7.2

Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость интегралов

[52/92%]
Показать
LaTeX
Задача 3741

Определить область сходимости интеграла ∫0+∞e−ax1+x2 dx\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{e^{-ax}}{1+x^{2}}\, dx.

?
Задача 3742

Определить область сходимости интеграла ∫π+∞xcos⁡xxp+xq dx\displaystyle \int_{\pi }^{+\infty }\frac{x\cos x}{x^{p}+x^{q}}\, dx.

?
Задача 3743

Определить область сходимости интеграла ∫0+∞sin⁡xqxp dx\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\sin x^{q}}{x^{p}}\, dx.

?
Задача 3744

Определить область сходимости интеграла ∫02dx∣ln⁡x∣p\displaystyle \int_{0}^{2}\frac{dx}{\left|\ln x\right|^{p}}.

?
Задача 3745

Определить область сходимости интеграла ∫01cos⁡11−x1−x2n dx\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\cos \dfrac {1}{1-x}}{\sqrt[n]{1-x^{2}}}\, dx.

?
Задача 3746

Определить область сходимости интеграла ∫0+∞sin⁡xxp+sin⁡x dx\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\sin x}{x^{p}+\sin x}\, dx (p>0)(p>0).

?
Задача 3747

При помощи сравнения с рядами исследовать сходимость интеграла ∫0+∞cos⁡xx+a dx\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\cos x}{x+a}\, dx.

?
Задача 3748

При помощи сравнения с рядами исследовать сходимость интеграла ∫0+∞x dx1+xnsin⁡2x\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{x\, dx}{1+x^{n}\sin^{2}x} (n>0)(n>0).

?
Задача 3749

При помощи сравнения с рядами исследовать сходимость интеграла ∫π+∞dxxpsin⁡2x3\displaystyle \int_{\pi }^{+\infty }\frac{dx}{x^{p}\sqrt[3]{\sin^{2}x}}.

?
Задача 3750

При помощи сравнения с рядами исследовать сходимость интеграла ∫0+∞sin⁡(x+x2)xn dx\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\sin (x+x^{2})}{x^{n}}\, dx.

?
Задача 3751

Сформулировать в положительном смысле, что значит, что интеграл ∫a+∞f(x,y) dx\displaystyle \int_{a}^{+\infty }f(x,y)\, dx сходится неравномерно в заданном интервале (y1,y2)(y_{1},y_{2})?

?
Задача 3752

Доказать, что если 1) интеграл ∫a+∞f(x) dx\displaystyle \int_{a}^{+\infty }f(x)\, dx сходится и 2) функция φ(x,y)\varphi (x,y) ограничена и монотонна по xx, то интеграл

∫a+∞f(x)φ(x,y) dx \int _{a}^{+\infty }f(x)\varphi (x,y)\, dx

сходится равномерно (в соответствующей области).

?
Задача 3753

Доказать, что равномерно сходящийся интеграл

I=∫1+∞e−1y2(x−1y)2 dx(0<y<1) I=\int _{1}^{+\infty }e^{-\frac{1}{y^{2}}\left(x-\frac{1}{y}\right)^{2}}\, dx \quad (0<y<1)

нельзя мажорировать сходящимся интегралом, не зависящим от параметра.

?
Задача 3754

Показать, что интеграл I=∫0+∞αe−αx dxI=\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\alpha e^{-\alpha x}\, dx:

?
(а)

сходится равномерно в любом промежутке 0<a≤α≤b0<a\leq \alpha \leq b и

(б)

сходится неравномерно в промежутке 0≤α≤b0\leq \alpha \leq b.

Задача 3755

Доказать, что интеграл Дирихле

I=∫0+∞sin⁡αxx dx I=\int _{0}^{+\infty }\frac{\sin \alpha x}{x}\, dx
  1. сходится равномерно на каждом сегменте [a,b]\left[a,b\right], не содержащем значения α=0\alpha =0, и 2) сходится неравномерно на каждом сегменте [a,b]\left[a,b\right], содержащем значение α=0\alpha =0.
?
Задача 3755.1

Исследовать на равномерную сходимость интеграл

∫1+∞dxxα \int _{1}^{+\infty }\frac{dx}{x^{\alpha }}

в следующих промежутках:

?
(а)

1<α0≤α<+∞1<\alpha_{0}\leq \alpha <+\infty;

(б)

1<α<+∞1<\alpha <+\infty.

Задача 3755.2

Исследовать на равномерную сходимость интеграл

∫01dxxαпри 0<α<1. \int _{0}^{1}\frac{dx}{x^{\alpha }} \quad \text{при } 0<\alpha <1.
?
Задача 3755.3

Показать, что интеграл ∫0∞dxxα+1\displaystyle \int_{0}^{\infty }\frac{dx}{x^{\alpha }+1} сходится неравномерно в интервале 1<α<+∞1<\alpha <+\infty.

?
Задача 3756

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке интеграл ∫0+∞e−αxsin⁡x dx\displaystyle \int_{0}^{+\infty }e^{-\alpha x}\sin x\, dx (0<α0≤α<+∞)(0<\alpha_{0}\leq \alpha <+\infty ).

