15.1

Составление дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка

[20/0%]
Показать
LaTeX
Задача 5797

Абсолютно гибкая однородная нить под влиянием сильного натяжения T0T_{0} находится в прямолинейном положении равновесия.

Доказать, что уравнение малых колебаний нити имеет вид

∂2u∂x2=1a2⋅∂2u∂t2,a=T0ρ, \frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}}, \quad a = \sqrt{\frac{T_{0}}{\rho }},

где uu есть смещение точки с абсциссой xx, tt --- время, а ρ\rho --- линейная плотность нити (рис. 15.1).

Рис. 15.1Рис. 15.1

?
Задача 5798

Тонкий однородный стержень совершает продольные колебания, при которых его поперечные сечения, оставаясь плоскими, перемещаются вдоль оси OXOX. Доказать, что уравнение малых колебаний имеет вид

∂2u∂x2=1a2⋅∂2u∂t2,a=Eρ, \frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}}, \quad a = \sqrt{\frac{E}{\rho }},

где uu есть смещение сечения с абсциссой xx, ρ\rho --- плотность, а EE --- модуль упругости материала стержня (рис. 15.2).

Рис. 15.2Рис. 15.2

?
Задача 5799

Доказать, что уравнение продольных колебаний конического стержня имеет вид

∂∂x((1−xh)2∂u∂x)=1a2(1−xh)2∂2u∂t2,a=Eρ, \frac{\partial }{\partial x} \left(\left(1-\frac{x}{h}\right)^{2} \frac{\partial u}{\partial x}\right) = \frac{1}{a^{2}} \left(1-\frac{x}{h}\right)^{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}}, \quad a = \sqrt{\frac{E}{\rho }},

где uu есть перемещение стержня с абсциссой xx, а hh --- высота конуса (рис. 15.3).

Рис. 15.3Рис. 15.3

?
Задача 5800

Крутильными колебаниями стержня называются такие колебания, при которых его поперечные сечения поворачиваются одно относительно другого, вращаясь при этом около оси стержня. Доказать, что уравнением малых колебаний круглого стержня служит уравнение

∂2θ∂x2=1a2⋅∂2θ∂t,a=GIk, \frac{\partial ^{2} \theta }{\partial x^{2}} = \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{\partial ^{2} \theta }{\partial t}, \quad a = \sqrt{\frac{GI}{k}},

где θ\theta есть угол поворота сечения с абсциссой xx, GG --- модуль сдвига, II --- полярный момент инерции поперечного сечения, а kk --- момент инерции части стержня, имеющей единицу длины относительно оси стержня.

?
Задача 5801

Абсолютно гибкая однородная нить закреплена в одном из концов и под действием своего веса находится в вертикальном положении равновесия. Доказать, что уравнение малых колебаний нити имеет вид

∂∂x((l−x)∂u∂x)=1a2⋅∂2u∂t2,a=g, \frac{\partial }{\partial x} \left((l-x) \frac{\partial u}{\partial x}\right) = \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}}, \quad a = \sqrt{g},

где uu есть смещение точки с абсциссой xx, ll --- длина нити, а gg --- ускорение силы тяжести (рис. 15.4).

Рис. 15.4Рис. 15.4

?
Задача 5802

Абсолютно гибкая нить длиной ll подвешена за конец x=lx = l, а на другом конце x=0x = 0 прикреплен груз в PP кг. Линейная плотность нити ρ\rho изменяется по закону

ρ=Al1+x, \rho = \frac{A}{\sqrt{l_{1}+x}},

где постоянные AA и l1l_{1} связаны с массой MM груза соотношением

M=2Al1. M = 2A\sqrt{l_{1}}.

