Метод Фурье

Для однородной струны длиною $l$, закрепленной на концах $x = 0$ и $x = l$, известны в начальный момент времени отклонение от прямолинейного положения равновесия и скорости точек. Изучить по способу Фурье поперечные колебания струны (уравнение малых колебаний струны -- задача 5797: $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}$, $a = \sqrt{T_{0}/\rho }$).

Изучить с помощью метода Фурье продольные колебания цилиндрического стержня длиною $l$, у которого один конец закреплен, а другой свободен (уравнение малых продольных колебаний стержня -- задача 5798: $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}$, $a = \sqrt{E/\rho }$).

Решить предыдущую задачу (задача 5847) при условии, что оба конца стержня свободны.

Проинтегрировать по способу Фурье уравнение крутильных колебаний вала $\dfrac {\partial^{2} \theta }{\partial x^{2}} = \dfrac {1}{a^{2}}\dfrac {\partial^{2} \theta }{\partial t^{2}}$, $a = \sqrt{GI/k}$, при условии, что один из концов вала заделан, а на другом прикреплен шкив (см. задачу 5801).

Решить ту же задачу (задача 5849), в предположении, что на концах вала прикреплены два одинаковых шкива.

К концу $x = l$ однородного стержня, закрепленного в точке $x = 0$, подвешен груз в $P$ кг. Изучить вынужденные продольные колебания стержня, предполагая, что на него действует внешняя непрерывно распределенная сила $\rho Y(x,t)$.

Струна длиной $l$ закреплена на концах $x = 0$ и $x = l$ и в начальный момент времени оттянута в точке $x = c$ на расстояние $h$ от оси $OX$; затем она отпущена без сообщения ее точкам начальной скорости (рис. 15.15). Определить отклонение $u(x,t)$ струны для любого момента времени (см. задачу 5846).

Рис. 15.15

Струна длиной $l$ закреплена на концах $x = 0$ и $x = l$ и в начальный момент времени в точке $x = c$ получает удар от молоточка (струна пианино). Предполагается, что во время удара молоточек касается очень малого участка струны и что сам удар длится очень недолго по сравнению с периодом колебания струны. Найти выражение для отклонения $u(x,t)$ струны (см. задачу 5846).

Абсолютно изолированный электрический провод длиною $l$ в некоторый момент времени, принимаемый за начальный, заряжен до некоторого постоянного потенциала $p_{0}$. Определить величину напряжения и силу тока $i$ по истечении времени $t$ от начального момента, предполагая, что один из концов провода замкнут накоротко, а другой открыт (уравнения линии -- задача 5810: $\frac{\partial p}{\partial x}+L\frac{\partial i}{\partial t}+Ri = 0$, $\frac{\partial i}{\partial x}+C\frac{\partial p}{\partial t}+Gp = 0$).

Однородная струна длиной $l$ под влиянием сильного натяжения $T_{0}$ находится в прямолинейном положении равновесия и закреплена на концах $x = 0$ и $x = l$. В точке $x = c$ на струну действует сосредоточенная гармоническая сила $\rho P(t) = \rho A\sin \omega t$.

Определить отклонение $u(x,t)$ струны от положения равновесия (рис. 15.16).

Рис. 15.16

Однородная струна длиною $l$, закрепленная на концах $x = 0$ и $x = l$, колеблется под действием внешней возмущающей силы $\rho Y(x,t)$, распределенной непрерывным образом вдоль всего отрезка струны. Найти отклонения струны от положения равновесия, приняв во внимание ее свободные колебания, вызываемые начальным отклонением и начальной скоростью.

Изучить вынужденные поперечные колебания струны, закрепленной на конце $x = 0$ и подверженной на конце $x = l$ действию возмущающей гармонической силы, вызывающей смещение, равное $A\sin \omega t$.

Решить предыдущую задачу (задача 5857) в предположении, что струна закреплена на концах $x = 0$ и $x = l$ и что внешняя возмущающая сила сосредоточена в точке $x = c$ струны. Исследовать частный случай, когда сила действует гармонически.

Две разнородные струны длиной $l_{1}$ и $l_{2}$, связаны между собою в точке $x = l_{1}$ и закреплены на концах $x = 0$ и $x = l_{1}+l_{2}$. Определить период поперечных колебаний.

Струна, закрепленная на концах, состоит из двух неоднородных частей $AB = l_{1}$ и $BC = l_{2}$, причем в точке $B$ помещается шарик массы $M$. Доказать, что период $T$ поперечных колебаний определяется из уравнения

где $T_{0}$ --- величина натяжения нити.

