10.5

Процессы обновления-вознаграждения

[7/100%]
Показать
LaTeX
Задача 10.5.1

Если X(t)X(t) — неприводимая положительно возвратная марковская цепь, а u(⋅)u(\cdot ) — ограниченная функция на целых числах, покажите, что

1t∫0tu(X(s))ds→ п.н. ∑i∈Sπiu(i) \frac{1}{t} \int _{0}^{t} u(X(s)) d s \xrightarrow {\text{ п.н. }} \sum _{i \in S} \pi _{i} u(i)

где π\mathbf{\pi } — стационарное распределение X(t)X(t).

?
Задача 10.5.2

Пусть M(t)M(t) — чередующийся процесс восстановления с парами времён между поступлениями {Xr,Yr:r≥1}\left\{ X_{r}, Y_{r}: r \geq 1\right\}. Покажите, что

1t∫0tI{M(s) чётно }ds→ п.н. E[X1]E[X1]+E[Y1] при t→∞ \frac{1}{t} \int _{0}^{t} I_{\left\{ M(s) \text{ чётно }\right\} } d s \xrightarrow {\text{ п.н. }} \frac{\mathbb {E}\left[X_{1}\right]}{\mathbb {E}\left[X_{1}\right]+\mathbb {E}\left[Y_{1}\right]} \quad \text{ при } t \rightarrow \infty

Верен ли этот предел для произвольного совместного распределения независимых пар (Xi,Yi)\left(X_{i}, Y_{i}\right)?

?
Задача 10.5.3

Пусть C(s)C(s) — текущий срок жизни (или возраст) процесса восстановления N(t)N(t) с типичным временем между поступлениями XX. Покажите, что

1t∫0tC(s)ds→ п.н. E[X2]2E[X] при t→∞ \frac{1}{t} \int _{0}^{t} C(s) d s \xrightarrow {\text{ п.н. }} \frac{\mathbb {E}\left[X^{2}\right]}{2 \mathbb {E}\left[X\right]} \quad \text{ при } t \rightarrow \infty

Найдите соответствующий предел для остаточного срока жизни.

?
Задача 10.5.4

Пусть jj и kk — различные состояния неприводимой марковской цепи XX с дискретным временем и стационарным распределением π\pi. Покажите, что

P(Tj<Tk∣X0=k)=1/πkE[Tj∣X0=k]+E[Tk∣X0=j] \mathbb {P}\left(T_{j} < T_{k} \mid X_{0} = k\right) = \frac{1 / \pi _{k}}{\mathbb {E}\left[T_{j} \mid X_{0} = k\right]+\mathbb {E}\left[T_{k} \mid X_{0} = j\right]}

где Ti=min⁡{n≥1:Xn=i}T_{i} = \min \left\{ n \geq 1: X_{n} = i\right\} — момент первого достижения состояния ii. [Указание: рассмотрите моменты возвращения в jj с промежуточным посещением kk.]

?
Задача 10.5.5

Используя результат упражнения (10.5.2), покажите, что предельная функция распределения при t→∞t \rightarrow \infty полного срока жизни D(t)D(t) процесса восстановления имеет вид

FD(y)=∫0y1μxf(x)dx F_{D}(y) = \int _{0}^{y} \frac{1}{\mu } x f(x) d x

где ff — плотность типичного времени между поступлениями XX, а μ=E[X]\mu = \mathbb {E}\left[X\right]. Подынтегральное выражение называется смещённой по размеру (или по длине) плотностью для XX.

?
Задача 10.5.6
?
(a)

Пусть XX распределена экспоненциально с параметром λ\lambda. Покажите, что

E[min⁡{X,d}]=1λ(1−e−λd),d≥0 \mathbb {E}\left[\min \left\{ X, d\right\} \right] = \frac{1}{\lambda }\left(1-e^{-\lambda d}\right), \quad d \geq 0
(b)

Автосервис предлагает Джону выбор из двух планов замены шин.

  1. Автосервис обязуется заменить все шины его автомобиля по обычной цене всякий раз, когда одна из шин требует замены.

  2. Автосервис обязуется заменить все шины его автомобиля за 5%5 \% от обычной цены через два года после их последней замены. Однако если какая-либо шина требует замены раньше, автосервис заменит все шины по цене, которая на 5%5 \% выше обычной. Предполагая, что новая шина имеет экспоненциально распределённый срок службы со средним 8 лет, определите среднюю стоимость в год в долгосрочной перспективе для обоих вариантов. Какой вариант следует выбрать Джону, если его автомобиль новый?

Задача 10.5.7

Станок MM ремонтируется в момент времени t=0t = 0, и время его работы после любого ремонта распределено экспоненциально с параметром λ\lambda, после чего он выходит из строя (предполагается обычная независимость). После каждого ремонта в момент времени TT станок проверяется в моменты T,T+m,T+2m,…T, T+m, T+2 m, \ldots, и немедленно ремонтируется, если обнаружена неисправность (после чего расписание проверок начинается заново). Покажите, что доля времени в долгосрочной перспективе, в течение которой MM работает («коэффициент времени работы»), равна m−1∫0me−λxdxm^{-1} \int_{0}^{m} e^{-\lambda x} d x.

?