Возобновления

Докажите, что $\mathbb {E}\left[e^{\theta N(t)}\right] < \infty$ для некоторого строго положительного $\theta$ всякий раз, когда $\mathbb {E}\left[X_{1}\right] > 0$. [Указание: рассмотрите процесс восстановления с временами между поступлениями $X_{k}^{\prime } = \epsilon I_{\left\{ X_{k} \geq \epsilon \right\} }$ для некоторого подходящего $\epsilon$.]

Пусть $N$ — процесс восстановления, и пусть $W$ — время ожидания до тех пор, пока длина какого-нибудь времени между поступлениями не превысит $s$. То есть $W = \inf \left\{ t: C(t) > s\right\}$, где $C(t)$ — время, прошедшее (к моменту $t$) с последнего поступления. Покажите, что

где $F$ — функция распределения времени между поступлениями. Если $N$ — пуассоновский процесс интенсивности $\lambda$, покажите, что

и $\mathbb {E}\left[W\right] = \left(e^{\lambda s}-1\right) / \lambda$. Возможно, будет полезно переписать приведённое выше интегральное уравнение в виде уравнения восстановления.

Найдите выражение для функции вероятностей $N(t)$ в процессе восстановления, времена между поступлениями которого:

Пусть времена между событиями процесса восстановления $N$ равномерно распределены на $(0,1)$. Найдите среднее и дисперсию $N(t)$ при $0 \leq t \leq 1$.

Пусть $N$ — процесс восстановления с временами между поступлениями $X_{1}, X_{2}, \ldots$ Покажите, что при $t > 0$ время между поступлениями $X_{N(t)+1}$ стохастически больше, чем $X_{1}$.

Предположим, что времена между поступлениями $X_{i}$ процесса восстановления имеют плотность $f$ с обычным преобразованием Лапласа $\widehat{f}(\theta ) = \int_{0}^{\infty } e^{-\theta x} f(x) d x$. Покажите, что функция восстановления $m$ имеет преобразование Лапласа

Пусть $r(y)$ — функция разорения из страховой задачи (8.10.7). В обозначениях этой задачи покажите, что преобразования Лапласа-Стилтьеса $r^{*}(\theta )$ и $F^{*}(\theta )$ связаны соотношением $\lambda F^{*} = r^{*}\left(\theta -\lambda +\lambda F^{*}\right)$.

Самолёты приземляются в аэропорту Хитроу в моменты процесса восстановления с функцией распределения времени между поступлениями $F$. Каждый самолёт содержит случайное число людей с заданным общим распределением и конечным средним. Предполагая обычную независимость, найдите выражение для интенсивности прибытия пассажиров за длительный период времени.

Пусть $Z_{1}, Z_{2}, \ldots$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с нулевым средним и конечной дисперсией $\sigma^{2}$, и пусть $T_{n} = \sum_{i = 1}^{n} Z_{i}$. Пусть $M$ — конечный момент остановки относительно $Z_{i}$, такой что $\mathbb {E}\left[M\right] < \infty$. Покажите, что $\operatorname {Var}\left[T_{M}\right] = \mathbb {E}\left[M\right] \sigma^{2}$.

Покажите, что $\mathbb {E}\left[T_{N(t)+k}\right] = \mu (m(t)+k)$ для всех $k \geq 1$, но что равенство $\mathbb {E}\left[T_{N(t)}\right] = \mu m(t)$ в общем случае неверно.

Покажите, используя обычные обозначения, что семейство $\left\{ N(t) / t: 0 \leq t < \infty \right\}$ равномерно интегрируемо. Как можно использовать это наблюдение?

Рассмотрим процесс восстановления $N$ с временами между поступлениями, имеющими производящую функцию моментов $M$, и пусть $T$ — положительная случайная величина, независимая от $N$. Найдите $\mathbb {E}\left[s^{N(T)}\right]$, когда:

Предположим, что распределение остаточного времени жизни $E(t)$ не зависит от $t$. Покажите, что процесс восстановления является пуассоновским процессом.

Покажите, что следующие процессы являются марковскими:

Предположим, что $X_{1}$ нерешётчата и имеет конечное среднее $\mu$.

Найдите выражение для среднего значения остаточного времени жизни $E(t)$ при условии, что текущее время жизни $C(t)$ равно $x$.

Пусть $M(t) = N(t)+1$, и предположим, что $X_{1}$ имеет конечную ненулевую дисперсию $\sigma^{2}$.

Найдите распределение остаточного времени жизни для процесса восстановления, каждое время между поступлениями которого является суммой двух независимых экспоненциально распределённых случайных величин с параметрами $\lambda$ и $\mu$ соответственно. Покажите, что остаточное время жизни имеет среднее

Пусть $f$ — плотность, а $F$ — функция распределения времён между поступлениями $\left\{ X_{i}: i \geq 2\right\}$ стационарного процесса восстановления, и пусть $\mu$ — их общее среднее. Пусть $C, D, E$ — текущий, полный и остаточный сроки жизни в состоянии равновесия.

