Глава 3

Неопределенный интеграл

[563/100%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

3.1 · Простейшие интегралы[243/100%]

Задача 1628

Применяя таблицу простейших интегралов, найти интеграл: $\displaystyle \int (3-x^{2})^{3} dx$ .

Задача 1629

Применяя таблицу простейших интегралов, найти интеграл: $\displaystyle \int x^{2}(5-x)^{4} dx$ .

Задача 1630

Применяя таблицу простейших интегралов, найти интеграл: $\displaystyle \int (1-x)(1-2x)(1-3x) dx$ .

Задача 1631

Применяя таблицу простейших интегралов, найти интеграл: $\displaystyle \int \left(\dfrac {1-x}{x}\right)^{2} dx$ .

Задача 1632

Применяя таблицу простейших интегралов, найти интеграл: $\displaystyle \int \left(\dfrac {a}{x}+\dfrac {a^{2}}{x^{2}}+\dfrac {a^{3}}{x^{3}}\right) dx$ .

Задача 1633

Применяя таблицу простейших интегралов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x+1}{\sqrt{x}} dx$ .

Задача 1634

Применяя таблицу простейших интегралов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x^{2}}+1}{\sqrt[4]{x}} dx$ .

Задача 1635

Применяя таблицу простейших интегралов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {(1-x)^{3}}{x\sqrt[3]{x}} dx$ .

Задача 1636

Применяя таблицу простейших интегралов, найти интеграл: $\displaystyle \int \left(1-\dfrac {1}{x^{2}}\right)\sqrt{x\sqrt{x}} dx$ .

Задача 1637

Применяя таблицу простейших интегралов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {(\sqrt{2x}-\sqrt[3]{3x})^{2}}{x} dx$ .

Задача 1638

Применяя таблицу простейших интегралов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sqrt{x^{4}+x^{-4}+2}}{x^{3}} dx$ .

Задача 1639

Применяя таблицу простейших интегралов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{2} dx}{1+x^{2}}$ .

Задача 1640

Применяя таблицу простейших интегралов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{2} dx}{1-x^{2}}$ .

Задача 1641

Применяя таблицу простейших интегралов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{2}+3}{x^{2}-1} dx$ .

Задача 1642

Применяя таблицу простейших интегралов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}}}{\sqrt{1-x^{4}}} dx$ .

Задача 1643

Применяя таблицу простейших интегралов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1}}{\sqrt{x^{4}-1}} dx$ .

Задача 1644

Применяя таблицу простейших интегралов, найти интеграл: $\displaystyle \int (2^{x}+3^{x})^{2} dx$ .

Задача 1645

Применяя таблицу простейших интегралов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {2^{x+1}-5^{x-1}}{10^{x}} dx$ .

Задача 1646

Применяя таблицу простейших интегралов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {e^{3x}+1}{e^{x}+1} dx$ .

Задача 1647

Применяя таблицу простейших интегралов, найти интеграл: $\displaystyle \int (1+\sin x+\cos x) dx$ .

Задача 1648

Применяя таблицу простейших интегралов, найти интеграл: $\displaystyle \int \sqrt{1-\sin 2x}\, dx$ .

Задача 1649

Применяя таблицу простейших интегралов, найти интеграл: $\displaystyle \int \ctg^{2}x\, dx$ .

Задача 1650

Применяя таблицу простейших интегралов, найти интеграл: $\displaystyle \int \tg^{2}x\, dx$ .

Задача 1651

Применяя таблицу простейших интегралов, найти интеграл: $\displaystyle \int (a\sh x+b\ch x) dx$ .

Задача 1652

Применяя таблицу простейших интегралов, найти интеграл: $\displaystyle \int \th^{2}x\, dx$ .

Задача 1653

Применяя таблицу простейших интегралов, найти интеграл: $\displaystyle \int \cth^{2}x\, dx$ .

Задача 1654

Доказать, что если $\displaystyle \int f(x) dx=F(x)+C$ , то

\int f(ax+b) dx=\dfrac {1}{a}F(ax+b)+C \quad (a\neq 0).

Задача 1655

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{x+a}$ .

Задача 1656

Найти интеграл: $\displaystyle \int (2x-3)^{10} dx$ .

Задача 1657

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sqrt[3]{1-3x}\, dx$ .

Задача 1658

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sqrt{2-5x}}$ .

