Интегралы, зависящие от параметра

Показать, что интеграл

от разрывной функции $f(x,y)=\operatorname {sign}(x-y)$ является функцией непрерывной. Построить график функции $u=F(y)$.

Исследовать на непрерывность функцию

где функция $f(x)$ непрерывна и положительна на сегменте $\left[0,1\right]$.

Найти:

Найти

Найти

Пусть функция $f(x)$ непрерывна на сегменте $\left[A,B\right]$. Доказать, что

Пусть 1) $\varphi_{n}(x)\geq 0$ $(n=1,2,\ldots )$ на $\left[-1,1\right]$; 2) $\varphi_{n}(x)\to 0$ при $n\to \infty$ на $0<\varepsilon \leq \left|x\right|\leq 1$; 3) $\displaystyle \int_{-1}^{1}\varphi_{n}(x)\, dx\to 1$ при $n\to \infty$.

Доказать, что, если $f(x)\in C\left[-1,1\right]$, то

Пусть 1) $\varphi_{n}(x)\geq 0$ $(n=1,2,\ldots )$ на $\left[-1,1\right]$; 2) $\varphi_{n}(x)\to 0$ при $n\to \infty$ на $0<\varepsilon \leq \left|x\right|\leq 1$; 3) $\displaystyle \int_{-1}^{1}\varphi_{n}(x)\, dx\to 1$ при $n\to \infty$.

Доказать, что, если $f(x)\in C\left[-1,1\right]$, то

Можно ли совершить предельный переход под знаком интеграла в выражении

Можно ли вычислить по правилу Лейбница производную функции

при $y=0$?

Вычислить $F'(x)$, если

Найти $F'(\alpha )$, если:

Найти $F''(x)$, если

где $f(x)$ — дифференцируемая функция.

Найти $F''(x)$, если

где $a<b$ и $f(y)$ — непрерывная на $\left[a,b\right]$ функция.

Найти $F''(x)$, если

где $f(x)$ — непрерывная функция.

Найти $F^{(n)}(x)$, если

Доказать формулу

$(n=1,2,\ldots )$.

Пользуясь формулой (1), получить оценку:

Доказать формулу

$(n=1,2,\ldots )$.

Пользуясь формулой (1), получить оценку:

Функцию $f(x)=x^{2}$ на промежутке $1\leq x\leq 3$ приближенно заменить линейной функцией $a+bx$ так, чтобы

Получить приближенную формулу вида

из условия, что среднее квадратичное отклонение функций $a+bx$ и $\sqrt{1+x^{2}}$ на данном промежутке $\left[0,1\right]$ является минимальным.

Найти производные от полных эллиптических интегралов

и

и выразить их через функции $E(k)$ и $F(k)$.

Показать, что $E(k)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению

Доказать, что функция Бесселя целого индекса $n$

удовлетворяет уравнению Бесселя

Пусть $\displaystyle I(\alpha )=\int_{0}^{a}\frac{\varphi (x)\, dx}{\sqrt{\alpha -x}}$, где функция $\varphi (x)$ непрерывна вместе со своей производной $\varphi '(x)$ на сегменте $0\leq x\leq a$.

Доказать, что при $0<\alpha <a$ имеем:

Указание. Положить $x=\alpha t$.

Показать, что функция

где

и $v(y)$ непрерывна, удовлетворяет уравнению

Найти $F''_{xy}(x,y)$, если

где $f(z)$ — дифференцируемая функция.

Пусть $f(x)$ — дважды дифференцируемая функция и $F(x)$ — дифференцируемая функция.

Доказать, что функция

удовлетворяет уравнению колебаний струны

и начальным условиям: $u(x,0)=f(x)$, $u'_{t}(x,0)=F(x)$.

Показать, что если функция $f(x)$ непрерывна на сегменте $\left[0,l\right]$ и $(x-\xi )^{2}+y^{2}+z^{2}\neq 0$ при $0\leq \xi \leq l$, то функция

удовлетворяет уравнению Лапласа

Применяя дифференцирование по параметру, вычислить следующие интегралы:

Применяя дифференцирование по параметру, вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{\pi /2}\ln (a^{2}\sin^{2}x+b^{2}\cos^{2}x)\, dx$.

Применяя дифференцирование по параметру, вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{\pi }\ln (1-2a\cos x+a^{2})\, dx$.

Применяя дифференцирование по параметру, вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{\pi /2}\frac{\arctg (a\tg x)}{\tg x}\, dx$.

Применяя дифференцирование по параметру, вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{\pi /2}\ln \frac{1+a\cos x}{1-a\cos x}\cdot \frac{dx}{\cos x}$ $(\left|a\right|<1)$.

