15.4

Метод Римана

[5/40%]
Показать
LaTeX
Задача 5841

Проинтегрировать по способу Римана уравнение ∂2u∂x2−∂2u∂y2=0\dfrac {\partial^{2} u}{\partial x^{2}} - \dfrac {\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0 при условиях

u∣y=0=f(x),∂u∂y∣y=0=F(x). u\Big|_{y=0} = f(x), \quad \frac{\partial u}{\partial y}\Big|_{y=0} = F(x).
?
Примечание.
?

Указание. В данном случае функция Римана равна единице.

Задача 5842

Решить по способу Римана задачу 5833 (задача 5833: доказать, что уравнение y2∂2u∂y2−x2∂2u∂x2=0y^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} - x^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = 0 при условиях u∣y=1=f(x)u\big|_{y=1} = f(x), ∂u∂y∣y=1=F(x)\frac{\partial u}{\partial y}\big|_{y=1} = F(x) имеет решение u(x,y)=12f(xy)+y2f(x/y)+14xy∫xyx/yf(x)x−3/2 dx−12xy∫xyx/yF(x)x−3/2 dxu(x,y) = \frac{1}{2}f(xy)+\frac{y}{2}f(x/y) + \frac{1}{4}\sqrt{xy}\int_{xy}^{x/y} f(x)x^{-3/2}\, dx - \frac{1}{2}\sqrt{xy}\int_{xy}^{x/y} F(x)x^{-3/2}\, dx).

?
Примечание.
?

Указание. За область интегрирования следует принять криволинейный треугольник, образованный характеристиками MPMP, MQMQ и дугой равносторонней гиперболы xy=1xy = 1 (рис. 15.13). Функция Римана определяется равенством:

v(x,y;x0,y0)=x0x. v(x,y;x_{0},y_{0}) = \sqrt{\frac{x_{0}}{x}}.

Рис. 15.13Рис. 15.13

Задача 5843

Показать, пользуясь методом Римана, что интеграл уравнения ∂2θ∂φ2+θ=1a2∂2θ∂t2\dfrac {\partial^{2} \theta }{\partial \varphi^{2}}+\theta = \dfrac {1}{a^{2}}\dfrac {\partial^{2} \theta }{\partial t^{2}}, удовлетворяющий условиям θ∣t=0=f(φ)\theta \big|_{t=0} = f(\varphi ); ∂θ∂t∣t=0=F(φ)\dfrac {\partial \theta }{\partial t}\Big|_{t=0} = F(\varphi ), имеет вид

θ(φ,t)=f(φ−at)+f(φ+at)2+12∫φ−atφ+atΦ(φ,t,z) dz, \theta (\varphi ,t) = \frac{f(\varphi -at)+f(\varphi +at)}{2} + \frac{1}{2}\int _{\varphi -at}^{\varphi +at} \Phi (\varphi ,t,z) \, dz,

где

Φ(φ,t,z)=1aF(z)J0((z−φ)2−a2t2)−atf(z)J0′((z−φ)2−a2t2)(z−φ)2−a2t2. \Phi (\varphi ,t,z) = \frac{1}{a}F(z)J_{0}\left(\sqrt{(z-\varphi )^{2}-a^{2}t^{2}}\right) - atf(z)\frac{J_{0}'\left(\sqrt{(z-\varphi )^{2}-a^{2}t^{2}}\right)}{\sqrt{(z-\varphi )^{2}-a^{2}t^{2}}}.
?
Примечание.
?

Указание. Функция Римана определяется равенством

v(x,y;x0,y0)=J0((x−x0)(y−y0)), v(x,y;x_{0},y_{0}) = J_{0}\left(\sqrt{(x-x_{0})(y-y_{0})}\right),

где J0(x)J_{0}(x) обозначает бесселеву функцию нулевого порядка.

