Уравнение возобновления

Докажите, что $\mathbb {E}\left[e^{\theta N(t)}\right] < \infty$ для некоторого строго положительного $\theta$ всякий раз, когда $\mathbb {E}\left[X_{1}\right] > 0$. [Указание: рассмотрите процесс восстановления с временами между поступлениями $X_{k}^{\prime } = \epsilon I_{\left\{ X_{k} \geq \epsilon \right\} }$ для некоторого подходящего $\epsilon$.]

Пусть $N$ — процесс восстановления, и пусть $W$ — время ожидания до тех пор, пока длина какого-нибудь времени между поступлениями не превысит $s$. То есть $W = \inf \left\{ t: C(t) > s\right\}$, где $C(t)$ — время, прошедшее (к моменту $t$) с последнего поступления. Покажите, что

где $F$ — функция распределения времени между поступлениями. Если $N$ — пуассоновский процесс интенсивности $\lambda$, покажите, что

и $\mathbb {E}\left[W\right] = \left(e^{\lambda s}-1\right) / \lambda$. Возможно, будет полезно переписать приведённое выше интегральное уравнение в виде уравнения восстановления.

Найдите выражение для функции вероятностей $N(t)$ в процессе восстановления, времена между поступлениями которого:

Пусть времена между событиями процесса восстановления $N$ равномерно распределены на $(0,1)$. Найдите среднее и дисперсию $N(t)$ при $0 \leq t \leq 1$.

Пусть $N$ — процесс восстановления с временами между поступлениями $X_{1}, X_{2}, \ldots$ Покажите, что при $t > 0$ время между поступлениями $X_{N(t)+1}$ стохастически больше, чем $X_{1}$.

Предположим, что времена между поступлениями $X_{i}$ процесса восстановления имеют плотность $f$ с обычным преобразованием Лапласа $\widehat{f}(\theta ) = \int_{0}^{\infty } e^{-\theta x} f(x) d x$. Покажите, что функция восстановления $m$ имеет преобразование Лапласа

Пусть $r(y)$ — функция разорения из страховой задачи (8.10.7). В обозначениях этой задачи покажите, что преобразования Лапласа-Стилтьеса $r^{*}(\theta )$ и $F^{*}(\theta )$ связаны соотношением $\lambda F^{*} = r^{*}\left(\theta -\lambda +\lambda F^{*}\right)$.