Доказать, что уравнение малых колебаний нити около своего равновесного положения имеет вид

∂2u∂θ2=1a2⋅∂2u∂t2,a=g2, где θ=l+l1−l1+x. \frac{\partial ^{2} u}{\partial \theta ^{2}} = \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}}, \quad a = \sqrt{\frac{g}{2}}, \ \text{где} \ \theta = \sqrt{l+l_{1}}-\sqrt{l_{1}+x}.
?
Задача 5803

Тяжелая однородная нить длиной ll, закрепленная верхним концом (x=0x = 0) на вертикальной оси, вращается вокруг этой оси с постоянной угловой скоростью ω\omega (рис. 15.5).

Доказать, что уравнение малых колебаний нити около своего вертикального положения равновесия имеет вид

∂2u∂t2=a2∂∂x(x∂u∂x)+ω2u, \frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}} = a^{2} \frac{\partial }{\partial x} \left(x \frac{\partial u}{\partial x}\right) + \omega ^{2} u,

где a=ga = \sqrt{g}.

Рис. 15.5Рис. 15.5

?
Задача 5804

Абсолютно гибкая однородная нить закреплена в одном из концов и в положении равновесия располагается по оси xx. Выведенная из положения равновесия, она вращается с постоянной угловой скоростью ω\omega вокруг оси uu (рис. 15.6).

Доказать, что уравнение малых колебаний нити около своего относительного положения равновесия имеет вид

∂∂x((l2−x2)∂u∂x)=1a2⋅∂2u∂t2,a=ω2, \frac{\partial }{\partial x} \left((l^{2}-x^{2}) \frac{\partial u}{\partial x}\right) = \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}}, \quad a = \frac{\omega }{\sqrt{2}},

где через ll обозначена длина нити.

Рис. 15.6Рис. 15.6

?
Задача 5805

Неоднородная нить, плотность которой изменяется по закону

ρ=ab2−x2;b>l, \rho = \frac{a}{\sqrt{b^{2}-x^{2}}}; \quad b > l,

прикреплена концом x=0x = 0 к неподвижной оси, а на другом конце x=lx = l прикреплен шарик, масса которого выражается равенством

M=alb2−l2. M = \frac{a}{l}\sqrt{b^{2}-l^{2}}.

Доказать, что при вращении нити с постоянной угловой скоростью ω\omega вокруг указанной оси уравнение малых колебаний будет иметь вид

∂2u∂t2=ω2∂2u∂y2, \frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}} = \omega ^{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}},

где

y=arcsin⁡xb. y = \arcsin \frac{x}{b}.
?
Задача 5806

Вывести уравнение поперечных колебаний нити, закрепленной на концах, взяв за исходную точку минимальный принцип Гамильтона.

?
Примечание.
?

Указание. При малых колебаниях нити величины потенциальной и кинетической энергий выражаются формулами:

U=T02∫0l(∂u∂x)2dx,T=ρ2∫0l(∂u∂t)2dx, U = \frac{T_{0}}{2} \int _{0}^{l} \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2} dx, \quad T = \frac{\rho }{2} \int _{0}^{l} \left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^{2} dx,

где T0T_{0} есть величина начального натяжения, а ll --- длина нити. Согласно принципу Гамильтона при любых моментах времени t1t_{1} и t2t_{2} имеет место равенство

δ∫t1t2(U−T) dt=0. \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}} (U-T) \, dt = 0.
Задача 5807

Исходя из принципа Гамильтона, решить задачи 5801 и 5804 (задача 5801: абсолютно гибкая однородная нить закреплена в одном из концов и под действием своего веса находится в вертикальном положении равновесия, требуется вывести уравнение малых колебаний нити около этого положения; задача 5804: абсолютно гибкая однородная нить закреплена в одном из концов и в положении равновесия располагается по оси xx, а будучи выведена из положения равновесия, вращается с постоянной угловой скоростью ω\omega вокруг оси uu, требуется вывести уравнение малых колебаний нити около своего относительного положения равновесия).