?
Задача 3757

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке интеграл ∫0+∞xαe−x dx\displaystyle \int_{0}^{+\infty }x^{\alpha }e^{-x}\, dx (a≤α≤b)(a\leq \alpha \leq b).

?
Задача 3758

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке интеграл ∫−∞+∞cos⁡αx1+x2 dx\displaystyle \int_{-\infty }^{+\infty }\frac{\cos \alpha x}{1+x^{2}}\, dx (−∞<α<+∞)(-\infty <\alpha <+\infty ).

?
Задача 3759

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке интеграл ∫0+∞dx(x−α)2+1\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{dx}{(x-\alpha )^{2}+1} (0≤α<+∞)(0\leq \alpha <+\infty ).

?
Задача 3760

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке интеграл ∫0+∞sin⁡xxe−αx dx\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\sin x}{x}e^{-\alpha x}\, dx (0≤α<+∞)(0\leq \alpha <+\infty ).

?
Задача 3760.1

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке интеграл ∫1∞ln⁡pxxx dx\displaystyle \int_{1}^{\infty }\frac{\ln^{p}x}{x\sqrt{x}}\, dx (0≤p≤10)(0\leq p\leq 10).

?
Задача 3761

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке интеграл ∫1+∞e−αxcos⁡xxp dx\displaystyle \int_{1}^{+\infty }e^{-\alpha x}\frac{\cos x}{x^{p}}\, dx (0≤α<+∞)(0\leq \alpha <+\infty ), где p>0p>0 фиксировано.

?
Задача 3762

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке интеграл ∫0+∞α e−αx2 dx\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\sqrt{\alpha }\, e^{-\alpha x^{2}}\, dx (0≤α<+∞)(0\leq \alpha <+\infty ).

?
Задача 3763

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке интеграл ∫−∞+∞e−(x−α)2 dx\displaystyle \int_{-\infty }^{+\infty }e^{-(x-\alpha )^{2}}\, dx:

?
(а)

a<α<ba<\alpha <b;

(б)

−∞<α<+∞-\infty <\alpha <+\infty.

Задача 3764

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке интеграл ∫0+∞e−x2(1+y2)sin⁡x dy\displaystyle \int_{0}^{+\infty }e^{-x^{2}(1+y^{2})}\sin x\, dy (−∞<x<+∞)(-\infty <x<+\infty ).

?
Задача 3765

Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке интеграл ∫0+∞sin⁡x21+xp dx\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\sin x^{2}}{1+x^{p}}\, dx (p≥0)(p\geq 0).

?
Задача 3765.1

Подобрать число b>0b>0 так, чтобы

0<∫b+∞dx1+xn<εпри 1,1≤n≤10, 0<\int _{b}^{+\infty }\frac{dx}{1+x^{n}}<\varepsilon \quad \text{при } 1{,}1\leq n\leq 10,

где ε=10−6\varepsilon =10^{-6}.

?
Задача 3766

Исследовать на равномерную сходимость интеграл ∫01xp−1ln⁡q1x dx\displaystyle \int_{0}^{1}x^{p-1}\ln^{q}\frac{1}{x}\, dx:

?
(а)

p≥p0>0p\geq p_{0}>0;

(б)

p>0p>0 (q>−1)(q>-1).

Задача 3767

Исследовать на равномерную сходимость интеграл ∫01xn1−x2 dx\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{x^{n}}{\sqrt{1-x^{2}}}\, dx (0≤n<+∞)(0\leq n<+\infty ).

?
Задача 3768

Исследовать на равномерную сходимость интеграл ∫01sin⁡1x⋅dxxn\displaystyle \int_{0}^{1}\sin \frac{1}{x}\cdot \frac{dx}{x^{n}} (0<n<2)(0<n<2).

?
Задача 3769

Исследовать на равномерную сходимость интеграл ∫02xα dx(x−1)(x−2)23\displaystyle \int_{0}^{2}\frac{x^{\alpha }\, dx}{\sqrt[3]{(x-1)(x-2)^{2}}} (∣α∣<12)\left(\left|\alpha \right|<\dfrac {1}{2}\right).

?
Задача 3770

Исследовать на равномерную сходимость интеграл ∫01sin⁡αx∣x−α∣ dx\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\sin \alpha x}{\sqrt{\left|x-\alpha \right|}}\, dx (0≤α≤1)(0\leq \alpha \leq 1).

?
Задача 3771

Интеграл называется равномерно сходящимся при данном значении параметра, если он равномерно сходится в некоторой окрестности этого значения. Доказать, что интеграл

I=∫0+∞α dx1+α2x2 I=\int _{0}^{+\infty }\frac{\alpha \, dx}{1+\alpha ^{2}x^{2}}

сходится равномерно при каждом значении α≠0\alpha \neq 0 и не сходится равномерно при α=0\alpha =0.

