Мартингалы

Пусть $(Y, \mathscr {F})$ — мартингал, и покажите, что $\mathbb {E}\left[Y_{n+m} \mid \mathcal{F}_{n}\right] = Y_{n}$ для всех $n, m \geq 0$.

Пусть $Z_{n}$ — размер $n$-го поколения процесса ветвления с $Z_{0} = 1$, имеющего средний размер семьи $\mu$ и вероятность вырождения $\eta$. Покажите, что $Z_{n} \mu^{-n}$ и $\eta^{Z_{n}}$ задают мартингалы.

Пусть $\left\{ S_{n}: n \geq 0\right\}$ — простое симметричное случайное блуждание по целым числам с $S_{0} = k$. Покажите, что $S_{n}$ и $S_{n}^{2}-n$ — мартингалы. Сделав предположения, аналогичные предположениям де Муавра (см. пример (12.1.4)), найдите вероятность разорения и ожидаемую продолжительность игры для задачи о разорении игрока.

Пусть $(Y, \mathscr {F})$ — мартингал со свойством, что $\mathbb {E}\left[Y_{n}^{2}\right] < \infty$ для всех $n$. Покажите, что при $i \leq j \leq k$, $\mathbb {E}\left[\left(Y_{k}-Y_{j}\right) Y_{i}\right] = 0$, и $\mathbb {E}\left[\left(Y_{k}-Y_{j}\right)^{2} \mid \mathcal{F}_{i}\right] = \mathbb {E}\left[Y_{k}^{2} \mid \mathcal{F}_{i}\right]-\mathbb {E}\left[Y_{j}^{2} \mid \mathcal{F}_{i}\right]$. Предположим, что существует $K$ такое, что $\mathbb {E}\left[Y_{n}^{2}\right] \leq K$ для всех $n$. Покажите, что последовательность $\left\{ Y_{n}\right\}$ сходится в среднем квадратичном при $n \rightarrow \infty$.

Пусть $Y$ — мартингал, и пусть $u$ — выпуклая функция, отображающая $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$. Покажите, что $\left\{ u\left(Y_{n}\right): n \geq 0\right\}$ — субмартингал при условии, что $\mathbb {E}\left[u\left(Y_{n}\right)^{+}\right] < \infty$ для всех $n$.

Покажите, что $\left|Y_{n}\right|, Y_{n}^{2}$ и $Y_{n}^{+}$образуют субмартингалы всякий раз, когда выполнены соответствующие условия на моменты.

Пусть $Y$ — субмартингал, и пусть $u$ — выпуклая неубывающая функция, отображающая $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$. Покажите, что $\left\{ u\left(Y_{n}\right): n \geq 0\right\}$ — субмартингал при условии, что $\mathbb {E}\left[u\left(Y_{n}\right)^{+}\right] < \infty$ для всех $n$.

Покажите, что (при условии на моменты) $Y_{n}^{+}$образует субмартингал, но что $\left|Y_{n}\right|$ и $Y_{n}^{2}$ не обязательно образуют субмартингалы.

Пусть $X$ — марковская цепь с дискретным временем, счётным пространством состояний $S$ и матрицей переходов $\mathbf{P}$. Предположим, что $\psi : S \rightarrow \mathbb {R}$ ограничена и удовлетворяет $\sum_{j \in S} p_{i j} \psi (j) \leq \lambda \psi (i)$ для некоторого $\lambda > 0$ и всех $i \in S$. Покажите, что $\lambda^{-n} \psi \left(X_{n}\right)$ образует супермартингал.

Пусть $G_{n}(s)$ — производящая функция вероятностей размера $Z_{n}$ $n$-го поколения процесса ветвления, где $Z_{0} = 1$ и $\operatorname {Var}\left[Z_{1}\right] > 0$. Пусть $H_{n}$ — обратная функция к функции $G_{n}$, рассматриваемой как функция на интервале $[0,1]$, и покажите, что $M_{n} = \left\{ H_{n}(s)\right\}^{Z_{n}}$ определяет мартингал относительно последовательности $Z$.

