Времена остановки

Если $T_{1}$ и $T_{2}$ — моменты остановки относительно фильтрации $\mathcal{F}$, покажите, что $T_{1}+T_{2}, \max \left\{ T_{1}, T_{2}\right\}$ и $\min \left\{ T_{1}, T_{2}\right\}$ также являются моментами остановки.

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — последовательность неотрицательных независимых случайных величин, и пусть $N(t) = \max \left\{ n: X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n} \leq t\right\}$. Покажите, что $N(t)+1$ является моментом остановки относительно подходящей фильтрации, которую нужно указать.

Пусть $(Y, \mathcal{F})$ — субмартингал и $x > 0$. Покажите, что

Пусть $(Y, \mathscr {F})$ — неотрицательный супермартингал и $x > 0$. Покажите, что

Пусть $(Y, \mathscr {F})$ — субмартингал, и пусть $S$ и $T$ — моменты остановки, удовлетворяющие $0 \leq S \leq T \leq N$ для некоторого детерминированного $N$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[Y_{0}\right] \leq \mathbb {E}\left[Y_{S}\right] \leq \mathbb {E}\left[Y_{T}\right] \leq \mathbb {E}\left[Y_{N}\right]$.

Пусть $\left\{ S_{n}\right\}$ — простое случайное блуждание с $S_{0} = 0$, такое что $0 < p = \mathbb {P}\left(S_{1} = 1\right) < \frac{1}{2}$. Используя мартингал де Муавра, покажите, что $\mathbb {E}\left[\sup_{m} S_{m}\right] \leq p /(1-2 p)$. Покажите далее, что это неравенство можно заменить равенством.

Пусть $\mathcal{F}$ — фильтрация. Для любого момента остановки $T$ относительно $\mathcal{F}$ обозначим через $\mathcal{F}_{T}$ совокупность всех событий $A$ таких, что для всех $n, A \cap \left\{ T \leq n\right\} \in \mathcal{F}_{n}$. Пусть $S$ и $T$ — моменты остановки.