Банк задач по математике

Задача 5900

В точке $x = \xi$ однородной нити ( $\rho = 1$ ), подверженной действию сильного натяжения $T_{0}$ и закрепленной на концах $x = 0$ и $x = 1$ , подвешен груз $Q = 1$ (рис. 15.22).

Рис. 15.22

Доказать, что уравнение провиса нити имеет вид

u = K(x,\xi ) = \begin{cases} x(1-\xi ) \cdot \dfrac {1}{T_{0}} & \text{при } x \leqslant \xi , \\ \xi (1-x) \cdot \dfrac {1}{T_{0}} & \text{при } x \geqslant \xi . \end{cases}

?

Задача 5901

Тяжелая однородная нить закреплена в точке $x = 1$ и подвержена в точке $x = \xi$ действию горизонтальной силы $Q = 1$ (рис. 15.23).

Рис. 15.23

Доказать, что равновесное уравнение нити имеет форму

u = K(x,\xi ) = \begin{cases} -\ln \xi , & \text{при } x \leqslant \xi , \\ -\ln x, & \text{при } x \geqslant \xi . \end{cases}

?

Примечание.

?

Указание. Натяжение нити в точке $M(x)$ принимается равным $-x$ .

Задача 5902

Однородная нить длиной $l = 1$ прикреплена концом $x = 0$ к неподвижной оси и вращается вокруг этой оси с постоянной угловой скоростью. К точке $x = \xi$ такой нити приложена сила $Q = 1$ (рис. 15.24).

Рис. 15.24

Доказать, что уравнение относительного равновесия нити имеет вид

u = K(x,\xi ) = \begin{cases} \dfrac {1}{2}\ln \dfrac {1+x}{1-x} & \text{при } x \leqslant \xi , \\ \dfrac {1}{2}\ln \dfrac {1+\xi }{1-\xi } & \text{при } x \geqslant \xi . \end{cases}

?

Примечание.

?

Указание. Натяжение нити в точке $M(x)$ , вызываемое центробежной силой, принимается равным

R = 2\int _{x}^{1} x \, dx = 1-x^{2}.

Задача 5903

Доказать, что при непрерывно распределенной нагрузке уравнение провиса нити имеет форму

u = \int _{0}^{1} K(x,\xi )p(\xi ) \, d\xi ,

где через $p(\xi )$ обозначена величина нагрузки, рассчитанная на единицу длины нити.

?

Примечание.

?

Указание. Воспользоваться результатом задачи 5900 (задача 5900: $K(x,\xi ) = x(1-\xi )/T_{0}$ при $x \leqslant \xi$ , $K(x,\xi ) = \xi (1-x)/T_{0}$ при $x \geqslant \xi$ ).

Задача 5904

Доказать, что задача о малых колебаниях закрепленной нити может быть приведена к решению однородного уравнения Фредгольма

y(x) = \lambda \int _{0}^{1} K(x,\xi )y(\xi ) \, d\xi ,

где симметричное ядро $K(x,\xi )$ имеет вид, указанный в задаче 5901 (задача 5901: $K(x,\xi ) = -\ln \xi$ при $x \leqslant \xi$ , $K(x,\xi ) = -\ln x$ при $x \geqslant \xi$ ).

?

Задача 5905

На однородную струну, закрепленную на концах, действует непрерывно распределенная сила

F(\xi ,t) = p_{0}(\xi )\sin \omega t.

Доказать, что задача о вынужденных колебаниях такой нити сводится к решению неоднородного уравнения Фредгольма

y(x) = f(x) + \lambda \int _{0}^{1} K(x,\xi )y(\xi ) \, d\xi .

?

Задача 5906

Рассматривая последовательность $1, x, x^{2}, \ldots , x^{n}, \ldots$ в промежутке $(-1,+1)$ , заменить ее последовательностью ортогональной и нормальной, взяв за весовую функцию

p(x) = 1.

Составить первые три члена последовательности.