Требуется упаковать рюкзак с максимальной выгодой. Предположим, у вас есть $n$ предметов, причём $i$-й предмет имеет объём $V_{i}$ и ценность $W_{i}$, где $V_{1}, V_{2}, \ldots , V_{n}, W_{1}, W_{2}, \ldots , W_{n}$ — независимые неотрицательные случайные величины с конечными средними, и $W_{i} \leq M$ для всех $i$ и некоторого фиксированного $M$. Ваш рюкзак имеет объём $c$, и вы хотите максимизировать суммарную ценность предметов, упакованных в него. То есть вы хотите найти вектор $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ из 0 и 1 такой, что $\sum_{1}^{n} z_{i} V_{i} \leq c$, максимизирующий $\sum_{1}^{n} z_{i} W_{i}$. Пусть $Z$ — максимально возможная ценность содержимого рюкзака, и покажите, что $\mathbb {P}\left(|Z-\mathbb {E}\left[Z\right]| \geq x\right) \leq 2 \exp \left\{ -x^{2} /\left(2 n M^{2}\right)\right\}$ при $x > 0$.

Даны $n$ вершин $v_{1}, v_{2}, \ldots , v_{n}$; для каждого $1 \leq i < j \leq n$ мы проводим ребро между $v_{i}$ и $v_{j}$ с вероятностью $p$; различные пары соединяются независимо друг от друга. Мы называем $v_{i}$ и $v_{j}$ соседями, если они соединены ребром. Хроматическое число $\chi$ получившегося графа — это минимальное число карандашей различных цветов, необходимых для того, чтобы каждая вершина могла быть окрашена иначе, чем каждый из её соседей. Покажите, что $\mathbb {P}\left(|\chi -\mathbb {E}\left[\chi \right]| \geq x\right) \leq 2 \exp \left\{ -\frac{1}{2} x^{2} / n\right\}$ при $x > 0$.

Пусть $(M, \mathcal{F})$ — мартингал с $M_{0} = 0$, с разностями $D_{r} = M_{r}-M_{r-1}$. Процесс, задаваемый формулой $Q_{n} = \sum_{r = 1}^{n} D_{r}^{2}$, называется опциональной квадратической вариацией $M$, тогда как $V_{n} = \sum_{r = 1}^{n} \mathbb {E}\left[D_{r}^{2} \mid \mathcal{F}_{r-1}\right]$ называется предсказуемой квадратической вариацией $M$. Покажите, что $X_{n} = M_{n}^{2}-Q_{n}$ и $Y_{n} = M_{n}^{2}-V_{n}$ задают мартингалы относительно $\mathcal{F}$.

Дайте разумное определение нисходящего пересечения интервала $[a, b]$ случайной последовательностью $Y_{0}, Y_{1}, \ldots$.

Пусть $(Y, \mathscr {F})$ — супермартингал с конечными средними, и пусть $U_{n}(a, b ; Y)$ — число восходящих пересечений интервала $[a, b]$ до момента времени $n$. Покажите, что

Выведите, что $\mathbb {E}\left[U_{n}(a, b ; Y)\right] \leq a /(b-a)$, если $Y$ неотрицателен и $a \geq 0$.

Пусть $X$ — марковская цепь со счётным пространством состояний $S$ и матрицей переходов $P$. Предположим, что $X$ неприводима и возвратна, и что $\psi : S \rightarrow S$ — ограниченная функция, удовлетворяющая $\sum_{j \in S} p_{i j} \psi (j) \leq \psi (i)$ для $i \in S$. Покажите, что $\psi$ — постоянная функция.