Стержень $AC$, закрепленный в начале $A$ и свободный на конце $C$, состоит из двух неоднородных частей $AB = l_{1}$ и $BC = l_{2}$. Доказать, что период $T$ продольных колебаний стержня определяется уравнением

где $a_{1} = \sqrt{\dfrac {E_{1}}{\rho_{1}}}$, $a_{2} = \sqrt{\dfrac {E_{2}}{\rho_{2}}}$.

Тяжелый растяжимый стержень, длина которого в нерастянутом состоянии равна $l$, подвешен за конец $x = 0$, а конец $x = l$ оставлен свободным. Изучить вынужденные колебания стержня.

Доказать, что радиальные колебания однородного газа, заключенного между двумя неподвижными концентрическими сферами радиусов $R_{1}$ и $R_{2}$, $R_{1} < R_{2}$, могут происходить гармоническим образом, причем период тона выражается формулой

где $\mu$ --- наименьший положительный корень уравнения

здесь $\gamma$ --- постоянная Пуассона, $p_{0}$ и $\rho_{0}$ --- начальные давление и плотность.

Доказать, что уравнение радиальных колебаний газа $\dfrac {\partial^{2} \Phi }{\partial r^{2}}+\dfrac {2}{r}\dfrac {\partial \Phi }{\partial r} = \dfrac {1}{a^{2}}\dfrac {\partial^{2} \Phi }{\partial t^{2}}$ имеет решение $\Phi = \dfrac {A}{r}\cos \dfrac {\omega }{a}(at-r)$, обращающееся в нуль при $r\to \infty$.

Доказать, что если уравнение малых колебаний газа имеет вид

то оно допускает интеграл

обращающийся в нуль при $r\to \infty$.

Доказать, что решением задачи 5802 (задача 5802: абсолютно гибкая нить длиной $l$ подвешена за конец $x = l$, а на другом конце $x = 0$ прикреплен груз в $P$ кг; плотность нити $\rho = A/\sqrt{l_{1}+x}$, где $M = 2A\sqrt{l_{1}}$; требуется найти малые колебания нити около равновесного положения) служит ряд

где

а $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots$ означают положительные корни уравнения $J_{0}(x) = 0$.

Линейная плотность подвешенной нити изменяется по закону $\rho = ax^{m}$, где $m > -1$. Вывести уравнение малых колебаний нити и доказать, что отклонение от равновесного положения выражается формулой

где $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots$ --- положительные корни уравнения $J_{m}(x) = 0$, а $N_{k}$ и $\varphi_{k}$ --- постоянные, зависящие от начальных условий.

На круглую мембрану, закрепленную по краю, действует внешняя гармоническая сила

непрерывно распределенная по всей ее площади.

Доказать, что вынужденные колебания мембраны выражаются равенством

где $R$ --- радиус мембраны.

Дан тонкий однородный стержень длиной $l$, изолированный от внешнего пространства. Во все время наблюдения концы $x = 0$ и $x = l$ удерживаются при постоянной температуре $u = 0$. Кроме того, известно начальное распределение температуры вдоль стержня.

Определить его температуру в момент времени $t$ (уравнение теплопроводности стержня -- задача 5812: $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial u}{\partial t}$, $a = \sqrt{k/(c\rho )}$).

Решить предыдущую задачу (задача 5869) в предположении, что конец $x = 0$ стержня имеет температуру, равную нулю, а на конце $x = l$ происходит лучеиспускание тепла в окружающую среду, температура которой считается равной нулю.

Решить предыдущую задачу (задача 5870) в предположении, что лучеиспускание тепла в окружающую среду происходит на обоих концах стержня.

Применить метод Фурье к исследованию распространения тепла в однородном кольце, предполагая, что известно начальное распределение тепла (уравнение теплопроводности кольца -- задача 5814: $\frac{1}{R^{2}}\frac{\partial^{2} u}{\partial \theta^{2}}-bu = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial u}{\partial t}$, $a = \sqrt{k/(c\rho )}$, $b = hl/(\sigma k)$).

Дана однородная сфера радиуса $R$, центр которой расположен в начале координат. Известно, что начальная температура любой точки сферы зависит только от расстояния $r$ этой точки от центра сферы. Во все время наблюдения внешняя поверхность сферы удерживается при температуре $0°$. Определить температуру любой точки внутри сферы в момент времени $t$ (уравнение радиального распространения тепла в сфере -- задача 5816: $\frac{\partial^{2} v}{\partial r^{2}} = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial v}{\partial t}$, $v(r,t) = ru(r,t)$, $a = \sqrt{k/(c\rho )}$).