Задача 1659

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(5x-2)^{5/2}}$ .

Задача 1660

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sqrt[5]{1-2x+x^{2}}}{1-x} dx$ .

Задача 1661

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{2+3x^{2}}$ .

Задача 1662

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{2-3x^{2}}$ .

Задача 1663

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sqrt{2-3x^{2}}}$ .

Задача 1664

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sqrt{3x^{2}-2}}$ .

Задача 1665

Найти интеграл: $\displaystyle \int (e^{-x}+e^{-2x}) dx$ .

Задача 1666

Найти интеграл: $\displaystyle \int (\sin 5x-\sin 5a) dx$ .

Задача 1667

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sin^{2}\left(2x+\dfrac {\pi }{4}\right)}$ .

Задача 1668

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{1+\cos x}$ .

Задача 1669

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{1-\cos x}$ .

Задача 1670

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{1+\sin x}$ .

Задача 1671

Найти интеграл: $\displaystyle \int \left[\sh (2x+1)+\ch (2x-1)\right] dx$ .

Задача 1672

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\ch^{2}\dfrac {x}{2}}$ .

Задача 1673

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sh^{2}\dfrac {x}{2}}$ .

Задача 1674

Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x\, dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$ .

Задача 1675

Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти интеграл: $\displaystyle \int x^{2}\sqrt[3]{1+x^{3}}\, dx$ .

Задача 1676

Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x\, dx}{3-2x^{2}}$ .

Задача 1677

Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x\, dx}{(1+x^{2})^{2}}$ .

Задача 1678

Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x\, dx}{4+x^{4}}$ .

Задача 1679

Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{3} dx}{x^{8}-2}$ .

Задача 1680

Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(1+x)\sqrt{x}}$ .

Задача 1681

Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти интеграл: $\displaystyle \int \sin \dfrac {1}{x}\cdot \dfrac {dx}{x^{2}}$ .

Задача 1682

Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{x\sqrt{x^{2}+1}}$ .

Задача 1683

Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{x\sqrt{x^{2}-1}}$ .

Задача 1684

Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(x^{2}+1)^{3/2}}$ .

Задача 1685

Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x\, dx}{(x^{2}-1)^{3/2}}$ .

Задача 1686

Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{2} dx}{(8x^{3}+27)^{2/3}}$ .

Задача 1687

Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sqrt{x(1+x)}}$ .

Задача 1688

Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sqrt{x(1-x)}}$ .

Задача 1689

Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти интеграл: $\displaystyle \int xe^{-x^{2}} dx$ .

Задача 1690

Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {e^{x} dx}{2+e^{x}}$ .

Задача 1691

Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{e^{x}+e^{-x}}$ .

Задача 1692

Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sqrt{1+e^{2x}}}$ .

Задача 1693

Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\ln^{2}x}{x} dx$ .

Задача 1694

Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{x\ln x\ln (\ln x)}$ .

Задача 1695

Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти интеграл: $\displaystyle \int \sin^{5}x\cos x\, dx$ .

Задача 1696

Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin x}{\sqrt{\cos^{3}x}} dx$ .

Задача 1697

Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти интеграл: $\displaystyle \int \tg x\, dx$ .

Задача 1698

Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти интеграл: $\displaystyle \int \ctg x\, dx$ .

Задача 1699

Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin x+\cos x}{\sqrt[3]{\sin x-\cos x}} dx$ .

Задача 1700

Путем надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin x\cos x}{\sqrt{a^{2}\sin^{2}x+b^{2}\cos^{2}x}} dx$ .

Задача 1700.1

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin x}{\sqrt{\cos 2x}} dx$ .

Задача 1700.1

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin x}{\sqrt{\cos 2x}} dx$ .

Задача 1700.2

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\cos x}{\sqrt{\cos 2x}} dx$ .

Задача 1700.2

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\cos x}{\sqrt{\cos 2x}} dx$ .

Задача 1700.3

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sh x}{\sqrt{\ch 2x}} dx$ .

Задача 1700.3

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sh x}{\sqrt{\ch 2x}} dx$ .

Задача 1701

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sin^{2}x\sqrt[4]{\ctg x}}$ .

Задача 1702

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sin^{2}x+2\cos^{2}x}$ .

Задача 1703

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sin x}$ .

Задача 1704

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\cos x}$ .

Задача 1705

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sh x}$ .