Пусть $Z_{1}, Z_{2}, \ldots$ — независимые случайные величины такие, что:

где $a_{1} = 2$ и $a_{n} = 4 \sum_{j = 1}^{n-1} a_{j}$. Покажите, что $Y_{n} = \sum_{j = 1}^{n} Z_{j}$ задаёт мартингал. Покажите, что $Y = \lim Y_{n}$ существует почти наверное, но что не существует такого $M$, что $\mathbb {E}\left[\left|Y_{n}\right|\right] \leq M$ для всех $n$.

Пусть $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{r} \in \mathbb {R}$, и пусть последовательность $\left\{ X_{n}: n \geq 1\right\}$ случайных величин задана следующим образом. Положим

где $U(n)$ и $V(n)$ равномерно распределены на $\left\{ 1,2, \ldots , n-1\right\}$, а случайные величины $\left\{ U(n), V(n): n > r\right\}$ независимы.

Покажите, что

является мартингалом относительно последовательности $\left\{ X_{n}\right\}$. Энтузиастам, ищущим сложную задачу, предлагается показать, что $M$ сходится почти наверное и в среднем квадратичном к невырожденному пределу.

Пусть $R_{n}$ и $B_{n}$ — числа красных и синих шаров соответственно в урне на $n$-й стадии, и предположим $R_{0} = B_{0} = 1$. На каждой стадии шар вынимается и возвращается вместе с новым шаром другого цвета. Покажите, что $M_{n} = \left(B_{n}-R_{n}\right)\left(B_{n}+R_{n}-1\right)$ задаёт мартингал. Сходится ли он почти наверное?

Если $T_{1}$ и $T_{2}$ — моменты остановки относительно фильтрации $\mathcal{F}$, покажите, что $T_{1}+T_{2}, \max \left\{ T_{1}, T_{2}\right\}$ и $\min \left\{ T_{1}, T_{2}\right\}$ также являются моментами остановки.

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — последовательность неотрицательных независимых случайных величин, и пусть $N(t) = \max \left\{ n: X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n} \leq t\right\}$. Покажите, что $N(t)+1$ является моментом остановки относительно подходящей фильтрации, которую нужно указать.

Пусть $(Y, \mathcal{F})$ — субмартингал и $x > 0$. Покажите, что

Пусть $(Y, \mathscr {F})$ — неотрицательный супермартингал и $x > 0$. Покажите, что

Пусть $(Y, \mathscr {F})$ — субмартингал, и пусть $S$ и $T$ — моменты остановки, удовлетворяющие $0 \leq S \leq T \leq N$ для некоторого детерминированного $N$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[Y_{0}\right] \leq \mathbb {E}\left[Y_{S}\right] \leq \mathbb {E}\left[Y_{T}\right] \leq \mathbb {E}\left[Y_{N}\right]$.

Пусть $\left\{ S_{n}\right\}$ — простое случайное блуждание с $S_{0} = 0$, такое что $0 < p = \mathbb {P}\left(S_{1} = 1\right) < \frac{1}{2}$. Используя мартингал де Муавра, покажите, что $\mathbb {E}\left[\sup_{m} S_{m}\right] \leq p /(1-2 p)$. Покажите далее, что это неравенство можно заменить равенством.

Пусть $\mathcal{F}$ — фильтрация. Для любого момента остановки $T$ относительно $\mathcal{F}$ обозначим через $\mathcal{F}_{T}$ совокупность всех событий $A$ таких, что для всех $n, A \cap \left\{ T \leq n\right\} \in \mathcal{F}_{n}$. Пусть $S$ и $T$ — моменты остановки.

Пусть $(Y, \mathcal{F})$ — мартингал, и $T$ — момент остановки такой, что $\mathbb {P}\left(T < \infty \right) = 1$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[Y_{T}\right] = \mathbb {E}\left[Y_{0}\right]$, если выполняется любое из следующих условий:

(a) $\mathbb {E}\left[\sup_{n}\left|Y_{T \wedge n}\right|\right] < \infty$,

(b) $\mathbb {E}\left[\left|Y_{T \wedge n}\right|^{1+\delta }\right] \leq c$ для некоторых $c, \delta > 0$ и всех $n$.

