Метод характеристик

Доказать, что общий интеграл уравнения

имеет вид $u = \varphi (x-at)+\psi (x+at)$, где $\varphi$ и $\psi$ --- произвольные функции.

Показать, что общему решению уравнения

можно придать форму

Доказать, что решением уравнения

удовлетворяющим условиям

служит выражение

Отрезок однородной струны, закрепленной на концах $x = 0$ и $x = l$, имеет в начальный момент времени форму параболы, симметричной относительно перпендикуляра, проведенного через середину отрезка $(0, l)$. Определить форму струны в моменты времени $t = \dfrac {l}{2a}$ и $t = \dfrac {l}{a}$, предполагая, что начальные скорости отсутствуют.

Доказать, что уравнение, приведенное в задаче 5825 (задача 5825: $\dfrac {\partial }{\partial x}\left(\left(1-\frac{x}{h}\right)^{2}\frac{\partial u}{\partial x}\right) = \frac{1}{a^{2}}\left(1-\frac{x}{h}\right)^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}$, с общим решением $u = \dfrac {\varphi (x-at)+\psi (x+at)}{x-h}$), при условиях

имеет решение вида

Найти интеграл уравнения

при условиях:

Проинтегрировать уравнение

при условиях:

Доказать, что общее решение уравнения

имеет форму $u = \varphi \left(\dfrac {y}{x}\right)+y\psi \left(\dfrac {y}{x}\right)$.

Показать, что общему решению уравнения

можно придать вид

Доказать, что уравнение, приведенное в предыдущей задаче (задача 5832: $y^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} - x^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = 0$, с общим решением $u = \varphi (xy)+\sqrt{xy}\, \psi (y/x)$), при условиях

имеет следующее решение:

Доказать, что если при $x = ct$, $c = \text{const}$ имеют место равенства $u = f(t)$, $\dfrac {\partial u}{\partial x} = F(t)$, то решением уравнения

служит выражение

где $\beta = \dfrac {c}{a}$.

На конце $x = 0$ цилиндрического стержня, настолько длинного, что его можно считать простирающимся в одну сторону до бесконечности, действует возмущающая гармоническая сила $A\sin \omega t$. Доказать, что перемещение сечения стержня с абсциссой $x$ выражается формулой

Идеальный газ, плотность которого изменяется по закону $\rho = f(at-x)$, совершает продольные колебания в неограниченной цилиндрической трубке. Доказать, что скорость газа в сечении с абсциссой $x$ выражается формулой

где $v_{0}$ --- скорость в сечении $x = 0$.

Бесконечная струна, находящаяся в прямолинейном положении равновесия, получает в начальный момент времени ($t = 0$) удар от молоточка, масса которого равна $M$, причем этот молоточек касается струны в точке $x = 0$ и имеет начальную скорость $v_{0}$.

Доказать, что в момент времени $t > 0$ возмущенная струна имеет вид, указанный на рисунке 15.11, где $u_{1}$ --- прямая волна:

Рис. 15.11

а $u_{2}$ --- обратная волна:

Значения букв $a$ и $T_{0}$ см. задачу 5797 (задача 5797: $a = \sqrt{T_{0}/\rho }$, где $T_{0}$ --- натяжение, а $\rho$ --- линейная плотность нити).

Начало координат $x = 0$ помещается в плоскости раздела двух газов (I) и (II), заполняющих очень длинную цилиндрическую трубку. Конденсация газов обозначается через $s_{1}$ и $s_{2}$. Из области (I) движется прямая волна $s_{1} = F\left(t-\dfrac {x}{a_{1}}\right)$, претерпевающая в сечении $x = 0$ отражение и поглощение.

Доказать, что между падающей волной $F$, отраженной $f$ и поглощенной $\varphi$ существует соотношение

где $a_{2}$ означает скорость поглощенной волны.

Область начальных колебаний однородного газа представляет собою шар радиуса $R$. Начальные скорости частиц газа всюду равны нулю, а начальная плотность $S_{0}$ постоянна внутри шара и равна нулю вне его. Найти выражение для плотности $S$ в момент времени $t > 0$.

Решить предыдущую задачу (задача 5839), применяя интеграл Пуассона:

где через $\Sigma$ обозначена сфера, описанная радиусом $r = at$ из точки $M$, а $\alpha , \beta , \gamma$ суть координаты переменной точки сферы $\Sigma$ (рис. 15.12).

Рис. 15.12