отклонение $u$ в функции от абсциссы $x$ и времени $t$ .

Рис. 15.17

Примечание.

Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения $x\dfrac {\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\dfrac {\partial u}{\partial x} = \dfrac {1}{a^{2}}\dfrac {\partial^{2} u}{\partial t^{2}}$ , $a = \sqrt{g}$ при условиях: $u\big|_{x=0} =$ конечной величине, $u\big|_{x=l} = 0$ при всяком $t$ , $u\big|_{t=0} = f(x)$ , $\dfrac {\partial u}{\partial t}\Big|_{t=0} = 0$ при $0 < x < l$ .

Задача 5877

Дана цилиндрическая трубка радиуса $R$ настолько длинная, что ее можно считать простирающейся в обе стороны до бесконечности. Исследовать малые радиальные колебания однородного газа, заключенного в трубке.

Примечание.

Указание. Уравнение колебаний следует преобразовать к цилиндрическим координатам $r$ , $\varphi$ , $z$ , направив ось $z$ по оси трубки, затем искать интеграл уравнения

\frac{\partial ^{2} u}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}},

удовлетворяющий условиям: $u\big|_{r=0} =$ конечной величине, $\dfrac {\partial u}{\partial r}\Big|_{r=R} = 0$ при всяком $t$ ; $u\big|_{t=0} = f(r)$ , $\dfrac {\partial u}{\partial t}\Big|_{t=0} = F(r)$ при $0 < r < R$ .

Задача 5878

Применить метод Фурье к исследованию радиальных колебаний мембраны, имеющей форму круга радиуса $R$ и закрепленной на краю (уравнение малых колебаний мембраны -- задача 5811: $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}$ , $a = \sqrt{T_{0}/\sigma }$ ).

Примечание.

Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения

\frac{\partial ^{2} u}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}},

$a = \sqrt{T_{0}/\sigma }$ при условиях $u\big|_{r=0} =$ конечной величине, $u\big|_{r=R} = 0$ при всяком $t$ и $u\big|_{t=0} = f(r)$ , $\dfrac {\partial u}{\partial t}\Big|_{t=0} = F(r)$ при $0 < r < R$ .

Задача 5879

Исследовать радиальное распространение тепла в бесконечном цилиндре радиуса $R$ , боковая поверхность которого все время имеет температуру $0°$ .

Примечание.

Указание. Уравнение теплопроводности в цилиндрических координатах имеет вид

\frac{\partial u}{\partial t} = a^{2}\left(\frac{\partial ^{2} u}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}\right), \quad a = \sqrt{\frac{k}{c\rho }}.

Следует искать интеграл этого уравнения, удовлетворяющий условиям $u\big|_{r=0} =$ конечной величине, $u\big|_{r=R} = 0$ при всяком $t$ и $u\big|_{t=0} = f(r)$ при $0 < r < R$ .

Задача 5880

Цилиндр с радиусом основания $R$ и высотой $h$ имеет во все время опыта температуру нижнего основания и боковой поверхности, равную $0°$ , а температура верхнего основания есть определенная функция от $r$ . Найти стационарную температуру внутренних точек цилиндра.

Примечание.

Указание. Для решения задачи необходимо отыскать такой интеграл уравнения $\dfrac {\partial^{2} u}{\partial r^{2}}+\dfrac {1}{r}\dfrac {\partial u}{\partial r}+\dfrac {\partial^{2} u}{\partial z^{2}} = 0$ , который удовлетворял бы условиям: $u\big|_{r=0} =$ конечной величине, $u\big|_{z=0} = 0$ , $u\big|_{r=R} = 0$ , $u\big|_{z=h} = f(r)$ при $0 < r < R$ .

Задача 5881

Решить предыдущую задачу (задача 5880) в предположении, что боковая поверхность цилиндра покрыта непроницаемым для теплоты чехлом.

Примечание.

Указание. Третье из пограничных условий, указанных в предыдущей задаче, заменить следующим: $\dfrac {\partial u}{\partial r}\Big|_{r=R} = 0$ .

Задача 5882

Решить задачу 5880 в предположении, что боковая поверхность цилиндра свободно охлаждается в воздух, имеющий температуру $0°$ .

Примечание.

Указание. Пограничное условие на боковой поверхности имеет вид: $\dfrac {\partial u}{\partial r}\Big|_{r=R}+h_{1}u\big|_{r=R} = 0$ , где $h_{1} = \dfrac {h}{k}$ ; значение букв $h$ и $k$ см. в задаче 5870 (задача 5870: $k$ и $h$ --- коэффициенты внутренней и внешней теплопроводности вещества стержня).

Задача 5883

Цилиндр с радиусом основания $R$ и высотой $h$ имеет температуру обоих оснований, равную $0°$ , а температура боковой поверхности представляет данную функцию от $z$ : $u = f(z)$ . Найти стационарную температуру внутренних точек цилиндра.