Пусть $m$ — функция восстановления обычного процесса восстановления $N$, времена между поступлениями которого имеют конечное среднее.

Если $X(t)$ — неприводимая положительно возвратная марковская цепь, а $u(\cdot )$ — ограниченная функция на целых числах, покажите, что

где $\mathbf{\pi }$ — стационарное распределение $X(t)$.

Пусть $M(t)$ — чередующийся процесс восстановления с парами времён между поступлениями $\left\{ X_{r}, Y_{r}: r \geq 1\right\}$. Покажите, что

Верен ли этот предел для произвольного совместного распределения независимых пар $\left(X_{i}, Y_{i}\right)$?

Пусть $C(s)$ — текущий срок жизни (или возраст) процесса восстановления $N(t)$ с типичным временем между поступлениями $X$. Покажите, что

Найдите соответствующий предел для остаточного срока жизни.

Пусть $j$ и $k$ — различные состояния неприводимой марковской цепи $X$ с дискретным временем и стационарным распределением $\pi$. Покажите, что

где $T_{i} = \min \left\{ n \geq 1: X_{n} = i\right\}$ — момент первого достижения состояния $i$. [Указание: рассмотрите моменты возвращения в $j$ с промежуточным посещением $k$.]

Используя результат упражнения (10.5.2), покажите, что предельная функция распределения при $t \rightarrow \infty$ полного срока жизни $D(t)$ процесса восстановления имеет вид

где $f$ — плотность типичного времени между поступлениями $X$, а $\mu = \mathbb {E}\left[X\right]$. Подынтегральное выражение называется смещённой по размеру (или по длине) плотностью для $X$.

Станок $M$ ремонтируется в момент времени $t = 0$, и время его работы после любого ремонта распределено экспоненциально с параметром $\lambda$, после чего он выходит из строя (предполагается обычная независимость). После каждого ремонта в момент времени $T$ станок проверяется в моменты $T, T+m, T+2 m, \ldots$, и немедленно ремонтируется, если обнаружена неисправность (после чего расписание проверок начинается заново). Покажите, что доля времени в долгосрочной перспективе, в течение которой $M$ работает («коэффициент времени работы»), равна $m^{-1} \int_{0}^{m} e^{-\lambda x} d x$.

Покажите, что

Найдите $v(t)$, когда $N$ — пуассоновский процесс.

Предположим, что $\sigma^{2} = \operatorname {Var}\left[X_{1}\right] > 0$. Покажите, что процесс восстановления $N$ удовлетворяет

Найдите асимптотическое распределение текущего срока жизни $C(t)$ процесса $N$ при $t \rightarrow \infty$, когда $X_{1}$ не арифметическая.

Пусть $N$ — пуассоновский процесс с интенсивностью $\lambda$. Покажите, что полный срок жизни $D(t)$ в момент $t$ имеет функцию распределения $\mathbb {P}\left(D(t) \leq x\right) = 1-(1+\lambda \min \left\{ t, x\right\} ) e^{-\lambda x}$ при $x \geq 0$. Выведите отсюда, что $\mathbb {E}\left[D(t)\right] = \left(2-e^{-\lambda t}\right) / \lambda$.

Счётчик типа 1 регистрирует поступления радиоактивных частиц. Предположим, что процесс поступлений пуассоновский с интенсивностью $\lambda$, и что счётчик блокируется на мёртвый период фиксированной длины $T$ после каждого зарегистрированного поступления. Покажите, что процесс регистрации $\widetilde{N}$ является процессом восстановления с распределением времени между поступлениями $\widetilde{F}(x) = 1-e^{-\lambda (x-T)}$, если $x \geq T$. Найдите выражение для $\mathbb {P}\left(\widetilde{N}(t\right) \geq k)$.

Частицы поступают на счётчик типа 1 по закону процесса восстановления $N$; каждое зарегистрированное поступление блокирует счётчик на мёртвый период случайной положительной длины. Покажите, что

где $F_{L}$ — функция распределения типичного мёртвого периода.

Покажите, что пуассоновские процессы являются единственными процессами восстановления с неарифметическими временами между поступлениями, обладающими тем свойством, что остаточный срок жизни $E(t)$ и текущий срок жизни $C(t)$ независимы при каждом выборе $t$.

Пусть $N_{1}$ — пуассоновский процесс, а $N_{2}$ — процесс восстановления, независимый от $N_{1}$, с неарифметическими временами между поступлениями, имеющими конечное среднее. Покажите, что $N(t) = N_{1}(t)+N_{2}(t)$ является процессом восстановления тогда и только тогда, когда $N_{2}$ — пуассоновский процесс.

