Банк задач по математике

Задача 3784

Пользуясь формулой

\int _{0}^{1}x^{n-1}\, dx=\frac{1}{n} \quad (n>0),

вычислить интеграл $I=\displaystyle \int_{0}^{1}x^{n-1}\ln^{m}x\, dx$ , где $m$ — натуральное число.

?

Задача 3785

Пользуясь формулой

\int _{0}^{+\infty }\frac{dx}{x^{2}+a}=\frac{\pi }{2\sqrt{a}} \quad (a>0),

вычислить интеграл $I=\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{dx}{(x^{2}+a)^{n+1}}$ , где $n$ — натуральное число.

?

Задача 3786

Доказать, что интеграл Дирихле

I(\alpha )=\int _{0}^{+\infty }\frac{\sin \alpha x}{x}\, dx

имеет при $\alpha \neq 0$ производную, однако ее нельзя найти с помощью правила Лейбница.

Указание. Положить $\alpha x=y$ .

?

Задача 3787

Показать, что функция

F(\alpha )=\int _{0}^{+\infty }\frac{\cos x}{1+(x+\alpha )^{2}}\, dx

непрерывна и дифференцируема в области $-\infty <\alpha <+\infty$ .

?

Задача 3788

Исходя из равенства

\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}=\int _{a}^{b}e^{-xy}\, dy,

вычислить интеграл

\int _{0}^{+\infty }\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}\, dx \quad (a>0,\ b>0).

?

Задача 3789

Доказать формулу Фруллани

\int _{0}^{+\infty }\frac{f(ax)-f(bx)}{x}\, dx=f(0)\ln \frac{b}{a} \quad (a>0,\ b>0),

где $f(x)$ — непрерывная функция и интеграл $\displaystyle \int_{A}^{+\infty }\frac{f(x)}{x}\, dx$ имеет смысл при любом $A>0$ .

Применяя формулу Фруллани, вычислить интегралы:

?

Задача 3790

Применяя формулу Фруллани, вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\cos ax-\cos bx}{x}\, dx$ $(a>0,\ b>0)$ .

?

Задача 3791

Применяя формулу Фруллани, вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\sin ax-\sin bx}{x}\, dx$ $(a>0,\ b>0)$ .

?

Задача 3792

Применяя формулу Фруллани, вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\arctg ax-\arctg bx}{x}\, dx$ $(a>0,\ b>0)$ .

?

Задача 3793

С помощью дифференцирования по параметру вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{e^{-\alpha x^{2}}-e^{-\beta x^{2}}}{x}\, dx$ $(\alpha >0,\ \beta >0)$ .

?

Задача 3794

С помощью дифференцирования по параметру вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\left(\frac{e^{-\alpha x}-e^{-\beta x}}{x}\right)^{2}dx$ $(\alpha >0,\ \beta >0)$ .

?

Задача 3795

С помощью дифференцирования по параметру вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{e^{-\alpha x}-e^{-\beta x}}{x}\sin mx\, dx$ $(\alpha >0,\ \beta >0)$ .

?

Задача 3796

С помощью дифференцирования по параметру вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{e^{-\alpha x}-e^{-\beta x}}{x}\cos mx\, dx$ $(\alpha >0,\ \beta >0)$ .

?

Задача 3797

Вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\ln (1-\alpha^{2}x^{2})}{x^{2}\sqrt{1-x^{2}}}\, dx$ $(\left|\alpha \right|\leq 1)$ .

?

Задача 3798

Вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\ln (1-\alpha^{2}x^{2})}{\sqrt{1-x^{2}}}\, dx$ $(\left|\alpha \right|\leq 1)$ .

?

Задача 3799

Вычислить интеграл $\displaystyle \int_{1}^{+\infty }\frac{\arctg \alpha x}{x^{2}\sqrt{x^{2}-1}}\, dx$ .

?

Задача 3800

Вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\ln (\alpha^{2}+x^{2})}{\beta^{2}+x^{2}}\, dx$ .

?

Задача 3801

Вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\arctg \alpha x\arctg \beta x}{x^{2}}\, dx$ .

?

Задача 3802

Вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\ln (1+\alpha^{2}x^{2})\ln (1+\beta^{2}x^{2})}{x^{4}}\, dx$ .

?

Задача 3803

Вычислить интеграл Эйлера — Пуассона

I=\int _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}\, dx,

исходя из формулы

I^{2}=\int _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}\, dx\int _{0}^{+\infty }xe^{-x^{2}y^{2}}\, dy.

?

Задача 3804

Пользуясь интегралом Эйлера — Пуассона, найти величину интеграла $\displaystyle \int_{-\infty }^{+\infty }e^{-(ax^{2}+2bx+c)}\, dx$ $(a>0,\ ac-b^{2}>0)$ .

?

Задача 3805

Пользуясь интегралом Эйлера — Пуассона, найти величину интеграла $\displaystyle \int_{-\infty }^{+\infty }(a_{1}x^{2}+2b_{1}x+c_{1})e^{-(ax^{2}+2bx+c)}\, dx$ $(a>0,\ ac-b^{2}>0)$ .

?