Задача 5844

Применив способ Римана, доказать, что при условиях u∣t=0=f(x)u\big|_{t=0} = f(x), ∂u∂t∣t=0=φ(x)\dfrac {\partial u}{\partial t}\Big|_{t=0} = \varphi (x) уравнение

(l−x)∂2u∂x2−∂u∂x=1a2∂2u∂t2 (l-x)\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} - \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}}

имеет решение

u(x,t)=l−x−at2 f(x+l−x at−a2t24)2l−x4+l−x+at2 f(x−l−x at−a2t24)2l−x4+1l−x4∫l−x−at2l−x+at2Φ(x,t,z) dz; u(x,t) = \frac{\sqrt{\sqrt{l-x}-\frac{at}{2}}\, f\left(x+\sqrt{l-x}\, at-\frac{a^{2}t^{2}}{4}\right)}{2\sqrt[4]{l-x}} + \frac{\sqrt{\sqrt{l-x}+\frac{at}{2}}\, f\left(x-\sqrt{l-x}\, at-\frac{a^{2}t^{2}}{4}\right)}{2\sqrt[4]{l-x}} + \frac{1}{\sqrt[4]{l-x}}\int _{\sqrt{l-x}-\frac{at}{2}}^{\sqrt{l-x}+\frac{at}{2}} \Phi (x,t,z) \, dz; Φ(x,t,z)=zaφ(l−z2)F(12,12,1,a2t24−(z−l−x)24l−x z)+atf(l−z2)8l−xzF′(12,12,1,a2t24−(z−l−x)24l−x z), \Phi (x,t,z) = \frac{\sqrt{z}}{a}\varphi (l-z^{2})F\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1,\frac{\frac{a^{2}t^{2}}{4}-(z-\sqrt{l-x})^{2}}{4\sqrt{l-x}\, z}\right) + \frac{atf(l-z^{2})}{8\sqrt{l-x}\sqrt{z}}F'\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1,\frac{\frac{a^{2}t^{2}}{4}-(z-\sqrt{l-x})^{2}}{4\sqrt{l-x}\, z}\right),

где F(α,β,γ,x)=1+α⋅β1⋅γx+α(α+1)β(β+1)1⋅2⋅γ(γ+1)x2+…F(\alpha ,\beta ,\gamma ,x) = 1+\dfrac {\alpha \cdot \beta }{1\cdot \gamma }x+\dfrac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}x^{2}+\ldots есть гипергеометрический ряд.

?
Примечание.
?

Указание. Заданное уравнение надо привести к простейшей канонической форме (см. задачу 5820). За область интегрирования следует принять треугольник, образованный характеристиками MPMP, MQMQ и биссектрисой y=−xy = -x (рис. 15.14). Функция Римана определяется равенством

v(x,y;x0,y0)=F(12,12,1,(x−x0)(y−y0)(x0−y0)(x−y)). v(x,y;x_{0},y_{0}) = F\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1,\frac{(x-x_{0})(y-y_{0})}{(x_{0}-y_{0})(x-y)}\right).

Рис. 15.14Рис. 15.14

Задача 5845

Проинтегрировать по способу Римана уравнение

(l2−x2)∂2u∂x2−2x∂u∂x−∂2u∂y2−14u=0,0<x<l, (l^{2}-x^{2})\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} - 2x\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}} - \frac{1}{4}u = 0, \quad 0 < x < l,

подчинив его интеграл условиям

u∣y=0=f(x),∂u∂y∣y=0=φ(x). u\Big|_{y=0} = f(x), \quad \frac{\partial u}{\partial y}\Big|_{y=0} = \varphi (x).
?
Примечание.
?

Указание. Функция Римана имеет следующий вид:

v(x,y;x0,y0)=F(12,12,1,sin⁡(x−x0)sin⁡(y−y0)sin⁡(x0−y0)sin⁡(x−y)). v(x,y;x_{0},y_{0}) = F\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1,\frac{\sin (x-x_{0})\sin (y-y_{0})}{\sin (x_{0}-y_{0})\sin (x-y)}\right).