Пользуясь формулой

вычислить интеграл

Применяя интегрирование под знаком интеграла, вычислить интеграл

Вычислить интегралы:

Пусть $F(k)$ и $E(k)$ — полные эллиптические интегралы (см. задачу 3725). Доказать формулы

Доказать формулу

где $J_{0}(x)$ и $J_{1}(x)$ — функции Бесселя индексов $0$ и $1$ (см. задачу 3726).

Определить область сходимости интеграла $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{e^{-ax}}{1+x^{2}}\, dx$.

Определить область сходимости интеграла $\displaystyle \int_{\pi }^{+\infty }\frac{x\cos x}{x^{p}+x^{q}}\, dx$.

Определить область сходимости интеграла $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\sin x^{q}}{x^{p}}\, dx$.

Определить область сходимости интеграла $\displaystyle \int_{0}^{2}\frac{dx}{\left|\ln x\right|^{p}}$.

Определить область сходимости интеграла $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\cos \dfrac {1}{1-x}}{\sqrt[n]{1-x^{2}}}\, dx$.

Определить область сходимости интеграла $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\sin x}{x^{p}+\sin x}\, dx$ $(p>0)$.

При помощи сравнения с рядами исследовать сходимость интеграла $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\cos x}{x+a}\, dx$.

При помощи сравнения с рядами исследовать сходимость интеграла $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{x\, dx}{1+x^{n}\sin^{2}x}$ $(n>0)$.

При помощи сравнения с рядами исследовать сходимость интеграла $\displaystyle \int_{\pi }^{+\infty }\frac{dx}{x^{p}\sqrt[3]{\sin^{2}x}}$.

При помощи сравнения с рядами исследовать сходимость интеграла $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\sin (x+x^{2})}{x^{n}}\, dx$.

Сформулировать в положительном смысле, что значит, что интеграл $\displaystyle \int_{a}^{+\infty }f(x,y)\, dx$ сходится неравномерно в заданном интервале $(y_{1},y_{2})$?

Доказать, что если 1) интеграл $\displaystyle \int_{a}^{+\infty }f(x)\, dx$ сходится и 2) функция $\varphi (x,y)$ ограничена и монотонна по $x$, то интеграл

сходится равномерно (в соответствующей области).

Доказать, что равномерно сходящийся интеграл

нельзя мажорировать сходящимся интегралом, не зависящим от параметра.

Показать, что интеграл $I=\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\alpha e^{-\alpha x}\, dx$:

Доказать, что интеграл Дирихле

1. сходится равномерно на каждом сегменте $\left[a,b\right]$, не содержащем значения $\alpha =0$, и 2) сходится неравномерно на каждом сегменте $\left[a,b\right]$, содержащем значение $\alpha =0$.

Исследовать на равномерную сходимость интеграл

в следующих промежутках:

Исследовать на равномерную сходимость интеграл

в следующих промежутках:

Исследовать на равномерную сходимость интеграл

Исследовать на равномерную сходимость интеграл

Показать, что интеграл $\displaystyle \int_{0}^{\infty }\frac{dx}{x^{\alpha }+1}$ сходится неравномерно в интервале $1<\alpha <+\infty$.

Показать, что интеграл $\displaystyle \int_{0}^{\infty }\frac{dx}{x^{\alpha }+1}$ сходится неравномерно в интервале $1<\alpha <+\infty$.

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }e^{-\alpha x}\sin x\, dx$ $(0<\alpha_{0}\leq \alpha <+\infty )$.

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }x^{\alpha }e^{-x}\, dx$ $(a\leq \alpha \leq b)$.

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке интеграл $\displaystyle \int_{-\infty }^{+\infty }\frac{\cos \alpha x}{1+x^{2}}\, dx$ $(-\infty <\alpha <+\infty )$.

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{dx}{(x-\alpha )^{2}+1}$ $(0\leq \alpha <+\infty )$.

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\sin x}{x}e^{-\alpha x}\, dx$ $(0\leq \alpha <+\infty )$.

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке интеграл $\displaystyle \int_{1}^{\infty }\frac{\ln^{p}x}{x\sqrt{x}}\, dx$ $(0\leq p\leq 10)$.

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке интеграл $\displaystyle \int_{1}^{\infty }\frac{\ln^{p}x}{x\sqrt{x}}\, dx$ $(0\leq p\leq 10)$.

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке интеграл $\displaystyle \int_{1}^{+\infty }e^{-\alpha x}\frac{\cos x}{x^{p}}\, dx$ $(0\leq \alpha <+\infty )$, где $p>0$ фиксировано.

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\sqrt{\alpha }\, e^{-\alpha x^{2}}\, dx$ $(0\leq \alpha <+\infty )$.

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке интеграл $\displaystyle \int_{-\infty }^{+\infty }e^{-(x-\alpha )^{2}}\, dx$:

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }e^{-x^{2}(1+y^{2})}\sin x\, dy$ $(-\infty <x<+\infty )$.