Задача 1706

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\ch x}$ .

Задача 1707

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sh x\ch x}{\sqrt{\sh^{4}x+\ch^{4}x}} dx$ .

Задача 1708

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\ch^{2}x\sqrt[3]{\th^{2}x}}$ .

Задача 1709

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\arctg x}{1+x^{2}} dx$ .

Задача 1710

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(\arcsin x)^{2}\sqrt{1-x^{2}}}$ .

Задача 1711

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sqrt{\dfrac {\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}{1+x^{2}}} dx$ .

Задача 1712

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{2}+1}{x^{4}+1} dx$ .

Задача 1713

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{2}-1}{x^{4}+1} dx$ .

Задача 1714

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{4} dx}{(x^{5}+1)^{4}}$ .

Задача 1715

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{n/2} dx}{\sqrt{1+x^{n+2}}}$ .

Задача 1716

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {1}{1-x^{2}}\ln \dfrac {1+x}{1-x}\, dx$ .

Задача 1717

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\cos x\, dx}{\sqrt{2+\cos 2x}}$ .

Задача 1718

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin x\cos x}{\sin^{4}x+\cos^{4}x} dx$ .

Задача 1719

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {2^{x}\cdot 3^{x}}{9^{x}-4^{x}} dx$ .

Задача 1720

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x\, dx}{\sqrt{1+x^{2}+\sqrt{(1+x^{2})^{3}}}}$ .

Задача 1721

Применяя метод разложения, вычислить интеграл: $\displaystyle \int x^{2}(2-3x^{2})^{2} dx$ .

Задача 1721.1

Применяя метод разложения, вычислить интеграл: $\displaystyle \int x(1-x)^{10} dx$ .

Задача 1721.1

Применяя метод разложения, вычислить интеграл: $\displaystyle \int x(1-x)^{10} dx$ .

Задача 1722

Применяя метод разложения, вычислить интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {1+x}{1-x} dx$ .

Задача 1723

Применяя метод разложения, вычислить интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{2}}{1+x} dx$ .

Задача 1724

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{3}}{3+x} dx$ .

Задача 1725

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {(1+x)^{2}}{1+x^{2}} dx$ .

Задача 1726

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {(2-x)^{2}}{2-x^{2}} dx$ .

Задача 1727

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{2}}{(1-x)^{100}} dx$ .

Задача 1728

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{5}}{x+1} dx$ .

Задача 1729

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}$ .

Задача 1730

Найти интеграл: $\displaystyle \int x\sqrt{2-5x}\, dx$ .

Задача 1731

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x\, dx}{\sqrt[3]{1-3x}}$ .

Задача 1732

Найти интеграл: $\displaystyle \int x^{3}\sqrt[3]{1+x^{2}}\, dx$ .

Задача 1733

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(x-1)(x+3)}$ .

Задача 1734

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{x^{2}+x-2}$ .

Задача 1735

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)}$ .

Задача 1736

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(x^{2}-2)(x^{2}+3)}$ .

Задача 1737

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x\, dx}{(x+2)(x+3)}$ .

Задача 1738

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x\, dx}{x^{4}+3x^{2}+2}$ .

Задача 1739

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(x+a)^{2}(x+b)^{2}}$ ( $a\neq b$ ).

Задача 1740

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(x^{2}+a^{2})(x^{2}+b^{2})}$ ( $a^{2}\neq b^{2}$ ).

Задача 1741

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sin^{2}x\, dx$ .

Задача 1742

Найти интеграл: $\displaystyle \int \cos^{2}x\, dx$ .

Задача 1743

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sin x\sin (x+\alpha ) dx$ .

Задача 1744

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sin 3x\cdot \sin 5x\, dx$ .

Задача 1745

Найти интеграл: $\displaystyle \int \cos \dfrac {x}{2}\cdot \cos \dfrac {x}{3} dx$ .

Задача 1746

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sin \left(2x-\dfrac {\pi }{6}\right)\cos \left(3x+\dfrac {\pi }{6}\right) dx$ .

Задача 1747

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sin^{3}x\, dx$ .

Задача 1748

Найти интеграл: $\displaystyle \int \cos^{3}x\, dx$ .

Задача 1749

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sin^{4}x\, dx$ .

Задача 1750

Найти интеграл: $\displaystyle \int \cos^{4}x\, dx$ .

