Банк задач по математике

Задача 12.7.1

Пусть $X$ — марковская цепь с непрерывным временем, конечным пространством состояний $S$ и генератором $\mathbf{G}$ . Пусть $\mathbf{\eta } = \left\{ \eta (i): i \in S\right\}$ — корень уравнения $\mathbf{G} \mathbf{\eta }^{\prime } = \mathbf{0}$ . Покажите, что $\eta (X(t))$ образует мартингал относительно $\mathcal{F}_{t} = \sigma (\left\{ X(u): u \leq t\right\} )$ .

?

Задача 12.7.2

Пусть $N$ — пуассоновский процесс с интенсивностью $\lambda$ и $N(0) = 0$ , и пусть $T_{a} = \min \left\{ t: N(t) = a\right\}$ , где $a$ — положительное целое число. Предполагая, что $\mathbb {E}\left[\exp \left(\psi T_{a}\right)\right] < \infty$ для достаточно малых положительных $\psi$ , используя теорему об опциональной остановке, покажите, что $\operatorname {Var}\left[T_{a}\right] = a \lambda^{-2}$ . Покажите далее, что $T_{a}$ имеет характеристическую функцию $\phi_{a}(s) = [\lambda /(\lambda -i s)]^{a}$ .

?

Задача 12.7.3

Пусть $S_{m} = \sum_{r = 1}^{m} X_{r}, m \leq n$ , где $X_{r}$ независимы и одинаково распределены с конечным средним. Обозначим через $U_{1}, U_{2}, \ldots , U_{n}$ порядковые статистики $n$ независимых величин, равномерно распределённых на $(0, t)$ , и положим $U_{n+1} = t$ . Покажите, что $R_{m} = S_{m} / U_{m+1}, 0 \leq m \leq n$ , является обратным мартингалом относительно подходящей последовательности $\sigma$ -алгебр, и выведите, что

\mathbb {P}\left(R_{m} \geq 1 \text{ для некоторого } m \leq n \mid S_{n} = y\right) \leq \min \left\{ y / t, 1\right\}

?

Задача 12.7.4

(a)(b)

?

(a)

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс. Покажите, что следующие являются мартингалами:

(i) $W(t)$ ,

(ii) $W(t)^{2}-t$ ,

(iii) $W(t)^{3}-3 t W(t)$ ,

(iv) $W(t)^{4}-6 t W(t)^{2}+3 t^{2}$ .

(b)

Пусть $T$ — самый ранний момент времени, в который $W$ выходит из интервала $(-a, a)$ . Покажите, что $\mathbb {E}\left[T^{n}\right] < \infty$ при $n \geq 1$ . Используя приведённые выше мартингалы, покажите, что $\mathbb {E}\left[T^{2}\right] = \frac{5}{3} a^{4}$ . [Можете использовать подходящие теоремы об опциональной остановке и теорему о мажорируемой сходимости.]

Задача 12.7.5

Пусть $X$ и $Y$ — независимые стандартные винеровские процессы. Покажите, что

M(t) = Y(t) X(t)^{2}-\int _{0}^{t} Y(u) d u

задаёт мартингал относительно естественной фильтрации $\mathcal{F}_{t} = \sigma \left(\left\{ X_{v}, Y_{v}: v \leq t\right\} \right)$ .

?

Задача 12.7.6

Броуновское движение в круге. Пусть $Z(t) = z+X(t)+i Y(t)$ , где $X$ и $Y$ — независимые стандартные винеровские процессы и $\left|z\right| < 1$ . Покажите, что момент первого достижения единичной окружности $T$ имеет математическое ожидание $\mathbb {E}\left[T\right] = \frac{1}{2}\left(1-|z|^{2}\right)$ .

?

Задача 12.7.7

(a)(b)

8.16) ещё раз. Пусть $X$ и $Y$ — независимые пуассоновские процессы с интенсивностью $\lambda$ , и пусть $Q(t) = X(t)-Y(t)$ . Для положительных целых $m, n$ найдите:

?

(a)

вероятность того, что $Q$ достигнет $n$ раньше, чем $-m$ ,

(b)

ожидаемое время для $Q$ , чтобы достичь либо $-m$ , либо $n$ .

Задача 12.7.8

(a)(b)(c)

Пусть $N$ — пуассоновский процесс с интенсивностью $\lambda$ . Покажите следующее.

?

(a)

Предсказуемая квадратическая вариация $N$ на интервале $[0, t]$ равна $\lambda t$ , то есть

\sum _{r = 0}^{n-1} \mathbb {E}\left[[N((r+1) t / n)-N(r t / n)]^{2} \mid \mathcal{F}_{r t / n}\right] \rightarrow \lambda t \quad \text{ при } n \rightarrow \infty

где $\mathcal{F}_{u} = \sigma (\left\{ N(s): s \leq u\right\} )$ .

(b)

Опциональная квадратическая вариация $N(s)-\lambda s$ на [0,t] равна $N(t)$ . (См. упражнение (12.2.4).)

(c)

$M(t) = (N(t)-\lambda t)^{2}-N(t)$ задаёт мартингал.

Обратные мартингалы и мартингалы непрерывного времени