?
Задача 5808

Гибкая однородная нить натянута на абсолютно гладкой сфере радиуса RR и в положении равновесия направлена по экватору. Доказать, что уравнение малых колебаний нити имеет вид

∂2θ∂φ2+θ=1a2⋅∂2θ∂t2,a=1RT0ρ, \frac{\partial ^{2} \theta }{\partial \varphi ^{2}}+\theta = \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{\partial ^{2} \theta }{\partial t^{2}}, \quad a = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{T_{0}}{\rho }},

где θ\theta и φ\varphi обозначают географические координаты точки MM, T0T_{0} есть начальное натяжение, а ρ\rho --- линейная плотность нити (рис. 15.7).

Рис. 15.7Рис. 15.7

?
Примечание.
?

Указание. Можно воспользоваться принципом Гамильтона, приняв во внимание следующие выражения для потенциальной и кинетической энергий:

U=RT02∫0a((∂θ∂φ)2−θ2)dφ,T=R3ρ2∫0a(∂θ∂t)2dφ, U = \frac{RT_{0}}{2} \int _{0}^{a} \left(\left(\frac{\partial \theta }{\partial \varphi }\right)^{2}-\theta ^{2}\right) d\varphi , \quad T = \frac{R^{3}\rho }{2} \int _{0}^{a} \left(\frac{\partial \theta }{\partial t}\right)^{2} d\varphi ,

где aR=laR = l и через ll обозначена длина нити.

Задача 5809

Гибкая однородная нить длиной ll закреплена одним из концов в полюсе абсолютно гладкой сферы и под действием своего веса располагается по дуге большого круга. Доказать, что уравнение малых колебаний нити имеет вид

∂∂φ((cos⁡φ−cos⁡a)∂θ∂ψ)+(cos⁡φ−cos⁡a)θ=1a2∂2θ∂t2,a=gR, \frac{\partial }{\partial \varphi } \left((\cos \varphi - \cos a) \frac{\partial \theta }{\partial \psi }\right)+(\cos \varphi - \cos a)\theta = \frac{1}{a^{2}} \frac{\partial ^{2} \theta }{\partial t^{2}}, \quad a = \sqrt{\frac{g}{R}},

где через gg обозначено ускорение силы тяжести, а через RR --- радиус сферы (рис. 15.8).

Рис. 15.8Рис. 15.8

?
Примечание.
?

Указание. Выражения потенциальной и кинетической энергий имеют следующий вид:

U=gρR22∫0a(cos⁡φ−cos⁡a)((∂θ∂φ)2−θ2)dφ, U = \frac{g\rho R^{2}}{2} \int _{0}^{a} (\cos \varphi - \cos a) \left(\left(\frac{\partial \theta }{\partial \varphi }\right)^{2}-\theta ^{2}\right) d\varphi , T=ρR32∫0a(∂θ∂t)2dφ. T = \frac{\rho R^{3}}{2} \int _{0}^{a} \left(\frac{\partial \theta }{\partial t}\right)^{2} d\varphi .
Задача 5810

Доказать, что при непрерывно распределенных вдоль провода омическом сопротивлении RR, емкости CC, индуктивности LL и утечки изоляции GG дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют напряжение pp и сила тока ii, имеют вид

∂p∂x+L∂i∂t+Ri=0,∂i∂x+C∂p∂t+Gp=0. \frac{\partial p}{\partial x}+L\frac{\partial i}{\partial t}+Ri = 0, \quad \frac{\partial i}{\partial x}+C\frac{\partial p}{\partial t}+Gp = 0.
?
Примечание.
?

Указание. Первое уравнение выводится из закона индукции, примененного к весьма малому участку провода. Второе уравнение получается из условия непрерывности тока в проводе.

Задача 5811

Абсолютно гибкая однородная пленка (мембрана) натянута на каркасе CC. Это положение мембраны принимается за плоскость координат XOYXOY. Доказать, что уравнение малых поперечных колебаний мембраны имеет вид

∂2u∂x2+∂2u∂y2=1a2⋅∂2u∂t2,a=T0σ, \frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}} = \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}}, \quad a = \sqrt{\frac{T_{0}}{\sigma }},

где T0T_{0} есть сила начального натяжения, рассчитанная на единицу контура CC, а σ\sigma обозначает поверхностную плотность мембраны (рис. 15.9).

