Банк задач по математике

Задача 3711

Показать, что интеграл

F(y)=\int _{0}^{1}f(x,y)\, dx

от разрывной функции $f(x,y)=\operatorname {sign}(x-y)$ является функцией непрерывной. Построить график функции $u=F(y)$ .

?

Задача 3712

Исследовать на непрерывность функцию

F(y)=\int _{0}^{1}\frac{yf(x)}{x^{2}+y^{2}}\, dx,

где функция $f(x)$ непрерывна и положительна на сегменте $\left[0,1\right]$ .

?

Задача 3713

(а)(б)(в)(г)

Найти:

?

(а)

(б)

$\displaystyle \lim_{\alpha \to 0}\int_{-1}^{1}\sqrt{x^{2}+\alpha^{2}}\, dx$ ;

(в)

$\displaystyle \lim_{\alpha \to 0}\int_{0}^{2}x^{2}\cos \alpha x\, dx$ ;

(г)

$\displaystyle \lim_{n\to \infty }\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+\left(1+\dfrac {x}{n}\right)^{n}}$ .

Задача 3713.1

Найти

\lim _{R\to \infty }\int _{0}^{\pi /2}e^{-R\sin \theta }\, d\theta .

?

Задача 3714

Пусть функция $f(x)$ непрерывна на сегменте $\left[A,B\right]$ . Доказать, что

\lim _{h\to 0}\frac{1}{h}\int _{a}^{x}\left[f(t+h)-f(t)\right]\, dt=f(x)-f(a) \quad (A<a<x<B).

?

Задача 3714.1

Пусть 1) $\varphi_{n}(x)\geq 0$ $(n=1,2,\ldots )$ на $\left[-1,1\right]$ ; 2) $\varphi_{n}(x)\to 0$ при $n\to \infty$ на $0<\varepsilon \leq \left|x\right|\leq 1$ ; 3) $\displaystyle \int_{-1}^{1}\varphi_{n}(x)\, dx\to 1$ при $n\to \infty$ .

Доказать, что, если $f(x)\in C\left[-1,1\right]$ , то

\lim _{n\to \infty }\int _{-1}^{1}f(x)\varphi _{n}(x)\, dx=f(0).

?

Задача 3715

Можно ли совершить предельный переход под знаком интеграла в выражении

\lim _{y\to 0}\int _{0}^{1}\frac{x}{y^{2}}e^{-x^{2}/y^{2}}\, dx?

?

Задача 3716

Можно ли вычислить по правилу Лейбница производную функции

F(y)=\int _{0}^{1}\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, dx

при $y=0$ ?

?

Задача 3717

Вычислить $F'(x)$ , если

F(x)=\int _{x}^{x^{2}}e^{-xy^{2}}\, dy.

?

Задача 3718

Найти $F'(\alpha )$ , если:

?

(а)

$\displaystyle F(\alpha )=\int_{\sin \alpha }^{\cos \alpha }e^{\alpha \sqrt{1-x^{2}}}\, dx$ ;

(б)

$\displaystyle F(\alpha )=\int_{a+\alpha }^{b+\alpha }\frac{\sin \alpha x}{x}\, dx$ ;

(в)

$\displaystyle F(\alpha )=\int_{0}^{\alpha }\frac{\ln (1+\alpha x)}{x}\, dx$ ;

(г)

$\displaystyle F(\alpha )=\int_{0}^{\alpha }f(x+\alpha ,x-\alpha )\, dx$ ;

(д)

$\displaystyle F(\alpha )=\int_{0}^{\alpha^{2}}dx\int_{x-\alpha }^{x+\alpha }\sin (x^{2}+y^{2}-\alpha^{2})\, dy$ .

Задача 3719

Найти $F''(x)$ , если

F(x)=\int _{0}^{x}(x+y)f(y)\, dy,

где $f(x)$ — дифференцируемая функция.

?

Задача 3720

Найти $F''(x)$ , если

F(x)=\int _{a}^{b}f(y)\left|x-y\right|\, dy,

где $a<b$ и $f(y)$ — непрерывная на $\left[a,b\right]$ функция.

?

Задача 3721

Найти $F''(x)$ , если

F(x)=\frac{1}{h^{2}}\int _{0}^{h}d\xi \int _{0}^{h}f(x+\xi +\eta )\, d\eta \quad (h>0),

где $f(x)$ — непрерывная функция.

?

Задача 3722

Найти $F^{(n)}(x)$ , если

F(x)=\int _{0}^{x}f(t)(x-t)^{n-1}\, dt.

?

Задача 3722.1

Доказать формулу

\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(\frac{\sin x}{x}\right)=\frac{1}{x^{n+1}}\int _{0}^{x}y^{n}\cos \left(y+\frac{n\pi }{2}\right)\, dy \tag {1}

$(n=1,2,\ldots )$ .

Пользуясь формулой (1), получить оценку:

\left|\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\right|\leq \frac{1}{n+1} \quad \text{при } x\in (-\infty ,+\infty ).

?

Задача 3723

Функцию $f(x)=x^{2}$ на промежутке $1\leq x\leq 3$ приближенно заменить линейной функцией $a+bx$ так, чтобы

\int _{1}^{3}(a+bx-x^{2})^{2}\, dx=\min .

?

Задача 3724

Получить приближенную формулу вида

\sqrt{1+x^{2}}\approx a+bx \quad (0\leq x\leq 1)

из условия, что среднее квадратичное отклонение функций $a+bx$ и $\sqrt{1+x^{2}}$ на данном промежутке $\left[0,1\right]$ является минимальным.

?