?
Задача 3772

Законен ли переход к пределу под знаком интеграла в выражении

lim⁡α→+0∫0+∞αe−αx dx? \lim _{\alpha \to +0}\int _{0}^{+\infty }\alpha e^{-\alpha x}\, dx?
?
Задача 3773

Функция f(x)f(x) интегрируема в промежутке (0,+∞)(0,+\infty ). Доказать формулу

lim⁡α→+0∫0+∞e−αxf(x) dx=∫0+∞f(x) dx. \lim _{\alpha \to +0}\int _{0}^{+\infty }e^{-\alpha x}f(x)\, dx=\int _{0}^{+\infty }f(x)\, dx.
?
Задача 3773.1

Доказать, что если f′(x)f'(x) абсолютно интегрируема на [a,+∞]\left[a,+\infty \right], то существует lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle \lim_{x\to +\infty }f(x).

?
Задача 3774

Доказать, что

lim⁡n→∞∫0+∞f(x)sin⁡nx dx=0, \lim _{n\to \infty }\int _{0}^{+\infty }f(x)\sin nx\, dx=0,

если функция f(x)f(x) абсолютно интегрируема в промежутке (0,+∞)(0,+\infty ).

?
Задача 3775

Доказать, что если 1) f(x,y)⇉f(x,y0)f(x,y)\rightrightarrows f(x,y_{0}) в каждом конечном интервале (a,b)(a,b); 2) ∣f(x,y)∣≤F(x)\left|f(x,y)\right|\leq F(x), где ∫a+∞F(x) dx<+∞\displaystyle \int_{a}^{+\infty }F(x)\, dx<+\infty, то

lim⁡y→y0∫a+∞f(x,y) dx=∫a+∞lim⁡y→y0f(x,y) dx. \lim _{y\to y_{0}}\int _{a}^{+\infty }f(x,y)\, dx=\int _{a}^{+\infty }\lim _{y\to y_{0}}f(x,y)\, dx.
?
Задача 3776

Вычислить интеграл

∫0+∞e−x2 dx=∫0+∞lim⁡n→∞[(1+x2n)−n] dx, \int _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}\, dx=\int _{0}^{+\infty }\lim _{n\to \infty }\left[\left(1+\frac{x^{2}}{n}\right)^{-n}\right]\, dx,

используя предельный переход под знаком интеграла.

?
Задача 3776.1

Пусть f(x)f(x) — непрерывна и ограничена на [0,+∞]\left[0,+\infty \right]. Доказать, что

lim⁡y→02π∫0+∞yf(x)x2+y2 dx=f(0). \lim _{y\to 0}\frac{2}{\pi }\int _{0}^{+\infty }\frac{yf(x)}{x^{2}+y^{2}}\, dx=f(0).
?
Задача 3776.2

Найти

lim⁡n→∞∫0∞dxxn+1. \lim _{n\to \infty }\int _{0}^{\infty }\frac{dx}{x^{n}+1}.
?
Задача 3777

Доказать, что интеграл

F(a)=∫0+∞e−(x−a)2 dx F(a)=\int _{0}^{+\infty }e^{-(x-a)^{2}}\, dx

есть непрерывная функция параметра aa.

?
Задача 3777.1

Показать, что

F(α)=∫01sin⁡αxxα dx F(\alpha )=\int _{0}^{1}\frac{\sin \dfrac {\alpha }{x}}{x^{\alpha }}\, dx

есть непрерывная функция в интервале 0<α<10<\alpha <1.

?
Задача 3778

Определить точки разрыва функции

F(a)=∫0+∞sin⁡(1−a2)xx dx. F(a)=\int _{0}^{+\infty }\frac{\sin (1-a^{2})x}{x}\, dx.

Построить график функции y=F(a)y=F(a).

?
Задача 3779

Исследовать на непрерывность в указанном промежутке функцию F(α)=∫0+∞x dx2+xαF(\alpha )=\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{x\, dx}{2+x^{\alpha }} при α>2\alpha >2.

?
Задача 3780

Исследовать на непрерывность в указанном промежутке функцию F(α)=∫1+∞cos⁡xxα dxF(\alpha )=\displaystyle \int_{1}^{+\infty }\frac{\cos x}{x^{\alpha }}\, dx при α>0\alpha >0.

?
Задача 3781

Исследовать на непрерывность в указанном промежутке функцию F(α)=∫0πsin⁡xxα(π−x)α dxF(\alpha )=\displaystyle \int_{0}^{\pi }\frac{\sin x}{x^{\alpha }(\pi -x)^{\alpha }}\, dx при 0<α<20<\alpha <2.

?
Задача 3782

Исследовать на непрерывность в указанном промежутке функцию F(α)=∫0+∞e−x∣sin⁡x∣α dxF(\alpha )=\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{e^{-x}}{\left|\sin x\right|^{\alpha }}\, dx при 0<α<10<\alpha <1.

?
Задача 3783

Исследовать на непрерывность в указанном промежутке функцию F(α)=∫0+∞αe−xα2 dxF(\alpha )=\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\alpha e^{-x\alpha^{2}}\, dx при −∞<α<+∞-\infty <\alpha <+\infty.

?