7.5

Интегральная формула Фурье

[20/100%]
Показать
LaTeX
Задача 3881

Представить интегралом Фурье функцию

f(x)={1,если ∣x∣<1;0,если ∣x∣>1. f(x)=\begin{cases} 1, & \text{если } \left|x\right|<1; \\ 0, & \text{если } \left|x\right|>1. \end{cases}
?
Задача 3882

Представить интегралом Фурье функцию

f(x)={sign⁡x,если ∣x∣<1;0,если ∣x∣>1. f(x)=\begin{cases} \operatorname {sign} x, & \text{если } \left|x\right|<1; \\ 0, & \text{если } \left|x\right|>1. \end{cases}
?
Задача 3883

Представить интегралом Фурье функцию f(x)=sign⁡(x−a)−sign⁡(x−b)f(x)=\operatorname {sign}(x-a)-\operatorname {sign}(x-b) (b>a)(b>a).

?
Задача 3884

Представить интегралом Фурье функцию

f(x)={h(1−∣x∣a),если ∣x∣≤a;0,если ∣x∣>a. f(x)=\begin{cases} h\left(1-\dfrac {\left|x\right|}{a}\right), & \text{если } \left|x\right|\leq a; \\ 0, & \text{если } \left|x\right|>a. \end{cases}
?
Задача 3885

Представить интегралом Фурье функцию f(x)=1a2+x2f(x)=\dfrac {1}{a^{2}+x^{2}} (a>0)(a>0).

?
Задача 3886

Представить интегралом Фурье функцию f(x)=xa2+x2f(x)=\dfrac {x}{a^{2}+x^{2}} (a>0)(a>0).

?
Задача 3887

Представить интегралом Фурье функцию

f(x)={sin⁡x,если ∣x∣≤π;0,если ∣x∣>π. f(x)=\begin{cases} \sin x, & \text{если } \left|x\right|\leq \pi ; \\ 0, & \text{если } \left|x\right|>\pi . \end{cases}
?
Задача 3888

Представить интегралом Фурье функцию

f(x)={cos⁡x,если ∣x∣≤π2;0,если ∣x∣>π2. f(x)=\begin{cases} \cos x, & \text{если } \left|x\right|\leq \dfrac {\pi }{2}; \\ 0, & \text{если } \left|x\right|>\dfrac {\pi }{2}. \end{cases}
?
Задача 3889

Представить интегралом Фурье функцию

f(t)={Asin⁡ωt,если ∣t∣≤2πnω;0,если ∣t∣>2πnω f(t)=\begin{cases} A\sin \omega t, & \text{если } \left|t\right|\leq \dfrac {2\pi n}{\omega }; \\ 0, & \text{если } \left|t\right|>\dfrac {2\pi n}{\omega } \end{cases}

(nn — натуральное число).

?
Задача 3890

Представить интегралом Фурье функцию f(x)=e−α∣x∣f(x)=e^{-\alpha \left|x\right|} (α>0)(\alpha >0).

?
Задача 3891

Представить интегралом Фурье функцию f(x)=e−α∣x∣cos⁡βxf(x)=e^{-\alpha \left|x\right|}\cos \beta x (α>0)(\alpha >0).

?
Задача 3892

Представить интегралом Фурье функцию f(x)=e−α∣x∣sin⁡βxf(x)=e^{-\alpha \left|x\right|}\sin \beta x (α>0)(\alpha >0).

?
Задача 3893

Представить интегралом Фурье функцию f(x)=e−x2f(x)=e^{-x^{2}}.

?
Задача 3894

Представить интегралом Фурье функцию f(x)=xe−x2f(x)=xe^{-x^{2}}.

?
Задача 3895

Функцию f(x)=e−xf(x)=e^{-x} (0<x<+∞)(0<x<+\infty ) представить интегралом Фурье, продолжая ее:

?
(а)

четным образом;

(б)

нечетным образом.

Задача 3896

Найти преобразование Фурье

F(x)=12π∫−∞+∞f(t)e−itx dt=12πlim⁡l→+∞∫−llf(t)e−itx dt F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-itx}\, dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\lim _{l\to +\infty }\int _{-l}^{l}f(t)e^{-itx}\, dt

для функции f(t)f(t), если f(x)=e−α∣x∣f(x)=e^{-\alpha \left|x\right|} (α>0)(\alpha >0).

?
Задача 3897

Найти преобразование Фурье

F(x)=12π∫−∞+∞f(t)e−itx dt=12πlim⁡l→+∞∫−llf(t)e−itx dt F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-itx}\, dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\lim _{l\to +\infty }\int _{-l}^{l}f(t)e^{-itx}\, dt

для функции f(t)f(t), если f(x)=xe−α∣x∣f(x)=xe^{-\alpha \left|x\right|} (α>0)(\alpha >0).

?
Задача 3898

Найти преобразование Фурье

F(x)=12π∫−∞+∞f(t)e−itx dt=12πlim⁡l→+∞∫−llf(t)e−itx dt F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-itx}\, dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\lim _{l\to +\infty }\int _{-l}^{l}f(t)e^{-itx}\, dt

для функции f(t)f(t), если f(x)=e−x2/2f(x)=e^{-x^{2}/2}.

?
Задача 3899

Найти преобразование Фурье

F(x)=12π∫−∞+∞f(t)e−itx dt=12πlim⁡l→+∞∫−llf(t)e−itx dt F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-itx}\, dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\lim _{l\to +\infty }\int _{-l}^{l}f(t)e^{-itx}\, dt

для функции f(t)f(t), если f(x)=e−x2/2cos⁡αxf(x)=e^{-x^{2}/2}\cos \alpha x.

?
Задача 3900

Найти функции φ(x)\varphi (x) и ψ(x)\psi (x), если:

?
(а)

∫0+∞φ(y)cos⁡xy dy=11+x2\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\varphi (y)\cos xy\, dy=\frac{1}{1+x^{2}};

(б)

∫0+∞ψ(y)sin⁡xy dy=e−x\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\psi (y)\sin xy\, dy=e^{-x} (x>0)(x>0).