Задача 5884

Дана тонкая прямоугольная пластинка со сторонами $l$ и $m$ (совпадающими с осями координат), для которой известно начальное распределение температуры. В течение всего времени наблюдения периметр пластинки удерживается при температуре $0°$ . Требуется определить температуру каждой точки пластинки по истечении времени $t$ от начального момента (уравнение теплопроводности пластинки -- задача 5813: $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial u}{\partial t}$ , $a = \sqrt{k/(c\rho )}$ ).

Примечание.

Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения

\frac{\partial u}{\partial t} = a^{2}\left(\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}}\right), \quad a = \sqrt{\frac{k}{c\rho }}

при условиях:

u = 0 \ \text{при} \ x = 0, \quad u = 0 \ \text{при} \ x = l \quad \text{при} \ 0 < y < m \ \text{и при всяком} \ t,

u = 0 \ \text{при} \ y = 0, \quad u = 0 \ \text{при} \ y = m \quad \text{при} \ 0 < x < l \ \text{и при всяком} \ t,

u\big|_{t=0} = f(x,y) \quad \text{при} \ 0 < x < l \ \text{и} \ 0 < y < m.

Задача 5885

Дан прямоугольный параллелепипед с ребрами $l$ , $m$ , $n$ (три его ребра совпадают с осями координат). Во все время наблюдения боковые грани удерживаются при температуре $0°$ , а оба основания имеют данное распределение температуры. Определить стационарную температуру внутренних точек параллелепипеда.

Примечание.

Указание. Искомая функция удовлетворяет уравнению $\dfrac {\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\dfrac {\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\dfrac {\partial^{2} u}{\partial z^{2}} = 0$ при условиях: $u = 0$ при $x = 0$ , $u = 0$ при $x = l$ , $u = 0$ при $y = 0$ , $u = 0$ при $y = m$ , $u = f(x,y)$ при $z = 0$ , $u = F(x,y)$ при $z = n$ .

Задача 5886

Исследовать малые колебания мембраны, закрепленной на краях и имеющей форму прямоугольника, стороны которого $l$ и $m$ совпадают с осями координат $x$ и $y$ (уравнение малых колебаний мембраны -- задача 5811: $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}$ , $a = \sqrt{T_{0}/\sigma }$ ).

Примечание.

Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}} = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}}, \quad a = \sqrt{\frac{T_{0}}{\sigma }}

при условиях:

u = 0 \ \text{при} \ x = 0, \qquad u = 0 \ \text{при} \ x = l,

u = 0 \ \text{при} \ y = 0, \qquad u = 0 \ \text{при} \ y = m.

u\big|_{t=0} = f(x,y), \quad \frac{\partial u}{\partial t}\Big|_{t=0} = F(x,y) \quad \text{при} \ 0 < x < l, \ 0 < y < m.

Задача 5887

Исследовать распространение тепла в бесконечно длинном стержне, изолированном от внешнего пространства (уравнение теплопроводности стержня -- задача 5812: $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial u}{\partial t}$ , $a = \sqrt{k/(c\rho )}$ ).

Примечание.

Указание. Искомая температура удовлетворяет уравнению

\frac{\partial u}{\partial t} = a^{2}\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}}, \quad a = \sqrt{\frac{k}{c\rho }}

и условию $u\big|_{t=0} = f(x)$ .

Задача 5888

Дан однородный стержень, у которого один конец удален на бесконечность, а другой имеет температуру, изменяющуюся известным образом с течением времени. Определить температуру стержня по истечении времени $t$ от начального момента.

Примечание.

Указание. Следует проинтегрировать уравнение распространения тепла в стержне при условиях: $u\big|_{x=0} = \varphi (t)$ , $u\big|_{t=0} = f(x)$ .

Задача 5889

Исследовать распространение тепла в тонкой пластинке, предполагая, что она настолько велика, что ее можно считать неограниченно простирающейся во все стороны (уравнение теплопроводности пластинки -- задача 5813: $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial u}{\partial t}$ , $a = \sqrt{k/(c\rho )}$ ).

Примечание.

Указание. Искомая температура удовлетворяет уравнению

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}} = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial u}{\partial t}, \quad a = \sqrt{\frac{k}{c\rho }}

и условию $u\big|_{t=0} = f(x,y)$ .

Задача 5890

Исследовать распространение тепла в бесконечной пластинке, ограниченной с одного края, на котором температура изменяется известным образом.

Примечание.

Указание. Если провести ось ординат вдоль края пластинки, то задача приводится к интегрированию уравнения, указанного в предыдущей задаче при выполнении условий:

u\big|_{x=0} = \varphi (y,t); \quad u\big|_{t=0} = f(x,y).

Задача 5891

Определить температуру в точке $M(x,y,z)$ неограниченного пространства, предполагая, что известно начальное распределение температуры.

Примечание.

