Банк задач по математике

Задача 10.4.1

Найдите распределение остаточного времени жизни для процесса восстановления, каждое время между поступлениями которого является суммой двух независимых экспоненциально распределённых случайных величин с параметрами $\lambda$ и $\mu$ соответственно. Покажите, что остаточное время жизни имеет среднее

\frac{1}{\mu }+\frac{\lambda e^{-(\lambda +\mu ) t}+\mu }{\lambda (\lambda +\mu )}

?

Задача 10.4.2

(a)(b)(c)

Пусть $f$ — плотность, а $F$ — функция распределения времён между поступлениями $\left\{ X_{i}: i \geq 2\right\}$ стационарного процесса восстановления, и пусть $\mu$ — их общее среднее. Пусть $C, D, E$ — текущий, полный и остаточный сроки жизни в состоянии равновесия.

?

(a)

Покажите, что $C$ имеет плотность $h(x) = (1-F(x)) / \mu$ при $x > 0$ .

(b)

Покажите, что $D$ имеет смещённую по размеру (или по длине) плотность $g(y) = (y / \mu ) f(y)$ .

(c)

Пусть $U$ равномерно распределена на $(0,1)$ и независима от $D$ . Покажите, что $U D$ имеет то же распределение, что и $C$ , и $E$ . Объясните, почему это должно быть так.

Задача 10.4.3

(a)(b)(c)

Пусть $m$ — функция восстановления обычного процесса восстановления $N$ , времена между поступлениями которого имеют конечное среднее.

?

(a)

Покажите, что среднее число восстановлений на интервале $(a, b]$ не превышает $1+m(b-a)$ .

(b)

Покажите, что существует $A > 0$ такое, что $m(t) \leq A(1+t)$ при $t \geq 0$ .

(c)

Предположим, что времена между поступлениями $X_{r}$ неарифметические, с конечной дисперсией и средним $\mu$ . Покажите, что

m(t)-\frac{t}{\mu } \rightarrow \frac{\sigma ^{2}-\mu ^{2}}{2 \mu ^{2}} \quad \text{ при } t \rightarrow \infty

[Указание: используйте связывание (coupling) и теорему восстановления Блэквелла (10.2.5).]

Приложения