Эйлеровы интегралы

Доказать, что гамма-функция $\Gamma (x)$ непрерывна и обладает непрерывными производными всех порядков в области $x>0$.

Доказать, что бета-функция $B(x,y)$ непрерывна и обладает непрерывными производными всех порядков в области $x>0$, $y>0$.

С помощью эйлеровых интегралов вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{1}\sqrt{x-x^{2}}\, dx$.

С помощью эйлеровых интегралов вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{a}x^{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\, dx$ $(a>0)$.

С помощью эйлеровых интегралов вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\sqrt[4]{x}}{(1+x)^{2}}\, dx$.

С помощью эйлеровых интегралов вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{dx}{1+x^{3}}$.

С помощью эйлеровых интегралов вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{x^{2}\, dx}{1+x^{4}}$.

С помощью эйлеровых интегралов вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{\pi /2}\sin^{6}x\cdot \cos^{4}x\, dx$.

С помощью эйлеровых интегралов вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt[n]{1-x^{n}}}$ $(n>1)$.

С помощью эйлеровых интегралов вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }x^{2n}e^{-x^{2}}\, dx$ ($n$ — целое положительное).

Определить область существования и выразить через эйлеровы интегралы интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{x^{m-1}}{1+x^{n}}\, dx$ $(n>0)$.

Определить область существования и выразить через эйлеровы интегралы интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{x^{m-1}}{(1+x)^{n}}\, dx$.

Определить область существования и выразить через эйлеровы интегралы интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{x^{m}\, dx}{(a+bx^{n})^{p}}$ $(a>0,\ b>0,\ n>0)$.

Определить область существования и выразить через эйлеровы интегралы интеграл $\displaystyle \int_{a}^{b}\frac{(x-a)^{m}(b-x)^{n}}{(x+c)^{m+n+2}}\, dx$ $(0<a<b,\ c>0)$.

Определить область существования и выразить через эйлеровы интегралы интеграл $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt[n]{1-x^{m}}}$ $(m>0)$.

Определить область существования и выразить через эйлеровы интегралы интеграл $\displaystyle \int_{0}^{\pi /2}\sin^{m}x\cos^{n}x\, dx$.

Определить область существования и выразить через эйлеровы интегралы интеграл $\displaystyle \int_{0}^{\pi /2}\tg^{n}x\, dx$.

Определить область существования и выразить через эйлеровы интегралы интеграл $\displaystyle \int_{0}^{\pi }\frac{\sin^{n-1}x}{(1+k\cos x)^{n}}\, dx$ $(0<\left|k\right|<1)$.

Определить область существования и выразить через эйлеровы интегралы интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }e^{-x^{n}}\, dx$ $(n>0)$.

Определить область существования и выразить через эйлеровы интегралы интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }x^{m}e^{-x^{n}}\, dx$.

Определить область существования и выразить через эйлеровы интегралы интеграл $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\ln \frac{1}{x}\right)^{p}dx$.

Определить область существования и выразить через эйлеровы интегралы интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }x^{p}e^{-ax}\ln x\, dx$ $(a>0)$.

Определить область существования и выразить через эйлеровы интегралы интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{x^{p-1}\ln x}{1+x}\, dx$.

Определить область существования и выразить через эйлеровы интегралы интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{x^{p-1}\ln^{2}x}{1+x}\, dx$.

Определить область существования и выразить через эйлеровы интегралы интеграл $\displaystyle \int_{0}^{\infty }\frac{x\ln x}{1+x^{3}}\, dx$.

Определить область существования и выразить через эйлеровы интегралы интеграл $\displaystyle \int_{0}^{\infty }\frac{\ln^{2}x}{1+x^{4}}\, dx$.

Определить область существования и выразить через эйлеровы интегралы интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{x^{p-1}-x^{q-1}}{(1+x)\ln x}\, dx$.

Определить область существования и выразить через эйлеровы интегралы интеграл $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{x^{p-1}-x^{-p}}{1-x}\, dx$ $(0<p<1)$.

Указание. Этот интеграл можно рассматривать как $\displaystyle \lim_{\varepsilon \to +0}\left[B(p,\varepsilon )-B(1-p,\varepsilon )\right]$.

Определить область существования и выразить через эйлеровы интегралы интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\sh \alpha x}{\sh \beta x}\, dx$ $(0<\alpha <\beta )$.

Определить область существования и выразить через эйлеровы интегралы интеграл $\displaystyle \int_{0}^{1}\ln \Gamma (x)\, dx$.

Определить область существования и выразить через эйлеровы интегралы интеграл $\displaystyle \int_{a}^{a+1}\ln \Gamma (x)\, dx$ $(a>0)$.

Определить область существования и выразить через эйлеровы интегралы интеграл $\displaystyle \int_{0}^{1}\ln \Gamma (x)\sin \pi x\, dx$.

Определить область существования и выразить через эйлеровы интегралы интеграл $\displaystyle \int_{0}^{1}\ln \Gamma (x)\cos 2n\pi x\, dx$ ($n$ — натуральное число).

Доказать равенство

Доказать равенство

Доказать равенство

Доказать равенство

Используя равенство $\dfrac {1}{x^{m}}=\dfrac {1}{\Gamma (m)}\displaystyle \int_{0}^{+\infty }t^{m-1}e^{-xt}\, dt$ $(x>0)$, найти интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\cos ax}{x^{m}}\, dx$ $(0<m<1)$.

Используя равенство $\dfrac {1}{x^{m}}=\dfrac {1}{\Gamma (m)}\displaystyle \int_{0}^{+\infty }t^{m-1}e^{-xt}\, dt$ $(x>0)$, найти интеграл $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\sin ax}{x^{m}}\, dx$ $(0<m<2)$.

Доказать формулы Эйлера:

Найти длину дуги кривой $r^{n}=a^{n}\cos n\varphi$ $(a>0$, $n$ — натуральное$)$.

Найти площадь, ограниченную кривой $\left|x\right|^{n}+\left|y\right|^{n}=a^{n}$ $(n>0,\ a>0)$.