?

Примечание.

?

Примечание. Рассматривая квадратичную погрешность

\int _{a}^{b} p(x)\left(f(x)-s_{n}(x)\right)^{2} \, dx,

мы называем $p(x)$ весом.

Задача 5907

Решить задачу 5905 (задача 5905: на однородную струну, закрепленную на концах, действует непрерывно распределенная сила $F(\xi ,t) = p_{0}(\xi )\sin \omega t$ ; задача о вынужденных колебаниях сводится к решению неоднородного уравнения Фредгольма $y(x) = f(x)+\lambda \int_{0}^{1} K(x,\xi )y(\xi )\, d\xi$ ), взяв за весовую функцию

p(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.

?

Задача 5908

Рассматривая последовательность $1, x, x^{2}, \ldots , x^{n}, \ldots$ в промежутке $(0,\infty )$ , заменить ее ортогональной и нормальной, считая, что весовая функция

p(x) = e^{-x}.

Составить первые три члена последовательности.

?

Задача 5909

Рассматривая последовательность $1, x, x^{2}, \ldots , x^{n}, \ldots$ в промежутке $(-\infty ,+\infty )$ , заменить ее ортогональной и нормальной, считая, что весовая функция

p(x) = e^{-x^{2}}.

Составить первые три члена последовательности.

?

Примечание.

?

Указание. Использовать свойства функции $\Gamma (p)$ .

Задача 5910

Свести к интегральному уравнению нахождение решений уравнения

y''+xy'+y = 0, \quad y(0) = 1, \quad y'(0) = 0.

?

Задача 5911

Найти $u(x)$ из уравнения

u(x) = x+4\int _{0}^{x} (t-x)u(t) \, dt.

?

Задача 5912

Заменить нахождение $y$ из уравнения $y''+y = 0$ при начальном условии $y(0) = 0$ , $y'(0) = -1$ решением интегрального уравнения.

?

Задача 5913

Заменить нахождение $y$ из уравнения $y''-5y'+6y = 0$ при начальных условиях $y(0) = 0$ , $y'(0) = 1$ решением интегрального уравнения.

?

Задача 5914

Заменить нахождение $y$ из уравнения $y''+y = \cos x$ при начальных условиях $y(0) = y'(0) = 0$ решением интегрального уравнения.

?

Задача 5915

Решить уравнение

\varphi (x) = \frac{1}{2}\int _{0}^{1} xt\varphi (t) \, dt + \frac{5x}{6}.

?

Задача 5916

Решить уравнение

\varphi (x) = 3\int _{0}^{1} xt\varphi (t) \, dt + 3x-2.

?

Задача 5917

Решить уравнение

\varphi (x) = \frac{1}{2}\int _{0}^{2} xt\varphi (t) \, dt + \frac{5x}{6}.

?

Задача 5918

Решить уравнение

\varphi (x) = 3\int _{0}^{2} xt\varphi (t) \, dt + 3x-2.

?

Задача 5919

Найти определитель Фредгольма и резольвенту для уравнения

\varphi (x) = \lambda \int _{a}^{b} K(x,y)\varphi (y) \, dy + F(x),

а также первое характеристическое число и его фундаментальную функцию, если

K(x,y) = g(x)g(y);

решить уравнение, считая, что $\lambda$ нехарактеристическое число.

?

Задача 5920

То же (найти определитель Фредгольма и резольвенту для уравнения $\varphi (x) = \lambda \int_{a}^{b} K(x,y)\varphi (y)\, dy+F(x)$ , а также первое характеристическое число и его фундаментальную функцию; решить уравнение, считая, что $\lambda$ нехарактеристическое число), предполагая

K(x,y) = g(y).

?

Задача 5921

То же (найти определитель Фредгольма и резольвенту для уравнения $\varphi (x) = \lambda \int_{a}^{b} K(x,y)\varphi (y)\, dy+F(x)$ , а также первое характеристическое число и его фундаментальную функцию; решить уравнение, считая, что $\lambda$ нехарактеристическое число), предполагая

K(x,y) = g(x).