Рис. 15.9Рис. 15.9

?
Задача 5812

Тонкий однородный стержень изолирован от внешнего пространства и имеет в точке M(x)M(x) температуру u(x,t)u(x,t), изменяющуюся с течением времени. Доказать, что эта температура удовлетворяет уравнению

∂2u∂x2=1a2⋅∂u∂t,a=kcρ, \frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{\partial u}{\partial t}, \quad a = \sqrt{\frac{k}{c\rho }},

где cc есть теплоемкость, kk --- коэффициент внутренней теплопроводности, а ρ\rho --- плотность вещества стержня.

?
Задача 5813

Доказать, что уравнение распространения тепла в тонкой изолированной пластинке имеет вид

∂2u∂x2+∂2u∂y2=1a2⋅∂u∂t, \frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}} = \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{\partial u}{\partial t},

где значение постоянной aa то же, что и в предыдущей задаче (задача 5812: a=k/(cρ)a = \sqrt{k/(c\rho )}, где cc есть теплоемкость, kk --- коэффициент внутренней теплопроводности, а ρ\rho --- плотность вещества).

?
Задача 5814

Дано однородное кольцо с очень малым поперечным сечением (рис. 15.10). Приняв во внимание потерю тепла в окружающую кольцо среду вследствие лучеиспускания через боковую поверхность, доказать, что уравнением распространения тепла в кольце служит уравнение

1R2∂2u∂θ2−bu=1a2∂u∂t,a=kcρ,b=hlσk, \frac{1}{R^{2}} \frac{\partial ^{2} u}{\partial \theta ^{2}}-bu = \frac{1}{a^{2}} \frac{\partial u}{\partial t}, \quad a = \sqrt{\frac{k}{c\rho }}, \quad b = \frac{hl}{\sigma k},

где через θ\theta обозначена длина дуги кольца, а входящие в уравнение постоянные имеют следующие значения: kk, hh --- коэффициенты внутренней и внешней теплопроводности, cc, ρ\rho --- теплоемкость и плотность вещества кольца, σ\sigma, ll --- площадь и периметр поперечного сечения.

Рис. 15.10Рис. 15.10

?
Задача 5815

Доказать, что температура однородного проводника, находящегося под действием постоянного тока, удовлетворяет дифференциальному уравнению

∂u∂t=kcρ∂2u∂x2−hpcρω(u−u0)+0,24i2rcρω2, \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{k}{c\rho } \frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}} - \frac{hp}{c\rho \omega }(u-u_{0}) + \frac{0{,}24 i^{2} r}{c\rho \omega ^{2}},

где через ii и rr обозначены сила тока и удельное сопротивление проводника, через pp и ω\omega --- периметр и площадь его поперечного сечения, а через u0u_{0} --- температура окружающей среды; значения букв kk, hh, cc, ρ\rho те же, что в задаче 5813 (задача 5813: kk --- коэффициент внутренней теплопроводности, cc --- теплоемкость, ρ\rho --- плотность вещества).

?
Задача 5816

Доказать, что уравнение радиального распространения тепла в однородной изолированной сфере имеет вид

∂2v∂r2=1a2∂v∂t,v(r,t)=ru(r,t),a=kcρ, \frac{\partial ^{2} v}{\partial r^{2}} = \frac{1}{a^{2}} \frac{\partial v}{\partial t}, \quad v(r,t) = ru(r,t), \quad a = \sqrt{\frac{k}{c\rho }},

где uu есть температура сферы в точке, отстоящей на расстояние rr от ее центра; значения букв те же, что в задаче 5814 (задача 5814: kk, hh --- коэффициенты внутренней и внешней теплопроводности, cc, ρ\rho --- теплоемкость и плотность вещества, σ\sigma, ll --- площадь и периметр поперечного сечения).

?