Пусть $(Y, \mathscr {F})$ — мартингал. Покажите, что $\left(Y_{T \wedge n}, \mathcal{F}_{n}\right)$ — равномерно интегрируемый мартингал для любого конечного момента остановки $T$ такого, что либо:

Пусть $(Y, \mathcal{F})$ — равномерно интегрируемый мартингал, и пусть $S$ и $T$ — конечные моменты остановки, удовлетворяющие $S \leq T$. Пусть $Y_{\infty }$ — почти наверное предел при $n \rightarrow \infty$ величины $Y_{n}$. Докажите, что

Пусть $\left\{ S_{n}: n \geq 0\right\}$ — простое симметричное случайное блуждание с $0 < S_{0} < N$ и с поглощающими барьерами в 0 и $N$. Используя теорему об опциональной остановке, покажите, что среднее время до поглощения равно $\mathbb {E}\left[S_{0}\left(N-S_{0}\right)\right]$.

Пусть $\left\{ S_{n}: n \geq 0\right\}$ — простое симметричное случайное блуждание с $S_{0} = 0$. Покажите, что

образует мартингал, если $\cos \lambda \neq 0$.

Пусть $a$ и $b$ — положительные целые числа. Покажите, что время $T$ до поглощения на одном из двух поглощающих барьеров в $-a$ и $b$ удовлетворяет

Пусть $\left\{ S_{n}: n \geq 0\right\}$ — простое симметричное случайное блуждание по положительным и отрицательным целым числам, с $S_{0} = 0$. Для каждой из следующих случайных величин определите, является ли она моментом остановки, и найдите её среднее значение:

Пусть $S_{n} = a+\sum_{r = 1}^{n} X_{r}$ — простое симметричное случайное блуждание. Блуждание останавливается в самый ранний момент времени $T$, когда оно достигает одного из двух положений 0 или $K$, где $0 < a < K$. Покажите, что $M_{n} = \sum_{r = 0}^{n} S_{r}-\frac{1}{3} S_{n}^{3}$ — мартингал, и выведите, что $\mathbb {E}\left[\sum_{r = 0}^{T} S_{r}\right] = \frac{1}{3}\left(K^{2}-a^{2}\right) a+a$.

Пусть $X_{i}$ — независимые случайные величины, каждая из которых с равной вероятностью принимает значения $\pm 1$, и пусть $T = \min \left\{ n: S_{n} \in \left\{ -a, b\right\} \right\}$. Проверьте условия теоремы об опциональной остановке (12.5.1) для мартингала $S_{n}^{2}-n$ и момента остановки $T$.

11.30) ещё раз. Дети бывают женского или мужского пола. Их пол — независимые случайные величины, при этом ребёнок женского пола с вероятностью $q$ или мужского пола с вероятностью $p = 1-q$. Женщина прекращает деторождение на стадии $T$, и мы пишем $G_{n}$ и $B_{n}$ для числа девочек и мальчиков, рождённых у неё вплоть до стадии $n$ включительно. Предположим, что $T$ — конечный момент остановки для последовательности $\left\{ \left(G_{n}, B_{n}\right): n \geq 1\right\}$. Покажите, что, независимо от того, какое правило остановки даёт $T$, имеем $\mathbb {E}\left[G_{T}\right] / \mathbb {E}\left[B_{T}\right] = q / p$. Что можно сказать о $\mathbb {E}\left[G_{T} / B_{T}\right]$?

Пусть $X = \left\{ X_{n}: n \geq 0\right\}$ — марковская цепь с пространством состояний $\left\{ 0,1, \ldots , b\right\}$, такая что $i \rightarrow 0, b$ для $i \in \left\{ 1,2, \ldots , b-1\right\}$. Если $X$ также является мартингалом, покажите, что 0 и $b$ поглощающие, и что при заданном $X_{0}$ вероятность поглощения в $b$ равна $X_{0} / b$.