?

Задача 5922

Решить уравнение

\varphi (x) = \frac{2}{e^{2}-1}\int _{0}^{1} e^{x}e^{y}\varphi (y) \, dy.

?

Задача 5923

Решить уравнение

\varphi (x) = x^{2}+2\int _{0}^{1} (1+3xy)\varphi (y) \, dy.

?

Задача 5924

Найти все решения уравнения

\varphi (x) = \lambda \int _{0}^{1} y\varphi (y) \, dy + F(x).

?

Задача 5925

В уравнении

\varphi (x) = \lambda \int _{0}^{1} K(x,y)\varphi (y) \, dy + F(x)

K(x,y) = \begin{cases} x, & \text{если } x < y; \\ y, & \text{если } x > y. \end{cases}

Найти определитель Фредгольма и резольвенту.

?

Задача 5926

Найти определитель Фредгольма и резольвенту для уравнения

\varphi (x) = \lambda \int _{a}^{b} K(x,y)\varphi (y) \, dy + F(x),

а также первое характеристическое число и его фундаментальную функцию, если

K(x,y) = c.

?

Задача 5927

Для уравнения

\varphi (x) = \lambda \int _{0}^{1} (x+y)\varphi (y) \, dy + F(x)

найти характеристические числа и фундаментальные функции.

?

Задача 5928

Решить уравнение

\varphi (x) = \int _{0}^{1} (x+y)\varphi (y) \, dy + 18x^{2}-9x-4.

?

Примечание.

?

Указание. См. задачу 5927 (задача 5927: для уравнения $\varphi (x) = \lambda \int_{0}^{1} (x+y)\varphi (y)\, dy+F(x)$ найти характеристические числа и фундаментальные функции).

Задача 5929

Для уравнения

\varphi (x) = \lambda \int _{0}^{2\pi } (\sin x\sin y + \sin 2x\sin 2y)\varphi (y) \, dy + F(x)

составить определитель Фредгольма, его миноры, резольвенту и фундаментальные функции.

?

Задача 5930

Для уравнения

\varphi (x) = \lambda \int _{0}^{\pi } \cos (x+y)\varphi (y) \, dy + F(x)

составить определитель Фредгольма, его минор, резольвенту, фундаментальные функции и решение.

?

Задача 5931

Решить уравнение

\varphi (x) = \int _{0}^{\pi } \cos (x+y)\varphi (y) \, dy + 1.

?

Примечание.

?

Указание. См. задачу 5930 (задача 5930: для уравнения $\varphi (x) = \lambda \int_{0}^{\pi } \cos (x+y)\varphi (y)\, dy+F(x)$ составить определитель Фредгольма, его минор, резольвенту, фундаментальные функции и решение).

Задача 5932

Найти резольвенту уравнения

\varphi (x) = \lambda \int _{0}^{1} \left(xy-\frac{x+y}{2}+\frac{1}{3}\right)\varphi (y) \, dy;

найти фундаментальные функции.

?

Задача 5933

Решить уравнение

\varphi (x) = 6\int _{0}^{1} \left(xy-\frac{x+y}{2}+\frac{1}{3}\right)\varphi (y) \, dy + x.

?

Задача 5934

Найти резольвенту уравнения

\varphi (x) = \lambda \int _{0}^{1} (x^{2}+y^{2})\varphi (y) \, dy + F(x).

?

Задача 5935

Найти резольвенту уравнения

\varphi (x) = \lambda \int _{0}^{1} (x^{2}y+y^{2}x)\varphi (y) \, dy + F(x).

?

Задача 5936

Найти резольвенту уравнения

\varphi (x) = \lambda \int _{0}^{1} (1+x+y)\varphi (y) \, dy + F(x).

?