Пусть $N$ — процесс восстановления, и предположим, что $F$ неарифметическая и что $\sigma^{2} = \operatorname {Var}\left[X_{1}\right] < \infty$. Используя свойства производящей функции моментов $F^{*}(-\theta )$ величины $X_{1}$, выведите формальное разложение

Обратите это преобразование Лапласа–Стилтьеса формально, чтобы получить

Докажите это строго, показав, что

где $F_{E}$ — асимптотическая функция распределения остаточного срока жизни (см. упражнение (10.3.3)), и применив ключевую теорему восстановления. Сравните результат с теоремами восстановления.

Покажите, что функция восстановления $m^{d}$ запаздывающего процесса восстановления удовлетворяет

Покажите, что $v^{\mathrm{d}}(t) = \mathbb {E}\left[N^{\mathrm{d}}(t)^{2}\right]$ удовлетворяет

где $m$ — функция восстановления процесса восстановления с временами между поступлениями $X_{2}, X_{3}, \ldots$

Пусть $m(t)$ — среднее число живых особей в момент времени $t$ в возрастно-зависимом процессе ветвления с экспоненциальными временами жизни, параметром $\lambda$ и средним размером семьи $v( > 1)$. Докажите, что $m(t) = I e^{(\nu -1) \lambda t}$, где $I$ — число начальных особей.

Времена между поступлениями этого процесса суть $Z_{0}, Y_{1}, Z_{1}, Y_{2}, \ldots$, где $Y_{i}$ и $Z_{j}$ независимы, с соответствующими общими производящими функциями моментов $M_{Y}$ и $M_{Z}$. Пусть $p(t)$ — вероятность того, что момент времени $t$ лежит в интервале типа $Z$. Покажите, что преобразование Лапласа–Стилтьеса $p^{*}$ функции $p$ удовлетворяет

Частицы регистрируются счётчиком типа 2 следующего рода. Поступающие частицы образуют пуассоновский процесс с интенсивностью $\lambda$. $j$-я частица блокирует счётчик на время $Y_{j}$ и аннулирует любое последействие своих предшественников. Предположим, что $Y_{1}, Y_{2}, \ldots$ независимы друг от друга и от пуассоновского процесса, каждая с функцией распределения $G$. Счётчик разблокирован в момент времени 0.

Пусть $L$ — (максимальная) длина первого интервала времени, в течение которого счётчик заблокирован. Покажите, что $H(t) = \mathbb {P}\left(L > t\right)$ удовлетворяет

Решите уравнение относительно $H$ через $G$, и вычислите получившееся выражение в случае $G(x) = 1-e^{-\mu x}$, где $\mu > 0$.

Рассмотрим процесс восстановления $N$ и предположим, что каждое поступление «пропускается» с вероятностью $q$, независимо от всех остальных поступлений. Пусть $M(t)$ — число поступлений, зарегистрированных до момента времени $t / p$, где $p = 1-q$.

Пусть $N$ — стационарный процесс восстановления. Пусть $s$ — фиксированное положительное вещественное число, и определим $X(t) = N(s+t)-N(t)$ при $t \geq 0$. Покажите, что $X$ — строго стационарный процесс.

Медведи прибывают в деревню в моменты процесса восстановления; их отлавливают и содержат в неволе по цене $\$ c$ за единицу времени за медведя. Когда захвачено заданное число $B$ медведей, организуется экспедиция (стоимостью $\$ d$), чтобы вывезти и выпустить их далеко отсюда. Какова средняя стоимость этой политики в долгосрочной перспективе?

Пусть $X = \left\{ X_{n}: n \geq 0\right\}$ — эргодическая марковская цепь на конечном пространстве состояний $S$ со стационарным распределением $\pi$. Пусть $k \in S$, и пусть $T$ — строго положительный момент остановки с конечным средним, такой что $X_{T} = k$. Для $j \in S$ пусть $V_{j}(k)$ — число посещений $j$ цепью, начатой в $k$ и остановленной в момент $T$ (положим $V_{k}(k) = 1$). Используя теорему о вознаграждении при восстановлении, покажите, что $\mathbb {E}\left[V_{j}(k)\right] = \pi_{j} \mathbb {E}_{k}\left[T\right]$.

Для данного типа автомобиля, стоящего $c$ новым, число лет между его изготовлением и разборкой на металлолом равно $X( \geq 1)$, где $X$ — случайная величина с функцией распределения $F$. На $k$-м году после изготовления (при $k \geq 1$) амортизация снизила его продажную стоимость до $c \lambda^{k}$, и в этом году он обходится в $r \mu^{k-1}$ на ремонт и обслуживание, где $\mu \neq 1$. (Обычно $\lambda < 1$ и $\mu > 1$.)

Вы покупаете новый автомобиль сразу, как только старый автомобиль либо списывается, либо достигает возраста $m$ лет, в зависимости от того, что наступит раньше. Покажите, что, продолжая эту политику бесконечно, в долгосрочной перспективе вы минимизируете ожидаемую среднюю стоимость, выбирая $m$ так, чтобы

было как можно меньше, где $G(s) = \mathbb {E}\left[s^{Y}\right]$ и $Y = \min \left\{ m, X\right\}$.