Задача 3725

Найти производные от полных эллиптических интегралов

E(k)=\int _{0}^{\pi /2}\sqrt{1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }\, d\varphi

и

F(k)=\int _{0}^{\pi /2}\frac{d\varphi }{\sqrt{1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }} \quad (0<k<1)

и выразить их через функции $E(k)$ и $F(k)$ .

Показать, что $E(k)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению

E''(k)+\frac{1}{k}E'(k)+\frac{E(k)}{1-k^{2}}=0.

?

Задача 3726

Доказать, что функция Бесселя целого индекса $n$

J_{n}(x)=\frac{1}{\pi }\int _{0}^{\pi }\cos (n\varphi -x\sin \varphi )\, d\varphi

удовлетворяет уравнению Бесселя

x^{2}J_{n}''(x)+xJ_{n}'(x)+(x^{2}-n^{2})J_{n}(x)=0.

?

Задача 3727

Пусть $\displaystyle I(\alpha )=\int_{0}^{a}\frac{\varphi (x)\, dx}{\sqrt{\alpha -x}}$ , где функция $\varphi (x)$ непрерывна вместе со своей производной $\varphi '(x)$ на сегменте $0\leq x\leq a$ .

Доказать, что при $0<\alpha <a$ имеем:

I'(\alpha )=\frac{\varphi (0)}{\sqrt{\alpha }}+\int _{0}^{\alpha }\frac{\varphi '(x)}{\sqrt{\alpha -x}}\, dx.

Указание. Положить $x=\alpha t$ .

?

Задача 3728

Показать, что функция

u(x)=\int _{0}^{1}K(x,y)v(y)\, dy,

где

K(x,y)=\begin{cases} x(1-y), & \text{если } x\leq y; \\ y(1-x), & \text{если } x>y, \end{cases}

и $v(y)$ непрерывна, удовлетворяет уравнению

u''(x)=-v(x) \quad (0\leq x\leq 1).

?

Задача 3729

Найти $F''_{xy}(x,y)$ , если

F(x,y)=\int _{x/y}^{xy}(x-yz)f(z)\, dz,

где $f(z)$ — дифференцируемая функция.

?

Задача 3730

Пусть $f(x)$ — дважды дифференцируемая функция и $F(x)$ — дифференцируемая функция.

Доказать, что функция

u(x,t)=\frac{1}{2}\left[f(x-at)+f(x+at)\right]+\frac{1}{2a}\int _{x-at}^{x+at}F(z)\, dz

удовлетворяет уравнению колебаний струны

\frac{\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}=a^{2}\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}

и начальным условиям: $u(x,0)=f(x)$ , $u'_{t}(x,0)=F(x)$ .

?

Задача 3731

Показать, что если функция $f(x)$ непрерывна на сегменте $\left[0,l\right]$ и $(x-\xi )^{2}+y^{2}+z^{2}\neq 0$ при $0\leq \xi \leq l$ , то функция

u(x,y,z)=\int _{0}^{l}\frac{f(\xi )\, d\xi }{\sqrt{(x-\xi )^{2}+y^{2}+z^{2}}}

удовлетворяет уравнению Лапласа

\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}=0.

Применяя дифференцирование по параметру, вычислить следующие интегралы:

?

Задача 3732

Применяя дифференцирование по параметру, вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{\pi /2}\ln (a^{2}\sin^{2}x+b^{2}\cos^{2}x)\, dx$ .

?

Задача 3733

Применяя дифференцирование по параметру, вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{\pi }\ln (1-2a\cos x+a^{2})\, dx$ .

?

Задача 3734

Применяя дифференцирование по параметру, вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{\pi /2}\frac{\arctg (a\tg x)}{\tg x}\, dx$ .

?

Задача 3735

Применяя дифференцирование по параметру, вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{\pi /2}\ln \frac{1+a\cos x}{1-a\cos x}\cdot \frac{dx}{\cos x}$ $(\left|a\right|<1)$ .

?

Задача 3736

Пользуясь формулой

\frac{\arctg x}{x}=\int _{0}^{1}\frac{dy}{1+x^{2}y^{2}},

вычислить интеграл

\int _{0}^{1}\frac{\arctg x}{x}\cdot \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}.

?

Задача 3737

Применяя интегрирование под знаком интеграла, вычислить интеграл

\int _{0}^{1}\frac{x^{b}-x^{a}}{\ln x}\, dx \quad (a>0,\ b>0).

?

Задача 3738

(а)(б)

Вычислить интегралы:

?

(а)

$\displaystyle \int_{0}^{1}\sin \left(\ln \frac{1}{x}\right)\frac{x^{b}-x^{a}}{\ln x}\, dx$ ;

(б)

$\displaystyle \int_{0}^{1}\cos \left(\ln \frac{1}{x}\right)\frac{x^{b}-x^{a}}{\ln x}\, dx$ $(a>0,\ b>0)$ .

Задача 3739

(а)(б)

Пусть $F(k)$ и $E(k)$ — полные эллиптические интегралы (см. задачу 3725). Доказать формулы

?

(а)

$\displaystyle \int_{0}^{k}F(k)k\, dk=E(k)-k_{1}^{2}F(k)$ ;

(б)

$\displaystyle \int_{0}^{k}E(k)k\, dk=\frac{1}{3}\left[(1+k^{2})E(k)-k_{1}^{2}F(k)\right]$ ,

где $k_{1}^{2}=1-k^{2}$ .

Задача 3740

Доказать формулу

\int _{0}^{x}xJ_{0}(x)\, dx=xJ_{1}(x),

где $J_{0}(x)$ и $J_{1}(x)$ — функции Бесселя индексов $0$ и $1$ (см. задачу 3726).

?

Собственные интегралы, зависящие от параметра