Законы больших чисел для мартингалов. Пусть $M_{n} = \sum_{r = 1}^{n} D_{r}$ — мартингал с нулевым средним, с последовательностью разностей $\left\{ D_{r}: r \geq 1\right\}$, такой что $\sigma_{r}^{2} = \operatorname {Var}\left[D_{r}\right] < \infty$. Покажите следующее.

Пусть $X$ — марковская цепь с непрерывным временем, конечным пространством состояний $S$ и генератором $\mathbf{G}$. Пусть $\mathbf{\eta } = \left\{ \eta (i): i \in S\right\}$ — корень уравнения $\mathbf{G} \mathbf{\eta }^{\prime } = \mathbf{0}$. Покажите, что $\eta (X(t))$ образует мартингал относительно $\mathcal{F}_{t} = \sigma (\left\{ X(u): u \leq t\right\} )$.

Пусть $N$ — пуассоновский процесс с интенсивностью $\lambda$ и $N(0) = 0$, и пусть $T_{a} = \min \left\{ t: N(t) = a\right\}$, где $a$ — положительное целое число. Предполагая, что $\mathbb {E}\left[\exp \left(\psi T_{a}\right)\right] < \infty$ для достаточно малых положительных $\psi$, используя теорему об опциональной остановке, покажите, что $\operatorname {Var}\left[T_{a}\right] = a \lambda^{-2}$. Покажите далее, что $T_{a}$ имеет характеристическую функцию $\phi_{a}(s) = [\lambda /(\lambda -i s)]^{a}$.

Пусть $S_{m} = \sum_{r = 1}^{m} X_{r}, m \leq n$, где $X_{r}$ независимы и одинаково распределены с конечным средним. Обозначим через $U_{1}, U_{2}, \ldots , U_{n}$ порядковые статистики $n$ независимых величин, равномерно распределённых на $(0, t)$, и положим $U_{n+1} = t$. Покажите, что $R_{m} = S_{m} / U_{m+1}, 0 \leq m \leq n$, является обратным мартингалом относительно подходящей последовательности $\sigma$-алгебр, и выведите, что

Пусть $X$ и $Y$ — независимые стандартные винеровские процессы. Покажите, что

задаёт мартингал относительно естественной фильтрации $\mathcal{F}_{t} = \sigma \left(\left\{ X_{v}, Y_{v}: v \leq t\right\} \right)$.

Броуновское движение в круге. Пусть $Z(t) = z+X(t)+i Y(t)$, где $X$ и $Y$ — независимые стандартные винеровские процессы и $\left|z\right| < 1$. Покажите, что момент первого достижения единичной окружности $T$ имеет математическое ожидание $\mathbb {E}\left[T\right] = \frac{1}{2}\left(1-|z|^{2}\right)$.

8.16) ещё раз. Пусть $X$ и $Y$ — независимые пуассоновские процессы с интенсивностью $\lambda$, и пусть $Q(t) = X(t)-Y(t)$. Для положительных целых $m, n$ найдите:

Пусть $N$ — пуассоновский процесс с интенсивностью $\lambda$. Покажите следующее.

Пусть $Z_{n}$ — размер $n$-го поколения процесса ветвления с иммиграцией, в котором средний размер семьи равен $\mu ( \neq 1)$, а среднее число иммигрантов на поколение равно $m$. Покажите, что

задаёт мартингал.