Указание. Искомая температура удовлетворяет уравнению

\frac{\partial u}{\partial t} = a^{2}\left(\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial ^{2} u}{\partial z^{2}}\right), \quad a = \sqrt{\frac{k}{c\rho }}

и условию $u\big|_{t=0} = f(x,y,z)$ .

Задача 5892

Гибкая однородная нить вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси. В момент времени, принимаемый за начальный, нить выводится из своего относительного положения равновесия, и ее точкам сообщаются начальные скорости. Определить отклонение $u(x,t)$ нити по истечении времени $t$ от начального момента (уравнение колебаний нити -- задача 5804: $\frac{\partial }{\partial x}\left((l^{2}-x^{2})\frac{\partial u}{\partial x}\right) = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}$ , $a = \omega /\sqrt{2}$ ).

Примечание.

Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения

(l^{2}-x^{2})\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} - 2x\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}}, \quad a = \frac{\omega }{\sqrt{2}}

при условиях: $u\big|_{x=0} = 0$ , $u\big|_{x=l} =$ конечной величине при всяком $t$ и $u\big|_{t=0} = f(x)$ , $\dfrac {du}{dt}\Big|_{t=0} = F(x)$ при $0 < x < l$ .

Задача 5893

Доказать, что уравнение Лапласа

\frac{\partial ^{2} u}{\partial r^{2}}+\frac{2}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial ^{2} u}{\partial \theta ^{2}}+\frac{\ctg \theta }{r^{2}}\frac{\partial u}{\partial \theta } = 0

допускает частное решение

u = \left(Ar^{m}+\frac{B}{r^{m+1}}\right)P_{m}(\cos \theta ),

где $A$ и $B$ обозначают произвольные постоянные, $m$ есть целое положительное число или нуль, а $P_{m}(\cos \theta )$ есть многочлен Лежандра с индексом $m$ .

Задача 5894

Данная функция $f(r)$ может быть разложена в ряды следующего вида:

f(r) = A_{0}+A_{1}r+A_{2}r^{2}+\ldots +A_{n}r^{n}+\ldots \quad \text{при } r < R,

f(r) = \frac{B_{1}}{r}+\frac{B_{2}}{r^{2}}+\frac{B_{3}}{r^{3}}+\ldots +\frac{B_{n+1}}{r^{n+1}}+\ldots \quad \text{при } r > R.

Найти такое решение уравнения, приведенного в предыдущей задаче (задача 5893: $\frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}}+\frac{2}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2} u}{\partial \theta^{2}}+\frac{\ctg \theta }{r^{2}}\frac{\partial u}{\partial \theta } = 0$ , с частным решением $u = \left(Ar^{m}+\frac{B}{r^{m+1}}\right)P_{m}(\cos \theta )$ ), которое удовлетворяло бы условию

u\big|_{\theta =0} = f(r).

Задача 5895

Круговое проволочное кольцо радиуса $R$ заряжено $E$ единицами статического электричества. Найти потенциал $v(r,\theta )$ наэлектризованного кольца на любую точку поля (рис. 15.18).

Рис. 15.18

Примечание.

Указание. Воспользоваться результатом предыдущей задачи.

Задача 5896

Найти такое решение уравнения задачи 5893 (задача 5893: $\frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}}+\frac{2}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2} u}{\partial \theta^{2}}+\frac{\ctg \theta }{r^{2}}\frac{\partial u}{\partial \theta } = 0$ , с частным решением $u = \left(Ar^{m}+\frac{B}{r^{m+1}}\right)P_{m}(\cos \theta )$ ), чтобы при $r = R$ (на поверхности сферы радиуса $R$ с центром в начале координат) оно обращалось в данную функцию угла $\theta$ , т.е. $u\big|_{r=R} = f(\theta )$ при $0 \leqslant \theta \leqslant \pi$ .

Примечание.

Указание. Принять во внимание результат задачи 5893 и воспользоваться разложением функции $f(\theta )$ в ряд по многочленам Лежандра

f(\theta ) = \sum _{n=0}^{\infty } A_{n}P_{n}(\cos \theta ),

A_{n} = \frac{2n+1}{2}\int _{0}^{\pi } f(\theta )P_{n}(\cos \theta )\sin \theta \, d\theta .

Задача 5897

Слоем непроводящего вещества поверхность шарового кондуктора радиуса $R$ разделена на две полусферы, заряженные до потенциалов: $v_{1}$ (верхняя) и $v_{2}$ (нижняя). Найти потенциал $v(r,\theta )$ такого кондуктора на любую точку поля (рис. 15.19).

Рис. 15.19

Примечание.

Указание. Следует воспользоваться результатом предыдущей задачи, приняв во внимание равенства:

v\big|_{r=R} = f(\theta ) = \begin{cases} v_{1} & \text{при } 0 \leqslant \theta \leqslant \dfrac {\pi }{2}, \\ v_{2} & \text{при } \dfrac {\pi }{2} \leqslant \theta \leqslant \pi . \end{cases}

Задача 5898

Металлический шарик радиуса $R$ с закопченной поверхностью подвержен действию солнечных лучей в воздухе, температура которого равна $0°$ . Определить стационарную температуру внутренних точек шарика (рис. 15.20).