Задача 1751

Найти интеграл: $\displaystyle \int \ctg^{3}x\, dx$ .

Задача 1752

Найти интеграл: $\displaystyle \int \tg^{3}x\, dx$ .

Задача 1753

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sin^{2}3x\sin^{2}2x\, dx$ .

Задача 1754

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sin^{2}x\cos^{2}x}$ .

Задача 1755

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sin^{3}x\cdot \cos x}$ .

Задача 1756

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sin x\cos^{3}x}$ .

Задача 1757

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\cos^{3}x}{\sin x} dx$ .

Задача 1758

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\cos^{4}x}$ .

Задача 1759

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{1+e^{x}}$ .

Задача 1760

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {(1+e^{x})^{2}}{1+e^{2x}} dx$ .

Задача 1761

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sh^{2}x\, dx$ .

Задача 1762

Найти интеграл: $\displaystyle \int \ch^{2}x\, dx$ .

Задача 1763

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sh x\sh 2x\, dx$ .

Задача 1764

Найти интеграл: $\displaystyle \int \ch x\cdot \ch 3x\, dx$ .

Задача 1765

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sh^{2}x\ch^{2}x}$ .

Задача 1766

Применяя подходящую подстановку, найти интеграл: $\displaystyle \int x^{2}\sqrt[3]{1-x}\, dx$ .

Задача 1767

Применяя подходящую подстановку, найти интеграл: $\displaystyle \int x^{3}(1-5x^{2})^{10} dx$ .

Задача 1768

Применяя подходящую подстановку, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{3}}{\sqrt{2-x}} dx$ .

Задача 1769

Применяя подходящую подстановку, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{4}}{\sqrt{1-x^{2}}} dx$ .

Задача 1770

Применяя подходящую подстановку, найти интеграл: $\displaystyle \int x^{5}(2-5x^{3})^{2/3} dx$ .

Задача 1771

Применяя подходящую подстановку, найти интеграл: $\displaystyle \int \cos^{5}x\cdot \sqrt{\sin x}\, dx$ .

Задача 1772

Применяя подходящую подстановку, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin x\cos^{3}x}{1+\cos^{2}x} dx$ .

Задача 1773

Применяя подходящую подстановку, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin^{3}x}{\cos^{6}x} dx$ .

Задача 1774

Применяя подходящую подстановку, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\ln x\, dx}{x\sqrt{1+\ln x}}$ .

Задача 1775

Применяя подходящую подстановку, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{e^{x/2}+e^{x}}$ .

Задача 1776

Применяя подходящую подстановку, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sqrt{1+e^{x}}}$ .

Задача 1777

Применяя подходящую подстановку, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\arctg \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\cdot \dfrac {dx}{1+x}$ .

Задача 1778

Применяя тригонометрическую подстановку, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(1-x^{2})^{3/2}}$ .

Задача 1779

Применяя тригонометрическую подстановку, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{2} dx}{\sqrt{x^{2}-2}}$ .

Задача 1780

Применяя тригонометрическую подстановку, найти интеграл: $\displaystyle \int \sqrt{1-x^{2}}\, dx$ .

Задача 1781

Применяя тригонометрическую подстановку, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}$ .

Задача 1782

Применяя тригонометрическую подстановку, найти интеграл: $\displaystyle \int \sqrt{\dfrac {a+x}{a-x}}\, dx$ .

Задача 1783

Применяя тригонометрическую подстановку, найти интеграл: $\displaystyle \int x\sqrt{\dfrac {x}{2a-x}}\, dx$ .

Задача 1784

Применяя тригонометрическую подстановку, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}$ .

Задача 1785

Применяя тригонометрическую подстановку, найти интеграл: $\displaystyle \int \sqrt{(x-a)(b-x)}\, dx$ .

Задача 1786

Применяя гиперболическую подстановку, найти интеграл: $\displaystyle \int \sqrt{a^{2}+x^{2}}\, dx$ .

Задача 1787

Применяя гиперболическую подстановку, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{2}}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}} dx$ .

Задача 1788

Применяя гиперболическую подстановку, найти интеграл: $\displaystyle \int \sqrt{\dfrac {x-a}{x+a}}\, dx$ .

Задача 1789

Применяя гиперболическую подстановку, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sqrt{(x+a)(x+b)}}$ .