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\sin x^{2}}{1+x^{p}}\, dx$ $(p\geq 0)$.

Подобрать число $b>0$ так, чтобы

где $\varepsilon =10^{-6}$.

Подобрать число $b>0$ так, чтобы

где $\varepsilon =10^{-6}$.

Исследовать на равномерную сходимость интеграл $\displaystyle \int_{0}^{1}x^{p-1}\ln^{q}\frac{1}{x}\, dx$:

Исследовать на равномерную сходимость интеграл $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{x^{n}}{\sqrt{1-x^{2}}}\, dx$ $(0\leq n<+\infty )$.

Исследовать на равномерную сходимость интеграл $\displaystyle \int_{0}^{1}\sin \frac{1}{x}\cdot \frac{dx}{x^{n}}$ $(0<n<2)$.

Исследовать на равномерную сходимость интеграл $\displaystyle \int_{0}^{2}\frac{x^{\alpha }\, dx}{\sqrt[3]{(x-1)(x-2)^{2}}}$ $\left(\left|\alpha \right|<\dfrac {1}{2}\right)$.

Исследовать на равномерную сходимость интеграл $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\sin \alpha x}{\sqrt{\left|x-\alpha \right|}}\, dx$ $(0\leq \alpha \leq 1)$.

Интеграл называется равномерно сходящимся при данном значении параметра, если он равномерно сходится в некоторой окрестности этого значения. Доказать, что интеграл

сходится равномерно при каждом значении $\alpha \neq 0$ и не сходится равномерно при $\alpha =0$.

Законен ли переход к пределу под знаком интеграла в выражении

Функция $f(x)$ интегрируема в промежутке $(0,+\infty )$. Доказать формулу

Доказать, что если $f'(x)$ абсолютно интегрируема на $\left[a,+\infty \right]$, то существует $\displaystyle \lim_{x\to +\infty }f(x)$.

Доказать, что если $f'(x)$ абсолютно интегрируема на $\left[a,+\infty \right]$, то существует $\displaystyle \lim_{x\to +\infty }f(x)$.

Доказать, что

если функция $f(x)$ абсолютно интегрируема в промежутке $(0,+\infty )$.

Доказать, что если 1) $f(x,y)\rightrightarrows f(x,y_{0})$ в каждом конечном интервале $(a,b)$; 2) $\left|f(x,y)\right|\leq F(x)$, где $\displaystyle \int_{a}^{+\infty }F(x)\, dx<+\infty$, то

Вычислить интеграл

используя предельный переход под знаком интеграла.

Пусть $f(x)$ — непрерывна и ограничена на $\left[0,+\infty \right]$. Доказать, что

Пусть $f(x)$ — непрерывна и ограничена на $\left[0,+\infty \right]$. Доказать, что

Найти

Найти

Доказать, что интеграл

есть непрерывная функция параметра $a$.

Показать, что

есть непрерывная функция в интервале $0<\alpha <1$.

Показать, что

есть непрерывная функция в интервале $0<\alpha <1$.

Определить точки разрыва функции

Построить график функции $y=F(a)$.

Исследовать на непрерывность в указанном промежутке функцию $F(\alpha )=\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{x\, dx}{2+x^{\alpha }}$ при $\alpha >2$.

Исследовать на непрерывность в указанном промежутке функцию $F(\alpha )=\displaystyle \int_{1}^{+\infty }\frac{\cos x}{x^{\alpha }}\, dx$ при $\alpha >0$.

Исследовать на непрерывность в указанном промежутке функцию $F(\alpha )=\displaystyle \int_{0}^{\pi }\frac{\sin x}{x^{\alpha }(\pi -x)^{\alpha }}\, dx$ при $0<\alpha <2$.

Исследовать на непрерывность в указанном промежутке функцию $F(\alpha )=\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{e^{-x}}{\left|\sin x\right|^{\alpha }}\, dx$ при $0<\alpha <1$.

Исследовать на непрерывность в указанном промежутке функцию $F(\alpha )=\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\alpha e^{-x\alpha^{2}}\, dx$ при $-\infty <\alpha <+\infty$.

Пользуясь формулой

вычислить интеграл $I=\displaystyle \int_{0}^{1}x^{n-1}\ln^{m}x\, dx$, где $m$ — натуральное число.

Пользуясь формулой

вычислить интеграл $I=\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{dx}{(x^{2}+a)^{n+1}}$, где $n$ — натуральное число.

Доказать, что интеграл Дирихле

имеет при $\alpha \neq 0$ производную, однако ее нельзя найти с помощью правила Лейбница.

Указание. Положить $\alpha x=y$.

Показать, что функция

непрерывна и дифференцируема в области $-\infty <\alpha <+\infty$.

Исходя из равенства