Рис. 15.20

Примечание.

Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения Лапласа (см. задачу 5893: $\frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}}+\frac{2}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2} u}{\partial \theta^{2}}+\frac{\ctg \theta }{r^{2}}\frac{\partial u}{\partial \theta } = 0$ ) при следующем условии:

\frac{\partial u}{\partial r}\Big|_{r=R} + H\left(u-f(\theta )\right)\Big|_{r=R} = 0,

где $H$ постоянно, а

f(\theta ) = \begin{cases} M\cos \theta , & \text{при } 0 \leqslant \theta \leqslant \dfrac {\pi }{2} \quad (M = \text{const}); \\ 0, & \text{при } \dfrac {\pi }{2} \leqslant \theta \leqslant \pi . \end{cases}

Задача 5899

Проинтегрировать по способу Фурье уравнение поперечных колебаний балки $\dfrac {\partial^{4} u}{\partial x^{4}}+\dfrac {1}{a^{2}}\dfrac {\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = 0$ при условиях $u = 0$ , $\dfrac {\partial u}{\partial x} = 0$ при $x = 0$ , $x = l$ , выражающих, что оба конца балки закреплены наглухо (рис. 15.21).

Рис. 15.21

Примечание.

Указание. Характеристические числа $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \ldots$ задачи определяются из уравнения

\ch \lambda l \cdot \cos \lambda l = 1,

а соответствующие им фундаментальные функции

X_{n}(x) = (\sh \lambda _{n}l - \sin \lambda _{n}l)(\ch \lambda _{n}x - \cos \lambda _{n}x) - (\ch \lambda _{n}l - \cos \lambda _{n}l)(\sh \lambda _{n}x - \sin \lambda _{n}x)

образуют систему функций, ортогональных на интервале $(0,l)$ .

15.6 · Интегральные уравнения[61/80%]

Задача 5900

В точке $x = \xi$ однородной нити ( $\rho = 1$ ), подверженной действию сильного натяжения $T_{0}$ и закрепленной на концах $x = 0$ и $x = 1$ , подвешен груз $Q = 1$ (рис. 15.22).

Рис. 15.22

Доказать, что уравнение провиса нити имеет вид

u = K(x,\xi ) = \begin{cases} x(1-\xi ) \cdot \dfrac {1}{T_{0}} & \text{при } x \leqslant \xi , \\ \xi (1-x) \cdot \dfrac {1}{T_{0}} & \text{при } x \geqslant \xi . \end{cases}

Задача 5901

Тяжелая однородная нить закреплена в точке $x = 1$ и подвержена в точке $x = \xi$ действию горизонтальной силы $Q = 1$ (рис. 15.23).

Рис. 15.23

Доказать, что равновесное уравнение нити имеет форму

u = K(x,\xi ) = \begin{cases} -\ln \xi , & \text{при } x \leqslant \xi , \\ -\ln x, & \text{при } x \geqslant \xi . \end{cases}

Примечание.

Указание. Натяжение нити в точке $M(x)$ принимается равным $-x$ .

Задача 5902

Однородная нить длиной $l = 1$ прикреплена концом $x = 0$ к неподвижной оси и вращается вокруг этой оси с постоянной угловой скоростью. К точке $x = \xi$ такой нити приложена сила $Q = 1$ (рис. 15.24).

Рис. 15.24

Доказать, что уравнение относительного равновесия нити имеет вид

u = K(x,\xi ) = \begin{cases} \dfrac {1}{2}\ln \dfrac {1+x}{1-x} & \text{при } x \leqslant \xi , \\ \dfrac {1}{2}\ln \dfrac {1+\xi }{1-\xi } & \text{при } x \geqslant \xi . \end{cases}

Примечание.

Указание. Натяжение нити в точке $M(x)$ , вызываемое центробежной силой, принимается равным

R = 2\int _{x}^{1} x \, dx = 1-x^{2}.

Задача 5903

Доказать, что при непрерывно распределенной нагрузке уравнение провиса нити имеет форму

u = \int _{0}^{1} K(x,\xi )p(\xi ) \, d\xi ,

где через $p(\xi )$ обозначена величина нагрузки, рассчитанная на единицу длины нити.

Примечание.

Указание. Воспользоваться результатом задачи 5900 (задача 5900: $K(x,\xi ) = x(1-\xi )/T_{0}$ при $x \leqslant \xi$ , $K(x,\xi ) = \xi (1-x)/T_{0}$ при $x \geqslant \xi$ ).

Задача 5904

Доказать, что задача о малых колебаниях закрепленной нити может быть приведена к решению однородного уравнения Фредгольма

y(x) = \lambda \int _{0}^{1} K(x,\xi )y(\xi ) \, d\xi ,

где симметричное ядро $K(x,\xi )$ имеет вид, указанный в задаче 5901 (задача 5901: $K(x,\xi ) = -\ln \xi$ при $x \leqslant \xi$ , $K(x,\xi ) = -\ln x$ при $x \geqslant \xi$ ).