Задача 1790

Применяя гиперболическую подстановку, найти интеграл: $\displaystyle \int \sqrt{(x+a)(x+b)}\, dx$ .

Задача 1791

Применяя метод интегрирования по частям, найти интеграл: $\displaystyle \int \ln x\, dx$ .

Задача 1792

Применяя метод интегрирования по частям, найти интеграл: $\displaystyle \int x^{n}\ln x\, dx$ ( $n\neq -1$ ).

Задача 1793

Применяя метод интегрирования по частям, найти интеграл: $\displaystyle \int \left(\dfrac {\ln x}{x}\right)^{2} dx$ .

Задача 1794

Применяя метод интегрирования по частям, найти интеграл: $\displaystyle \int \sqrt{x}\ln^{2}x\, dx$ .

Задача 1795

Применяя метод интегрирования по частям, найти интеграл: $\displaystyle \int xe^{-x} dx$ .

Задача 1796

Применяя метод интегрирования по частям, найти интеграл: $\displaystyle \int x^{2}e^{-2x} dx$ .

Задача 1797

Применяя метод интегрирования по частям, найти интеграл: $\displaystyle \int x^{3}e^{-x^{2}} dx$ .

Задача 1798

Применяя метод интегрирования по частям, найти интеграл: $\displaystyle \int x\cos x\, dx$ .

Задача 1799

Применяя метод интегрирования по частям, найти интеграл: $\displaystyle \int x^{2}\sin 2x\, dx$ .

Задача 1800

Применяя метод интегрирования по частям, найти интеграл: $\displaystyle \int x\sh x\, dx$ .

Задача 1801

Применяя метод интегрирования по частям, найти интеграл: $\displaystyle \int x^{3}\ch 3x\, dx$ .

Задача 1802

Применяя метод интегрирования по частям, найти интеграл: $\displaystyle \int \arctg x\, dx$ .

Задача 1803

Применяя метод интегрирования по частям, найти интеграл: $\displaystyle \int \arcsin x\, dx$ .

Задача 1804

Применяя метод интегрирования по частям, найти интеграл: $\displaystyle \int x\arctg x\, dx$ .

Задача 1805

Применяя метод интегрирования по частям, найти интеграл: $\displaystyle \int x^{2}\arccos x\, dx$ .

Задача 1806

Применяя метод интегрирования по частям, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\arcsin x}{x^{2}} dx$ .

Задача 1807

Применяя метод интегрирования по частям, найти интеграл: $\displaystyle \int \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right) dx$ .

Задача 1808

Применяя метод интегрирования по частям, найти интеграл: $\displaystyle \int x\ln \dfrac {1+x}{1-x}\, dx$ .

Задача 1809

Применяя метод интегрирования по частям, найти интеграл: $\displaystyle \int \arctg \sqrt{x}\, dx$ .

Задача 1810

Применяя метод интегрирования по частям, найти интеграл: $\displaystyle \int \sin x\cdot \ln (\tg x) dx$ .

Задача 1811

Найти интеграл: $\displaystyle \int x^{5}e^{x^{2}} dx$ .

Задача 1812

Найти интеграл: $\displaystyle \int (\arcsin x)^{2} dx$ .

Задача 1813

Найти интеграл: $\displaystyle \int x(\arctg x)^{2} dx$ .

Задача 1814

Найти интеграл: $\displaystyle \int x^{2}\ln \dfrac {1-x}{1+x}\, dx$ .

Задача 1815

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}{\sqrt{1+x^{2}}} dx$ .

Задача 1816

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{2}}{(1+x^{2})^{2}} dx$ .

Задача 1817

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(a^{2}+x^{2})^{2}}$ ( $a\neq 0$ ).

Задача 1818

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sqrt{a^{2}-x^{2}}\, dx$ ( $a\neq 0$ ).

Задача 1819

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sqrt{x^{2}+a}\, dx$ .

Задача 1820

Найти интеграл: $\displaystyle \int x^{2}\sqrt{a^{2}+x^{2}}\, dx$ .

Задача 1821

Найти интеграл: $\displaystyle \int x\sin^{2}x\, dx$ .

Задача 1822

Найти интеграл: $\displaystyle \int e^{\sqrt{x}} dx$ .

Задача 1823

Найти интеграл: $\displaystyle \int x\sin \sqrt{x}\, dx$ .