Задача 5937

Найти резольвенту уравнения

\varphi (x) = \lambda \int _{0}^{1} (x-y)\varphi (y) \, dy + F(x).

?

Задача 5938

Проверить, что уравнение

\varphi (x) = \lambda \int _{-\infty }^{+\infty } e^{-\left|x-y\right|}\varphi (y) \, dy

имеет решение при всяком $\lambda > \dfrac {1}{2}$ .

?

Примечание.

?

Указание. Составить дифференциальное уравнение для $\varphi (x)$ .

Задача 5939

Решить систему уравнений

\varphi (x) = \lambda \int _{0}^{1} (x-y)\psi (y) \, dy, \quad \psi (x) = \lambda \int _{0}^{1} (y-x)\varphi (y) \, dy.

?

Примечание.

?

Указание. См. задачу 5932 (задача 5932: найти резольвенту уравнения $\varphi (x) = \lambda \int_{0}^{1} \left(xy-\frac{x+y}{2}+\frac{1}{3}\right)\varphi (y)\, dy$ и его фундаментальные функции).

Задача 5940

Дано, что

K(x,y) = \begin{cases} -\dfrac {1}{2}, & \text{если } x < y, \\ \dfrac {1}{2}, & \text{если } x > y. \end{cases}

Решить систему уравнений

\varphi (x) = \pi \int _{0}^{1} K(x,y)\psi (y) \, dy,

\psi (x) = \pi \int _{0}^{1} K(y,x)\varphi (y) \, dy.

?

Задача 5941

Свести к интегральному уравнению нахождение решений уравнения

(xy')'+\lambda xy = 0

при граничных условиях: $y(0)$ ограничено, $y(1) = 0$ .

?

Задача 5942

Свести к интегральному уравнению нахождение решений уравнения

(xy')'+\left(\lambda x-\frac{n^{2}}{x}\right)y = 0

при граничных условиях: $y(0) = 0$ , $y(1) = 0$ .

?

Задача 5943

Составить интегральное уравнение, фундаментальные функции которого --- лежандровы функции порядка $m$ :

\left((1-x^{2})y'\right)'+\left(n(n+1)-\frac{m^{2}}{1-x^{2}}\right)y = 0;

граничное условие: $y$ ограничено при $x = -1$ и $x = +1$ .

?

Задача 5944

Решить задачу 5943 для случая $m = 0$ лежандровых многочленов.

?

Примечание.

?

Указание. Рассматривать уравнение

\left((1-x^{2})y'\right)'+n(n+1)y = \frac{1}{2}.

Задача 5945

Составить интегральное уравнение, фундаментальные функции которого --- многочлены Эрмита:

y''+(1-x^{2})y+\lambda y = 0,

$y = 0$ при $x = \pm \infty$ .

?

Примечание.

?

Указание. Положить $\lambda = -2+\mu$ .

Задача 5946

Составить интегральное уравнение, фундаментальные функции которого --- многочлены Лагерра:

xy''+(1-x)y'+\lambda y = 0;

$y$ ограничено при $x = 0$ и $x = +\infty$ .

?

Примечание.

?

Указание. Положить $\lambda = -1+\mu$ .

Задача 5947

Найдя соответственную функцию Грина, заменить уравнение

y''+k^{2}y = f(x), \quad y(0) = y(1) = 0

интегральным.

?

Задача 5948

Найдя соответственную функцию Грина, заменить уравнение

y''+k^{2}y = f(x), \quad y'(0) = hy(0), \quad y'(1) = -Hy(1)

интегральным уравнением.

?

Задача 5949

Найти характеристические числа и фундаментальные функции уравнения

\varphi (x) = -\frac{\lambda }{2}\int _{0}^{1} \varphi (y)\left|x-y\right| \, dy + F(x).

?

Примечание.

?

Указание. Выяснив граничные условия, свести нахождение характеристических чисел к интегрированию обыкновенного уравнения.