Задача 5905

На однородную струну, закрепленную на концах, действует непрерывно распределенная сила

F(\xi ,t) = p_{0}(\xi )\sin \omega t.

Доказать, что задача о вынужденных колебаниях такой нити сводится к решению неоднородного уравнения Фредгольма

y(x) = f(x) + \lambda \int _{0}^{1} K(x,\xi )y(\xi ) \, d\xi .

Задача 5906

Рассматривая последовательность $1, x, x^{2}, \ldots , x^{n}, \ldots$ в промежутке $(-1,+1)$ , заменить ее последовательностью ортогональной и нормальной, взяв за весовую функцию

p(x) = 1.

Составить первые три члена последовательности.

Примечание.

Примечание. Рассматривая квадратичную погрешность

\int _{a}^{b} p(x)\left(f(x)-s_{n}(x)\right)^{2} \, dx,

мы называем $p(x)$ весом.

Задача 5907

Решить задачу 5905 (задача 5905: на однородную струну, закрепленную на концах, действует непрерывно распределенная сила $F(\xi ,t) = p_{0}(\xi )\sin \omega t$ ; задача о вынужденных колебаниях сводится к решению неоднородного уравнения Фредгольма $y(x) = f(x)+\lambda \int_{0}^{1} K(x,\xi )y(\xi )\, d\xi$ ), взяв за весовую функцию

p(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.

Задача 5908

Рассматривая последовательность $1, x, x^{2}, \ldots , x^{n}, \ldots$ в промежутке $(0,\infty )$ , заменить ее ортогональной и нормальной, считая, что весовая функция

p(x) = e^{-x}.

Составить первые три члена последовательности.

Задача 5909

Рассматривая последовательность $1, x, x^{2}, \ldots , x^{n}, \ldots$ в промежутке $(-\infty ,+\infty )$ , заменить ее ортогональной и нормальной, считая, что весовая функция

p(x) = e^{-x^{2}}.

Составить первые три члена последовательности.

Примечание.

Указание. Использовать свойства функции $\Gamma (p)$ .

Задача 5910

Свести к интегральному уравнению нахождение решений уравнения

y''+xy'+y = 0, \quad y(0) = 1, \quad y'(0) = 0.

Задача 5911

Найти $u(x)$ из уравнения

u(x) = x+4\int _{0}^{x} (t-x)u(t) \, dt.

Задача 5912

Заменить нахождение $y$ из уравнения $y''+y = 0$ при начальном условии $y(0) = 0$ , $y'(0) = -1$ решением интегрального уравнения.

Задача 5913

Заменить нахождение $y$ из уравнения $y''-5y'+6y = 0$ при начальных условиях $y(0) = 0$ , $y'(0) = 1$ решением интегрального уравнения.

Задача 5914

Заменить нахождение $y$ из уравнения $y''+y = \cos x$ при начальных условиях $y(0) = y'(0) = 0$ решением интегрального уравнения.

Задача 5915

Решить уравнение

\varphi (x) = \frac{1}{2}\int _{0}^{1} xt\varphi (t) \, dt + \frac{5x}{6}.

Задача 5916

Решить уравнение

\varphi (x) = 3\int _{0}^{1} xt\varphi (t) \, dt + 3x-2.

Задача 5917

Решить уравнение

\varphi (x) = \frac{1}{2}\int _{0}^{2} xt\varphi (t) \, dt + \frac{5x}{6}.

Задача 5918

Решить уравнение

\varphi (x) = 3\int _{0}^{2} xt\varphi (t) \, dt + 3x-2.

Задача 5919

Найти определитель Фредгольма и резольвенту для уравнения

\varphi (x) = \lambda \int _{a}^{b} K(x,y)\varphi (y) \, dy + F(x),

а также первое характеристическое число и его фундаментальную функцию, если

K(x,y) = g(x)g(y);

решить уравнение, считая, что $\lambda$ нехарактеристическое число.

Задача 5920

То же (найти определитель Фредгольма и резольвенту для уравнения $\varphi (x) = \lambda \int_{a}^{b} K(x,y)\varphi (y)\, dy+F(x)$ , а также первое характеристическое число и его фундаментальную функцию; решить уравнение, считая, что $\lambda$ нехарактеристическое число), предполагая

K(x,y) = g(y).

Задача 5921

K(x,y) = g(x).

Задача 5922

Решить уравнение

\varphi (x) = \frac{2}{e^{2}-1}\int _{0}^{1} e^{x}e^{y}\varphi (y) \, dy.

Задача 5923

Решить уравнение

\varphi (x) = x^{2}+2\int _{0}^{1} (1+3xy)\varphi (y) \, dy.