В возрастно-зависимом ветвящемся процессе каждая особь порождает случайное число потомков в случайные моменты времени. В момент $0$ имеется единственный родоначальник, у которого $N$ детей появляются в последующие моменты $B_{1} \leq B_{2} \leq \cdots \leq B_{N}$; его семью можно описать вектором $(N, B_{1}, B_{2}, \ldots , B_{N})$. Каждый последующий член популяции $x$ имеет семью, описываемую аналогично вектором $(N(x), B_{1}(x), \ldots , B_{N(x)}(x))$, имеющим то же распределение, что и $(N, B_{1}, \ldots , B_{N})$, и независимым от семей всех остальных особей. Число $N(x)$ — это число его потомков, а $B_{i}(x)$ — время между рождением родителя и $i$-го потомка. Пусть $\left\{ B_{n, r}: r \geq 1\right\}$ — моменты рождения особей в $n$-м поколении. Пусть $M_{n}(\theta ) = \sum_{r} e^{-\theta B_{n}, r}$, и покажите, что $Y_{n} = M_{n}(\theta ) / \mathbb {E}\left[M_{1}(\theta )\right]^{n}$ определяет мартингал относительно $\mathcal{F}_{n} = \sigma \left(\left\{ B_{m, r}: m \leq n, r \geq 1\right\} \right)$ при любом значении $\theta$, для которого $\mathbb {E}\left[M_{1}(\theta )\right] < \infty$.

Пусть $(Y, \mathscr {F})$ — мартингал, для которого $\mathbb {E}\left[Y_{n}\right] = 0$ и $\mathbb {E}\left[Y_{n}^{2}\right] < \infty$ при всех $n$. Покажите, что

Пусть $(Y, \mathscr {F})$ — неотрицательный субмартингал с $Y_{0} = 0$, и пусть $\left\{ c_{n}\right\}$ — невозрастающая последовательность положительных чисел.

Предположим, что последовательность $\left\{ X_{n}: n \geq 1\right\}$ случайных величин удовлетворяет $\mathbb {E}\left[X_{n} \mid X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n-1}\right] = 0$ при всех $n$, а также $\sum_{k = 1}^{\infty } \mathbb {E}\left[\left|X_{k}\right|^{r}\right] / k^{r} < \infty$ для некоторого $r \in [1,2]$. Пусть $S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} Z_{i}$, где $Z_{i} = X_{i} / i$, и покажите, что

Выведите, что $S_{n}$ сходится п.н. при $n \rightarrow \infty$, а следовательно, что $n^{-1} \sum_{1}^{n} X_{k} \xrightarrow {\text{ п.н. }} 0$. [Указание: В случае $1 < r \leq 2$ докажите и используйте тот факт, что $h(u) = |u|^{r}$ удовлетворяет $h(v)-h(u) \leq (v-u) h^{\prime }(u)+2 h((v-u) / 2)$. Для последней части полезна лемма Кронекера.]

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — независимые случайные величины с

Пусть $Y_{1} = X_{1}$, и при $n \geq 2$

Покажите, что $Y_{n}$ — мартингал относительно $\mathscr {F}_{n} = \sigma \left(Y_{1}, Y_{2}, \ldots , Y_{n}\right)$. Покажите, что $Y_{n}$ не сходится почти наверное. Сходится ли $Y_{n}$ каким-либо иным образом? Почему теорема о сходимости мартингалов здесь неприменима?

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — независимые одинаково распределённые случайные величины, и предположим, что $M(t) = \mathbb {E}\left[e^{t X_{1}}\right]$ удовлетворяет $M(t) = 1$ при некотором $t > 0$. Покажите, что $\mathbb {P}\left(S_{k} \geq x \text{ для некоторого } k\right) \leq e^{-t x}$ при $x > 0$ и таком значении $t$, где $S_{k} = X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{k}$.

Пусть $Z_{n}$ — размер $n$-го поколения ветвящегося процесса с производящей функцией вероятностей числа потомков $G(s)$, и предположим $Z_{0} = 1$. Пусть $\xi$ — наименьший положительный корень уравнения $G(s) = s$. Используя теорему о сходимости мартингалов, покажите, что если $0 < \xi < 1$, то $\mathbb {P}\left(Z_{n} \rightarrow 0\right) = \xi$ и $\mathbb {P}\left(Z_{n} \rightarrow \infty \right) = 1-\xi$.