Задача 3806

Пользуясь интегралом Эйлера — Пуассона, найти величину интеграла $\displaystyle \int_{-\infty }^{+\infty }e^{-ax^{2}}\ch bx\, dx$ $(a>0)$ .

?

Задача 3807

Пользуясь интегралом Эйлера — Пуассона, найти величину интеграла $\displaystyle \int_{-\infty }^{+\infty }e^{-(x^{2}+a^{2}/x^{2})}\, dx$ $(a>0)$ .

?

Задача 3808

Пользуясь интегралом Эйлера — Пуассона, найти величину интеграла $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{e^{-\alpha x^{2}}-e^{-\beta x^{2}}}{x^{2}}\, dx$ $(\alpha >0,\ \beta >0)$ .

?

Задача 3809

Пользуясь интегралом Эйлера — Пуассона, найти величину интеграла $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }e^{-ax^{2}}\cos bx\, dx$ $(a>0)$ .

?

Задача 3810

Пользуясь интегралом Эйлера — Пуассона, найти величину интеграла $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }xe^{-ax^{2}}\sin bx\, dx$ $(a>0)$ .

?

Задача 3811

Пользуясь интегралом Эйлера — Пуассона, найти величину интеграла $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }x^{2n}e^{-x^{2}}\cos 2bx\, dx$ ( $n$ — натуральное число).

?

Задача 3811.1

Доказать, что

\lim _{x\to +\infty }\sqrt{x}\int _{-\delta }^{\delta }e^{-\alpha xt^{2}}\, dt=\sqrt{\frac{\pi }{a}} \quad (a>0,\ \delta >0).

?

Задача 3812

Исходя из интеграла

I(\alpha )=\int _{0}^{+\infty }e^{-\alpha x}\frac{\sin \beta x}{x}\, dx \quad (\alpha \geq 0),

вычислить интеграл Дирихле

D(\beta )=\int _{0}^{+\infty }\frac{\sin \beta x}{x}\, dx.

?

Задача 3812.1

Какой примерно вид имеет график интегрального синуса

y=\operatorname {Si}x,

где

\operatorname {Si}x=\int _{0}^{x}\frac{\sin t}{t}\, dt.

Используя интегралы Дирихле и Фруллани, найти величины интегралов:

?

Задача 3813

Используя интегралы Дирихле и Фруллани, найти величину интеграла $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{e^{-\alpha x^{2}}-\cos \beta x}{x^{2}}\, dx$ $(\alpha >0)$ .

?

Задача 3814

Используя интегралы Дирихле и Фруллани, найти величину интеграла $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\sin \alpha x\sin \beta x}{x}\, dx$ $(\left|\alpha \right|\neq \left|\beta \right|)$ .

?

Задача 3815

Используя интегралы Дирихле и Фруллани, найти величину интеграла $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\sin \alpha x\cos \beta x}{x}\, dx$ .

?

Задача 3816

Используя интегралы Дирихле и Фруллани, найти величину интеграла $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\sin^{3}\alpha x}{x}\, dx$ .

?

Задача 3817

Используя интегралы Дирихле и Фруллани, найти величину интеграла $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\left(\frac{\sin \alpha x}{x}\right)^{2}dx$ .

?

Задача 3818

Используя интегралы Дирихле и Фруллани, найти величину интеграла $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\left(\frac{\sin \alpha x}{x}\right)^{3}dx$ .

?

Задача 3819

Используя интегралы Дирихле и Фруллани, найти величину интеграла $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\sin^{4}x}{x^{2}}\, dx$ .

?

Задача 3820

Используя интегралы Дирихле и Фруллани, найти величину интеграла $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\sin^{4}\alpha x-\sin^{4}\beta x}{x}\, dx$ $(\alpha \beta \neq 0)$ .

?

Задача 3821

Используя интегралы Дирихле и Фруллани, найти величину интеграла $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\sin (x^{2})}{x}\, dx$ .

?

Задача 3822

Используя интегралы Дирихле и Фруллани, найти величину интеграла $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }e^{-kx}\frac{\sin \alpha x\sin \beta x}{x^{2}}\, dx$ $(k\geq 0,\ \alpha >0,\ \beta >0)$ .

?

Задача 3823

Найти разрывный множитель Дирихле

D(x)=\frac{2}{\pi }\int _{0}^{+\infty }\sin \lambda \cos \lambda x\, \frac{d\lambda }{\lambda }

для различных значений $x$ . Построить график функции $y=D(x)$ .

?

Задача 3824

(а)(б)

Вычислить интегралы:

?

(а)

$\text{v.\, p.}\displaystyle \int_{-\infty }^{+\infty }\frac{\sin ax}{x+b}\, dx$ ;

(б)

$\text{v.\, p.}\displaystyle \int_{-\infty }^{+\infty }\frac{\sin ax}{x+b}\, dx$ .

Задача 3825

Пользуясь формулой

\frac{1}{1+x^{2}}=\int _{0}^{+\infty }e^{-y(1+x^{2})}\, dy,

вычислить интеграл Лапласа

L=\int _{0}^{+\infty }\frac{\cos \alpha x}{1+x^{2}}\, dx.