Задача 5924

Найти все решения уравнения

\varphi (x) = \lambda \int _{0}^{1} y\varphi (y) \, dy + F(x).

Задача 5925

В уравнении

\varphi (x) = \lambda \int _{0}^{1} K(x,y)\varphi (y) \, dy + F(x)

K(x,y) = \begin{cases} x, & \text{если } x < y; \\ y, & \text{если } x > y. \end{cases}

Найти определитель Фредгольма и резольвенту.

Задача 5926

Найти определитель Фредгольма и резольвенту для уравнения

\varphi (x) = \lambda \int _{a}^{b} K(x,y)\varphi (y) \, dy + F(x),

а также первое характеристическое число и его фундаментальную функцию, если

K(x,y) = c.

Задача 5927

Для уравнения

\varphi (x) = \lambda \int _{0}^{1} (x+y)\varphi (y) \, dy + F(x)

найти характеристические числа и фундаментальные функции.

Задача 5928

Решить уравнение

\varphi (x) = \int _{0}^{1} (x+y)\varphi (y) \, dy + 18x^{2}-9x-4.

Примечание.

Указание. См. задачу 5927 (задача 5927: для уравнения $\varphi (x) = \lambda \int_{0}^{1} (x+y)\varphi (y)\, dy+F(x)$ найти характеристические числа и фундаментальные функции).

Задача 5929

Для уравнения

\varphi (x) = \lambda \int _{0}^{2\pi } (\sin x\sin y + \sin 2x\sin 2y)\varphi (y) \, dy + F(x)

составить определитель Фредгольма, его миноры, резольвенту и фундаментальные функции.

Задача 5930

Для уравнения

\varphi (x) = \lambda \int _{0}^{\pi } \cos (x+y)\varphi (y) \, dy + F(x)

составить определитель Фредгольма, его минор, резольвенту, фундаментальные функции и решение.

Задача 5931

Решить уравнение

\varphi (x) = \int _{0}^{\pi } \cos (x+y)\varphi (y) \, dy + 1.

Примечание.

Указание. См. задачу 5930 (задача 5930: для уравнения $\varphi (x) = \lambda \int_{0}^{\pi } \cos (x+y)\varphi (y)\, dy+F(x)$ составить определитель Фредгольма, его минор, резольвенту, фундаментальные функции и решение).

Задача 5932

Найти резольвенту уравнения

\varphi (x) = \lambda \int _{0}^{1} \left(xy-\frac{x+y}{2}+\frac{1}{3}\right)\varphi (y) \, dy;

найти фундаментальные функции.

Задача 5933

Решить уравнение

\varphi (x) = 6\int _{0}^{1} \left(xy-\frac{x+y}{2}+\frac{1}{3}\right)\varphi (y) \, dy + x.

Задача 5934

Найти резольвенту уравнения

\varphi (x) = \lambda \int _{0}^{1} (x^{2}+y^{2})\varphi (y) \, dy + F(x).

Задача 5935

Найти резольвенту уравнения

\varphi (x) = \lambda \int _{0}^{1} (x^{2}y+y^{2}x)\varphi (y) \, dy + F(x).

Задача 5936

Найти резольвенту уравнения

\varphi (x) = \lambda \int _{0}^{1} (1+x+y)\varphi (y) \, dy + F(x).

Задача 5937

Найти резольвенту уравнения

\varphi (x) = \lambda \int _{0}^{1} (x-y)\varphi (y) \, dy + F(x).

Задача 5938

Проверить, что уравнение

\varphi (x) = \lambda \int _{-\infty }^{+\infty } e^{-\left|x-y\right|}\varphi (y) \, dy

имеет решение при всяком $\lambda > \dfrac {1}{2}$ .

Примечание.

Указание. Составить дифференциальное уравнение для $\varphi (x)$ .

Задача 5939

Решить систему уравнений

\varphi (x) = \lambda \int _{0}^{1} (x-y)\psi (y) \, dy, \quad \psi (x) = \lambda \int _{0}^{1} (y-x)\varphi (y) \, dy.

Примечание.

Указание. См. задачу 5932 (задача 5932: найти резольвенту уравнения $\varphi (x) = \lambda \int_{0}^{1} \left(xy-\frac{x+y}{2}+\frac{1}{3}\right)\varphi (y)\, dy$ и его фундаментальные функции).

Задача 5940

Дано, что

K(x,y) = \begin{cases} -\dfrac {1}{2}, & \text{если } x < y, \\ \dfrac {1}{2}, & \text{если } x > y. \end{cases}

Решить систему уравнений

\varphi (x) = \pi \int _{0}^{1} K(x,y)\psi (y) \, dy,

\psi (x) = \pi \int _{0}^{1} K(y,x)\varphi (y) \, dy.

Задача 5941

Свести к интегральному уравнению нахождение решений уравнения

(xy')'+\lambda xy = 0

при граничных условиях: $y(0)$ ограничено, $y(1) = 0$ .