Задача 5950

Найдя соответствующую функцию Грина $G(\xi ,x)$ , заменить уравнение

y''+k^{2}y = f(x), \quad y(0) = 0, \quad y'(1) = -hy(1)

интегральным.

?

Задача 5951

Проверив, что фундаментальные функции уравнения задачи 5950 (задача 5950: $y''+k^{2}y = f(x)$ , $y(0) = 0$ , $y'(1) = -hy(1)$ , с функцией Грина $G(\xi ,x)$ ) равны

\sqrt{\frac{2(h^{2}+k_{n}^{2})}{h^{2}+h+k_{n}^{2}}}\sin k_{n}x,

где $k_{n}$ --- корень уравнения

k = -h\tg k,

решить уравнение

y(x) = k^{2}\int _{0}^{1} G(\zeta ,x)y(\zeta ) \, d\zeta + 1.

?

Задача 5952

Проверить, что для уравнения

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}} = 0,

в случае круга радиуса $R$ при граничном условии $u = 0$ функция Грина равна

G(x,y,\zeta ,\eta ) = -\frac{1}{2\pi }\ln \frac{r_{1}}{r_{2}} + \frac{1}{2\pi }\ln \frac{\sqrt{\zeta ^{2}+\eta ^{2}}}{R},

где $r_{1}$ и $r_{2}$ --- расстояния от точки $(x,y)$ до точек

(\zeta ,\eta ) \quad \text{и} \quad \left(\frac{\zeta R^{2}}{\zeta ^{2}+\eta ^{2}}, \frac{\eta R^{2}}{\zeta ^{2}+\eta ^{2}}\right).

Убедиться в симметрии функции $G(x,y,\zeta ,\eta )$ .

?

Задача 5953

Проверить, что для уравнения

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial ^{2} u}{\partial z^{2}} = 0

в случае сферы радиуса $R$ при граничном условии $u = 0$ функция Грина равна

G(x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta ) = \frac{1}{4\pi }\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{R}{r_{2}\sqrt{\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}}}\right),

где $r_{1}$ и $r_{2}$ --- расстояния от точки $(x,y,z)$ до точек $(\xi ,\eta ,\zeta )$ и

\left(\frac{\xi R^{2}}{\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}}, \frac{\eta R^{2}}{\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}}, \frac{\zeta R^{2}}{\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}}\right).

?

Задача 5954

Проверить, что характеристические числа и фундаментальные функции уравнения

\varphi (x,y) = \lambda \iint _{\Omega } G(x,y,\zeta ,\eta )\varphi (\zeta ,\eta ) \, d\zeta \, d\eta ,

где $G$ --- функция Грина задачи 5952 (задача 5952: $G(x,y,\zeta ,\eta ) = -\frac{1}{2\pi }\ln \frac{r_{1}}{r_{2}}+\frac{1}{2\pi }\ln \frac{\sqrt{\zeta^{2}+\eta^{2}}}{R}$ для круга радиуса $R$ с граничным условием $u=0$ ), а $\Omega$ --- круг радиуса $R$ , могут быть найдены нахождением характеристических чисел и фундаментальных функций уравнения

\psi (l) = -\lambda \int _{0}^{R} \rho J(\rho ,l)\psi (\rho ) \, d\rho ,

где

J(\rho ,l) = \begin{cases} \ln l - \ln R, & \rho < l; \\ \ln \rho - \ln R, & \rho > l, \end{cases}

$\rho$ и $l$ --- расстояния от точек $(\zeta ,\eta )$ , $(x,y)$ до центра круга.

?

Примечание.

?

Указание. Обратить внимание на симметрию граничных условий относительно центра круга.

Задача 5955

Найти характеристические числа и фундаментальные функции уравнения задачи 5954 (задача 5954: $\varphi (x,y) = \lambda \iint_{\Omega } G(x,y,\zeta ,\eta )\varphi (\zeta ,\eta )\, d\zeta \, d\eta$ , где $G$ --- функция Грина задачи 5952 для круга радиуса $R$ ).