?

Задача 3826

Вычислить интеграл $L_{1}=\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{x\sin \alpha x}{1+x^{2}}\, dx$ .

?

Задача 3827

Вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\sin^{2}x}{1+x^{2}}\, dx$ .

?

Задача 3828

Вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\cos \alpha x}{(1+x^{2})^{2}}\, dx$ .

?

Задача 3829

Вычислить интеграл $\displaystyle \int_{-\infty }^{+\infty }\frac{\cos \alpha x}{ax^{2}+2bx+c}\, dx$ $(a>0,\ ac-b^{2}>0)$ .

?

Задача 3830

Пользуясь формулой

\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\int _{0}^{+\infty }e^{-xy^{2}}\, dy \quad (x>0),

вычислить интегралы Френеля

\int _{0}^{+\infty }\sin (x^{2})\, dx=\frac{1}{2}\int _{0}^{+\infty }\frac{\sin x}{\sqrt{x}}\, dx,

\int _{0}^{+\infty }\cos (x^{2})\, dx=\frac{1}{2}\int _{0}^{+\infty }\frac{\cos x}{\sqrt{x}}\, dx.

?

Задача 3831

Найти величину интеграла $\displaystyle \int_{-\infty }^{+\infty }\sin (ax^{2}+2bx+c)\, dx$ $(a\neq 0)$ .

?

Задача 3832

Найти величину интеграла $\displaystyle \int_{-\infty }^{+\infty }\sin x^{2}\cdot \cos 2ax\, dx$ .

?

Задача 3833

Найти величину интеграла $\displaystyle \int_{-\infty }^{+\infty }\cos x^{2}\cdot \cos 2ax\, dx$ .

?

Задача 3834

(а)(б)

Доказать формулы:

?

(а)

$\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\cos \alpha x}{a^{2}-x^{2}}\, dx=\frac{\pi }{2a}\sin a\alpha$ ;

(б)

$\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{x\sin \alpha x}{a^{2}-x^{2}}\, dx=-\frac{\pi }{2}\cos a\alpha$ ,

где $a\neq 0$ и интегралы понимаются в смысле главного значения Коши.

Задача 3835

Найти преобразование Лапласа

F(p)=\int _{0}^{+\infty }e^{-pt}f(t)\, dt \quad (p>0)

для функции $f(t)$ , если:

?

(а)

$f(t)=t^{n}$ ( $n$ — натуральное число);

(б)

$f(t)=\sqrt{t}$ ;

(в)

$f(t)=e^{\alpha t}$ ;

(г)

$f(t)=te^{-\alpha t}$ ;

(д)

$f(t)=\cos t$ ;

(е)

$f(t)=\dfrac {1-e^{-t}}{t}$ ;

(ж)

$f(t)=\sin \alpha \sqrt{t}$ .

Задача 3836

Доказать формулу (интеграл Липшица)

\int _{0}^{+\infty }e^{-at}J_{0}(bt)\, dt=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \quad (a>0),

где $\displaystyle J_{0}(x)=\frac{1}{\pi }\int_{0}^{\pi }\cos (x\sin \varphi )\, d\varphi$ — функция Бесселя 0-го индекса (см. задачу 3726).

?

Задача 3837

(а)(б)(в)(г)

Найти преобразование Вейерштрасса

F(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-(x-y)^{2}}f(y)\, dy,

если:

?

(а)

$f(y)=1$ ;

(б)

$f(y)=y^{2}$ ;

(в)

$f(y)=e^{2ay}$ ;

(г)

$f(y)=\cos ay$ .

Задача 3838

Многочлены Чебышева — Эрмита определяются формулами

H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}\frac{d^{n}}{dx^{n}}(e^{-x^{2}}) \quad (n=0,1,2,\ldots ).

Доказать, что

\int _{-\infty }^{+\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)e^{-x^{2}}\, dx=\begin{cases} 0, & \text{если } m\neq n; \\ 2^{n}n!\sqrt{\pi }, & \text{если } m=n. \end{cases}

?

Задача 3839

Вычислить интеграл

\varphi (x)=\frac{1}{2\pi \sigma _{1}\sigma _{2}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-\frac{1}{2}\left[\frac{\xi ^{2}}{\sigma _{1}^{2}}+\frac{(x-\xi )^{2}}{\sigma _{2}^{2}}\right]}\, d\xi \quad (\sigma _{1}>0,\ \sigma _{2}>0),

имеющий важное значение в теории вероятностей.

?

Задача 3840

Пусть функция $f(x)$ непрерывна и абсолютно интегрируема на промежутке $(-\infty ,+\infty )$ .

Доказать, что интеграл

u(x,t)=\frac{1}{2a\sqrt{\pi t}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(\xi )\, e^{-\frac{(\xi -x)^{2}}{4a^{2}t}}\, d\xi

удовлетворяет уравнению теплопроводности

\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{a^{2}}\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}

и начальному условию $\displaystyle \lim_{t\to +0}u(x,t)=f(x)$ .

?

Дифференцирование и интегрирование несобственных интегралов под знаком интеграла