Задача 5942

Свести к интегральному уравнению нахождение решений уравнения

(xy')'+\left(\lambda x-\frac{n^{2}}{x}\right)y = 0

при граничных условиях: $y(0) = 0$ , $y(1) = 0$ .

Задача 5943

Составить интегральное уравнение, фундаментальные функции которого --- лежандровы функции порядка $m$ :

\left((1-x^{2})y'\right)'+\left(n(n+1)-\frac{m^{2}}{1-x^{2}}\right)y = 0;

граничное условие: $y$ ограничено при $x = -1$ и $x = +1$ .

Задача 5944

Решить задачу 5943 для случая $m = 0$ лежандровых многочленов.

Примечание.

Указание. Рассматривать уравнение

\left((1-x^{2})y'\right)'+n(n+1)y = \frac{1}{2}.

Задача 5945

Составить интегральное уравнение, фундаментальные функции которого --- многочлены Эрмита:

y''+(1-x^{2})y+\lambda y = 0,

$y = 0$ при $x = \pm \infty$ .

Примечание.

Указание. Положить $\lambda = -2+\mu$ .

Задача 5946

Составить интегральное уравнение, фундаментальные функции которого --- многочлены Лагерра:

xy''+(1-x)y'+\lambda y = 0;

$y$ ограничено при $x = 0$ и $x = +\infty$ .

Примечание.

Указание. Положить $\lambda = -1+\mu$ .

Задача 5947

Найдя соответственную функцию Грина, заменить уравнение

y''+k^{2}y = f(x), \quad y(0) = y(1) = 0

интегральным.

Задача 5948

Найдя соответственную функцию Грина, заменить уравнение

y''+k^{2}y = f(x), \quad y'(0) = hy(0), \quad y'(1) = -Hy(1)

интегральным уравнением.

Задача 5949

Найти характеристические числа и фундаментальные функции уравнения

\varphi (x) = -\frac{\lambda }{2}\int _{0}^{1} \varphi (y)\left|x-y\right| \, dy + F(x).

Примечание.

Указание. Выяснив граничные условия, свести нахождение характеристических чисел к интегрированию обыкновенного уравнения.

Задача 5950

Найдя соответствующую функцию Грина $G(\xi ,x)$ , заменить уравнение

y''+k^{2}y = f(x), \quad y(0) = 0, \quad y'(1) = -hy(1)

интегральным.

Задача 5951

Проверив, что фундаментальные функции уравнения задачи 5950 (задача 5950: $y''+k^{2}y = f(x)$ , $y(0) = 0$ , $y'(1) = -hy(1)$ , с функцией Грина $G(\xi ,x)$ ) равны

\sqrt{\frac{2(h^{2}+k_{n}^{2})}{h^{2}+h+k_{n}^{2}}}\sin k_{n}x,

где $k_{n}$ --- корень уравнения

k = -h\tg k,

решить уравнение

y(x) = k^{2}\int _{0}^{1} G(\zeta ,x)y(\zeta ) \, d\zeta + 1.

Задача 5952

Проверить, что для уравнения

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}} = 0,

в случае круга радиуса $R$ при граничном условии $u = 0$ функция Грина равна

G(x,y,\zeta ,\eta ) = -\frac{1}{2\pi }\ln \frac{r_{1}}{r_{2}} + \frac{1}{2\pi }\ln \frac{\sqrt{\zeta ^{2}+\eta ^{2}}}{R},

где $r_{1}$ и $r_{2}$ --- расстояния от точки $(x,y)$ до точек

(\zeta ,\eta ) \quad \text{и} \quad \left(\frac{\zeta R^{2}}{\zeta ^{2}+\eta ^{2}}, \frac{\eta R^{2}}{\zeta ^{2}+\eta ^{2}}\right).

Убедиться в симметрии функции $G(x,y,\zeta ,\eta )$ .

Задача 5953

Проверить, что для уравнения

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial ^{2} u}{\partial z^{2}} = 0

в случае сферы радиуса $R$ при граничном условии $u = 0$ функция Грина равна

G(x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta ) = \frac{1}{4\pi }\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{R}{r_{2}\sqrt{\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}}}\right),

где $r_{1}$ и $r_{2}$ --- расстояния от точки $(x,y,z)$ до точек $(\xi ,\eta ,\zeta )$ и

\left(\frac{\xi R^{2}}{\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}}, \frac{\eta R^{2}}{\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}}, \frac{\zeta R^{2}}{\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}}\right).

