Введение

Пусть $(Y, \mathscr {F})$ — мартингал, и покажите, что $\mathbb {E}\left[Y_{n+m} \mid \mathcal{F}_{n}\right] = Y_{n}$ для всех $n, m \geq 0$.

Пусть $Z_{n}$ — размер $n$-го поколения процесса ветвления с $Z_{0} = 1$, имеющего средний размер семьи $\mu$ и вероятность вырождения $\eta$. Покажите, что $Z_{n} \mu^{-n}$ и $\eta^{Z_{n}}$ задают мартингалы.

Пусть $\left\{ S_{n}: n \geq 0\right\}$ — простое симметричное случайное блуждание по целым числам с $S_{0} = k$. Покажите, что $S_{n}$ и $S_{n}^{2}-n$ — мартингалы. Сделав предположения, аналогичные предположениям де Муавра (см. пример (12.1.4)), найдите вероятность разорения и ожидаемую продолжительность игры для задачи о разорении игрока.

Пусть $(Y, \mathscr {F})$ — мартингал со свойством, что $\mathbb {E}\left[Y_{n}^{2}\right] < \infty$ для всех $n$. Покажите, что при $i \leq j \leq k$, $\mathbb {E}\left[\left(Y_{k}-Y_{j}\right) Y_{i}\right] = 0$, и $\mathbb {E}\left[\left(Y_{k}-Y_{j}\right)^{2} \mid \mathcal{F}_{i}\right] = \mathbb {E}\left[Y_{k}^{2} \mid \mathcal{F}_{i}\right]-\mathbb {E}\left[Y_{j}^{2} \mid \mathcal{F}_{i}\right]$. Предположим, что существует $K$ такое, что $\mathbb {E}\left[Y_{n}^{2}\right] \leq K$ для всех $n$. Покажите, что последовательность $\left\{ Y_{n}\right\}$ сходится в среднем квадратичном при $n \rightarrow \infty$.

Пусть $Y$ — мартингал, и пусть $u$ — выпуклая функция, отображающая $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$. Покажите, что $\left\{ u\left(Y_{n}\right): n \geq 0\right\}$ — субмартингал при условии, что $\mathbb {E}\left[u\left(Y_{n}\right)^{+}\right] < \infty$ для всех $n$.

Покажите, что $\left|Y_{n}\right|, Y_{n}^{2}$ и $Y_{n}^{+}$образуют субмартингалы всякий раз, когда выполнены соответствующие условия на моменты.

Пусть $Y$ — субмартингал, и пусть $u$ — выпуклая неубывающая функция, отображающая $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$. Покажите, что $\left\{ u\left(Y_{n}\right): n \geq 0\right\}$ — субмартингал при условии, что $\mathbb {E}\left[u\left(Y_{n}\right)^{+}\right] < \infty$ для всех $n$.

Покажите, что (при условии на моменты) $Y_{n}^{+}$образует субмартингал, но что $\left|Y_{n}\right|$ и $Y_{n}^{2}$ не обязательно образуют субмартингалы.

Пусть $X$ — марковская цепь с дискретным временем, счётным пространством состояний $S$ и матрицей переходов $\mathbf{P}$. Предположим, что $\psi : S \rightarrow \mathbb {R}$ ограничена и удовлетворяет $\sum_{j \in S} p_{i j} \psi (j) \leq \lambda \psi (i)$ для некоторого $\lambda > 0$ и всех $i \in S$. Покажите, что $\lambda^{-n} \psi \left(X_{n}\right)$ образует супермартингал.

Пусть $G_{n}(s)$ — производящая функция вероятностей размера $Z_{n}$ $n$-го поколения процесса ветвления, где $Z_{0} = 1$ и $\operatorname {Var}\left[Z_{1}\right] > 0$. Пусть $H_{n}$ — обратная функция к функции $G_{n}$, рассматриваемой как функция на интервале $[0,1]$, и покажите, что $M_{n} = \left\{ H_{n}(s)\right\}^{Z_{n}}$ определяет мартингал относительно последовательности $Z$.