Решить предыдущую задачу (задача 5873) в предположении, что поверхность сферы все время свободно охлаждается в среде, имеющей температуру $0°$.

Однородный газ заключен в неподвижный сосуд, имеющий форму шара радиуса $R$. Исследовать радиальные колебания газа, предполагая, что движение происходит с потенциалом скоростей.

Тяжелая однородная нить длиной $l$, подвешена за один из своих концов ($x = l$), выводится из положения равновесия и отпускается без начальной скорости (рис. 15.17). Определить отклонение $u$ в функции от абсциссы $x$ и времени $t$.

Рис. 15.17

Дана цилиндрическая трубка радиуса $R$ настолько длинная, что ее можно считать простирающейся в обе стороны до бесконечности. Исследовать малые радиальные колебания однородного газа, заключенного в трубке.

Применить метод Фурье к исследованию радиальных колебаний мембраны, имеющей форму круга радиуса $R$ и закрепленной на краю (уравнение малых колебаний мембраны -- задача 5811: $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}$, $a = \sqrt{T_{0}/\sigma }$).

Исследовать радиальное распространение тепла в бесконечном цилиндре радиуса $R$, боковая поверхность которого все время имеет температуру $0°$.

Цилиндр с радиусом основания $R$ и высотой $h$ имеет во все время опыта температуру нижнего основания и боковой поверхности, равную $0°$, а температура верхнего основания есть определенная функция от $r$. Найти стационарную температуру внутренних точек цилиндра.

Решить предыдущую задачу (задача 5880) в предположении, что боковая поверхность цилиндра покрыта непроницаемым для теплоты чехлом.

Решить задачу 5880 в предположении, что боковая поверхность цилиндра свободно охлаждается в воздух, имеющий температуру $0°$.

Цилиндр с радиусом основания $R$ и высотой $h$ имеет температуру обоих оснований, равную $0°$, а температура боковой поверхности представляет данную функцию от $z$: $u = f(z)$. Найти стационарную температуру внутренних точек цилиндра.

Дана тонкая прямоугольная пластинка со сторонами $l$ и $m$ (совпадающими с осями координат), для которой известно начальное распределение температуры. В течение всего времени наблюдения периметр пластинки удерживается при температуре $0°$. Требуется определить температуру каждой точки пластинки по истечении времени $t$ от начального момента (уравнение теплопроводности пластинки -- задача 5813: $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial u}{\partial t}$, $a = \sqrt{k/(c\rho )}$).

Дан прямоугольный параллелепипед с ребрами $l$, $m$, $n$ (три его ребра совпадают с осями координат). Во все время наблюдения боковые грани удерживаются при температуре $0°$, а оба основания имеют данное распределение температуры. Определить стационарную температуру внутренних точек параллелепипеда.

Исследовать малые колебания мембраны, закрепленной на краях и имеющей форму прямоугольника, стороны которого $l$ и $m$ совпадают с осями координат $x$ и $y$ (уравнение малых колебаний мембраны -- задача 5811: $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}$, $a = \sqrt{T_{0}/\sigma }$).

Исследовать распространение тепла в бесконечно длинном стержне, изолированном от внешнего пространства (уравнение теплопроводности стержня -- задача 5812: $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial u}{\partial t}$, $a = \sqrt{k/(c\rho )}$).

Дан однородный стержень, у которого один конец удален на бесконечность, а другой имеет температуру, изменяющуюся известным образом с течением времени. Определить температуру стержня по истечении времени $t$ от начального момента.

Исследовать распространение тепла в тонкой пластинке, предполагая, что она настолько велика, что ее можно считать неограниченно простирающейся во все стороны (уравнение теплопроводности пластинки -- задача 5813: $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial u}{\partial t}$, $a = \sqrt{k/(c\rho )}$).

Исследовать распространение тепла в бесконечной пластинке, ограниченной с одного края, на котором температура изменяется известным образом.

Определить температуру в точке $M(x,y,z)$ неограниченного пространства, предполагая, что известно начальное распределение температуры.

Гибкая однородная нить вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси. В момент времени, принимаемый за начальный, нить выводится из своего относительного положения равновесия, и ее точкам сообщаются начальные скорости. Определить отклонение $u(x,t)$ нити по истечении времени $t$ от начального момента (уравнение колебаний нити -- задача 5804: $\frac{\partial }{\partial x}\left((l^{2}-x^{2})\frac{\partial u}{\partial x}\right) = \frac{1}{a^{2}}\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}$, $a = \omega /\sqrt{2}$).