Опциональная остановка

Пусть $(Y, \mathcal{F})$ — мартингал, и $T$ — момент остановки такой, что $\mathbb {P}\left(T < \infty \right) = 1$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[Y_{T}\right] = \mathbb {E}\left[Y_{0}\right]$, если выполняется любое из следующих условий:

(a) $\mathbb {E}\left[\sup_{n}\left|Y_{T \wedge n}\right|\right] < \infty$,

(b) $\mathbb {E}\left[\left|Y_{T \wedge n}\right|^{1+\delta }\right] \leq c$ для некоторых $c, \delta > 0$ и всех $n$.

Пусть $(Y, \mathscr {F})$ — мартингал. Покажите, что $\left(Y_{T \wedge n}, \mathcal{F}_{n}\right)$ — равномерно интегрируемый мартингал для любого конечного момента остановки $T$ такого, что либо:

Пусть $(Y, \mathcal{F})$ — равномерно интегрируемый мартингал, и пусть $S$ и $T$ — конечные моменты остановки, удовлетворяющие $S \leq T$. Пусть $Y_{\infty }$ — почти наверное предел при $n \rightarrow \infty$ величины $Y_{n}$. Докажите, что

Пусть $\left\{ S_{n}: n \geq 0\right\}$ — простое симметричное случайное блуждание с $0 < S_{0} < N$ и с поглощающими барьерами в 0 и $N$. Используя теорему об опциональной остановке, покажите, что среднее время до поглощения равно $\mathbb {E}\left[S_{0}\left(N-S_{0}\right)\right]$.

Пусть $\left\{ S_{n}: n \geq 0\right\}$ — простое симметричное случайное блуждание с $S_{0} = 0$. Покажите, что

образует мартингал, если $\cos \lambda \neq 0$.

Пусть $a$ и $b$ — положительные целые числа. Покажите, что время $T$ до поглощения на одном из двух поглощающих барьеров в $-a$ и $b$ удовлетворяет

Пусть $\left\{ S_{n}: n \geq 0\right\}$ — простое симметричное случайное блуждание по положительным и отрицательным целым числам, с $S_{0} = 0$. Для каждой из следующих случайных величин определите, является ли она моментом остановки, и найдите её среднее значение:

Пусть $S_{n} = a+\sum_{r = 1}^{n} X_{r}$ — простое симметричное случайное блуждание. Блуждание останавливается в самый ранний момент времени $T$, когда оно достигает одного из двух положений 0 или $K$, где $0 < a < K$. Покажите, что $M_{n} = \sum_{r = 0}^{n} S_{r}-\frac{1}{3} S_{n}^{3}$ — мартингал, и выведите, что $\mathbb {E}\left[\sum_{r = 0}^{T} S_{r}\right] = \frac{1}{3}\left(K^{2}-a^{2}\right) a+a$.

Пусть $X_{i}$ — независимые случайные величины, каждая из которых с равной вероятностью принимает значения $\pm 1$, и пусть $T = \min \left\{ n: S_{n} \in \left\{ -a, b\right\} \right\}$. Проверьте условия теоремы об опциональной остановке (12.5.1) для мартингала $S_{n}^{2}-n$ и момента остановки $T$.

11.30) ещё раз. Дети бывают женского или мужского пола. Их пол — независимые случайные величины, при этом ребёнок женского пола с вероятностью $q$ или мужского пола с вероятностью $p = 1-q$. Женщина прекращает деторождение на стадии $T$, и мы пишем $G_{n}$ и $B_{n}$ для числа девочек и мальчиков, рождённых у неё вплоть до стадии $n$ включительно. Предположим, что $T$ — конечный момент остановки для последовательности $\left\{ \left(G_{n}, B_{n}\right): n \geq 1\right\}$. Покажите, что, независимо от того, какое правило остановки даёт $T$, имеем $\mathbb {E}\left[G_{T}\right] / \mathbb {E}\left[B_{T}\right] = q / p$. Что можно сказать о $\mathbb {E}\left[G_{T} / B_{T}\right]$?

Пусть $X = \left\{ X_{n}: n \geq 0\right\}$ — марковская цепь с пространством состояний $\left\{ 0,1, \ldots , b\right\}$, такая что $i \rightarrow 0, b$ для $i \in \left\{ 1,2, \ldots , b-1\right\}$. Если $X$ также является мартингалом, покажите, что 0 и $b$ поглощающие, и что при заданном $X_{0}$ вероятность поглощения в $b$ равна $X_{0} / b$.