?

Задача 5956

Найти характеристические числа и фундаментальные функции уравнения

V(x,y,z) = -\frac{\lambda }{4\pi } \iiint _{\Omega } V(\xi ,\eta ,\zeta )G(x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta ) \, d\xi \, d\eta \, d\zeta + F(x,y,z),

где $G(x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta )$ --- функция Грина задачи 5953 (задача 5953: $G(x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta ) = \frac{1}{4\pi }\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{R}{r_{2}\sqrt{\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}}}\right)$ для сферы радиуса $R$ с граничным условием $u=0$ ), а $\Omega$ --- сфера радиуса $R$ .

?

Примечание.

?

Указание. Использовав симметрию относительно центра, можно прийти к заключению, что фундаментальные функции зависят только от расстояния до начала координат. Воспользоваться дифференциальным уравнением второго порядка, определяющим эти функции.

Задача 5957

Найти решение уравнения

\Delta V = \lambda V + F(a),

где $a = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ , удовлетворяющее на границе сферы радиуса $R$ с центром в начале координат условию $V = 0$ ; функция $V$ должна быть задана внутри сферы.

?

Примечание.

?

Указание. См. задачу 5956 (задача 5956: найти характеристические числа и фундаментальные функции уравнения $V(x,y,z) = -\frac{\lambda }{4\pi }\iiint_{\Omega } V(\xi ,\eta ,\zeta )G(x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta )\, d\xi \, d\eta \, d\zeta +F(x,y,z)$ , где $\Omega$ --- сфера радиуса $R$ ).

Задача 5958

Фундаментальные функции уравнения

V(x,y,z) = \frac{\lambda }{4\pi } \iiint _{\Omega } \frac{V(\xi ,\eta ,\zeta )}{r} \, d\xi \, d\eta \, d\zeta + F(x,y,z),

где $r$ --- расстояние между точками $(x,y,z)$ и $(\xi ,\eta ,\zeta )$ , называются универсальными функциями Корна.

Найти универсальные функции Корна, предполагая, что область $\Omega$ есть сфера радиуса $R$ .

?

Примечание.

?

Указание. Вследствие симметрии искомые функции зависят только от расстояния $a$ от точки до начала координат ( $a = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ). Функция выражается линейно через решения некоторого дифференциального уравнения, и неопределенные коэффициенты вместе с характеристическими числами находятся подстановкой в данное уравнение. Нормирование достигается использованием дифференциального уравнения.

Задача 5959

Доказать, что интегральное уравнение

u(x) = f(x) + \lambda \int _{0}^{\infty } J_{\nu }(xt)tu(t) \, dt, \quad \nu > -\frac{1}{2}

имеет следующее решение:

u(x) = \frac{f(x)+\lambda \int _{0}^{\infty } J_{\nu }(xt)tf(t) \, dt}{1-\lambda ^{2}}.

?

Примечание.

?

Указание. Следует воспользоваться формулой Фурье--Ганкеля:

f(x) = \int _{0}^{\infty } \alpha \, d\alpha \int _{0}^{\infty } f(\beta )J_{\nu }(\alpha \beta )J_{\nu }(x\alpha )\beta \, d\beta .

Задача 5960

Доказать, что интегральное уравнение

u(x) = \lambda \int _{0}^{\infty } J_{\nu }(xt)tu(t) \, dt, \quad \nu > -\frac{1}{2}

при $\lambda = \pm 1$ имеет следующее решение:

u(x) = \frac{x^{\nu }}{(a^{2}+x^{2})^{\nu +\frac{1}{2}}} \pm \frac{\sqrt{\pi }x^{\nu -1}e^{-ax}}{2^{\nu }\Gamma \left(\nu +\frac{1}{2}\right)},

где через $a$ обозначен произвольный параметр, подчиненный единственному условию $\mathrm{Re}\left(a\right) > 0$ .

?

Интегральные уравнения