Задача 5954

Проверить, что характеристические числа и фундаментальные функции уравнения

\varphi (x,y) = \lambda \iint _{\Omega } G(x,y,\zeta ,\eta )\varphi (\zeta ,\eta ) \, d\zeta \, d\eta ,

где $G$ --- функция Грина задачи 5952 (задача 5952: $G(x,y,\zeta ,\eta ) = -\frac{1}{2\pi }\ln \frac{r_{1}}{r_{2}}+\frac{1}{2\pi }\ln \frac{\sqrt{\zeta^{2}+\eta^{2}}}{R}$ для круга радиуса $R$ с граничным условием $u=0$ ), а $\Omega$ --- круг радиуса $R$ , могут быть найдены нахождением характеристических чисел и фундаментальных функций уравнения

\psi (l) = -\lambda \int _{0}^{R} \rho J(\rho ,l)\psi (\rho ) \, d\rho ,

где

J(\rho ,l) = \begin{cases} \ln l - \ln R, & \rho < l; \\ \ln \rho - \ln R, & \rho > l, \end{cases}

$\rho$ и $l$ --- расстояния от точек $(\zeta ,\eta )$ , $(x,y)$ до центра круга.

Примечание.

Указание. Обратить внимание на симметрию граничных условий относительно центра круга.

Задача 5955

Найти характеристические числа и фундаментальные функции уравнения задачи 5954 (задача 5954: $\varphi (x,y) = \lambda \iint_{\Omega } G(x,y,\zeta ,\eta )\varphi (\zeta ,\eta )\, d\zeta \, d\eta$ , где $G$ --- функция Грина задачи 5952 для круга радиуса $R$ ).

Задача 5956

Найти характеристические числа и фундаментальные функции уравнения

V(x,y,z) = -\frac{\lambda }{4\pi } \iiint _{\Omega } V(\xi ,\eta ,\zeta )G(x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta ) \, d\xi \, d\eta \, d\zeta + F(x,y,z),

где $G(x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta )$ --- функция Грина задачи 5953 (задача 5953: $G(x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta ) = \frac{1}{4\pi }\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{R}{r_{2}\sqrt{\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}}}\right)$ для сферы радиуса $R$ с граничным условием $u=0$ ), а $\Omega$ --- сфера радиуса $R$ .

Примечание.

Указание. Использовав симметрию относительно центра, можно прийти к заключению, что фундаментальные функции зависят только от расстояния до начала координат. Воспользоваться дифференциальным уравнением второго порядка, определяющим эти функции.

Задача 5957

Найти решение уравнения

\Delta V = \lambda V + F(a),

где $a = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ , удовлетворяющее на границе сферы радиуса $R$ с центром в начале координат условию $V = 0$ ; функция $V$ должна быть задана внутри сферы.

Примечание.

Указание. См. задачу 5956 (задача 5956: найти характеристические числа и фундаментальные функции уравнения $V(x,y,z) = -\frac{\lambda }{4\pi }\iiint_{\Omega } V(\xi ,\eta ,\zeta )G(x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta )\, d\xi \, d\eta \, d\zeta +F(x,y,z)$ , где $\Omega$ --- сфера радиуса $R$ ).

Задача 5958

Фундаментальные функции уравнения

V(x,y,z) = \frac{\lambda }{4\pi } \iiint _{\Omega } \frac{V(\xi ,\eta ,\zeta )}{r} \, d\xi \, d\eta \, d\zeta + F(x,y,z),

где $r$ --- расстояние между точками $(x,y,z)$ и $(\xi ,\eta ,\zeta )$ , называются универсальными функциями Корна.

Найти универсальные функции Корна, предполагая, что область $\Omega$ есть сфера радиуса $R$ .

Примечание.

Указание. Вследствие симметрии искомые функции зависят только от расстояния $a$ от точки до начала координат ( $a = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ). Функция выражается линейно через решения некоторого дифференциального уравнения, и неопределенные коэффициенты вместе с характеристическими числами находятся подстановкой в данное уравнение. Нормирование достигается использованием дифференциального уравнения.

Задача 5959

Доказать, что интегральное уравнение

u(x) = f(x) + \lambda \int _{0}^{\infty } J_{\nu }(xt)tu(t) \, dt, \quad \nu > -\frac{1}{2}

имеет следующее решение:

u(x) = \frac{f(x)+\lambda \int _{0}^{\infty } J_{\nu }(xt)tf(t) \, dt}{1-\lambda ^{2}}.

Примечание.

Указание. Следует воспользоваться формулой Фурье--Ганкеля:

f(x) = \int _{0}^{\infty } \alpha \, d\alpha \int _{0}^{\infty } f(\beta )J_{\nu }(\alpha \beta )J_{\nu }(x\alpha )\beta \, d\beta .

Задача 5960

Доказать, что интегральное уравнение

u(x) = \lambda \int _{0}^{\infty } J_{\nu }(xt)tu(t) \, dt, \quad \nu > -\frac{1}{2}

при $\lambda = \pm 1$ имеет следующее решение:

u(x) = \frac{x^{\nu }}{(a^{2}+x^{2})^{\nu +\frac{1}{2}}} \pm \frac{\sqrt{\pi }x^{\nu -1}e^{-ax}}{2^{\nu }\Gamma \left(\nu +\frac{1}{2}\right)},

где через $a$ обозначен произвольный параметр, подчиненный единственному условию $\mathrm{Re}\left(a\right) > 0$ .