Задача 1824

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {xe^{\arctg x}}{(1+x^{2})^{3/2}} dx$ .

Задача 1825

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {e^{\arctg x}}{(1+x^{2})^{3/2}} dx$ .

Задача 1826

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sin (\ln x)\, dx$ .

Задача 1827

Найти интеграл: $\displaystyle \int \cos (\ln x)\, dx$ .

Задача 1828

Найти интеграл: $\displaystyle \int e^{ax}\cos bx\, dx$ .

Задача 1829

Найти интеграл: $\displaystyle \int e^{ax}\sin bx\, dx$ .

Задача 1830

Найти интеграл: $\displaystyle \int e^{2x}\sin^{2}x\, dx$ .

Задача 1831

Найти интеграл: $\displaystyle \int (e^{x}-\cos x)^{2} dx$ .

Задача 1832

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\arcctg e^{x}}{e^{x}} dx$ .

Задача 1833

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\ln (\sin x)}{\sin^{2}x} dx$ .

Задача 1834

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x\, dx}{\cos^{2}x}$ .

Задача 1835

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {xe^{x}}{(x+1)^{2}} dx$ .

Задача 1836

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{a+bx^{2}}$ ( $ab\neq 0$ ).

Задача 1837

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{x^{2}-x+2}$ .

Задача 1838

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{3x^{2}-2x-1}$ .

Задача 1839

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x\, dx}{x^{4}-2x^{2}-1}$ .

Задача 1840

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {(x+1) dx}{x^{2}+x+1}$ .

Задача 1841

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x\, dx}{x^{2}-2x\cos \alpha +1}$ .

Задача 1842

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{3} dx}{x^{4}-x^{2}+2}$ .

Задача 1843

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{2} dx}{x^{6}-x^{3}-2}$ .

Задача 1844

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{3\sin^{2}x-8\sin x\cos x+5\cos^{2}x}$ .

Задача 1845

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sin x+2\cos x+3}$ .

Задача 1846

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sqrt{a+bx^{2}}}$ ( $b\neq 0$ ).

Задача 1847

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sqrt{1-2x-x^{2}}}$ .

Задача 1848

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {ax\, dx}{\sqrt{x+x^{2}}}$ .

Задача 1849

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sqrt{2x^{2}-x+2}}$ .

Задача 1850

Доказать, что если $y=ax^{2}+bx+c$ ( $a\neq 0$ ), то

\int \dfrac {dx}{\sqrt{y}}=\dfrac {1}{\sqrt{a}}\ln \left|\dfrac {y’}{2}+\sqrt{ay}\right|+C \quad \text{при } a>0

\int \dfrac {dx}{\sqrt{y}}=-\dfrac {1}{\sqrt{-a}}\arcsin \dfrac {-y’}{\sqrt{b^{2}-4ac}}+C \quad \text{при } a<0.

Задача 1851

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x\, dx}{\sqrt{5+x-x^{2}}}$ .

Задача 1852

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x+1}{\sqrt{x^{2}+x+1}} dx$ .

Задача 1853

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x\, dx}{\sqrt{1-3x^{2}-2x^{4}}}$ .

Задача 1853.1

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\cos x\, dx}{\sqrt{1+\sin x+\cos^{2}x}}$ .

Задача 1853.1

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\cos x\, dx}{\sqrt{1+\sin x+\cos^{2}x}}$ .

Задача 1854

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{3} dx}{\sqrt{x^{4}-2x^{2}-1}}$ .

Задача 1855

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x+x^{3}}{\sqrt{1+x^{2}-x^{4}}} dx$ .

Задача 1856

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{x\sqrt{x^{2}+x+1}}$ .

Задача 1857

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{x^{2}\sqrt{x^{2}+x-1}}$ .

Задача 1858

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(x+1)\sqrt{x^{2}+1}}$ .

Задача 1859

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(x-1)\sqrt{x^{2}-2}}$ .

Задача 1860

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(x+2)^{2}\sqrt{x^{2}+2x-5}}$ .

Задача 1861

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sqrt{2+x-x^{2}}\, dx$ .

Задача 1862

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sqrt{2+x+x^{2}}\, dx$ .

Задача 1863

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sqrt{x^{4}+2x^{2}-1}\cdot x\, dx$ .

Задача 1864

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {1-x+x^{2}}{x\sqrt{1+x-x^{2}}} dx$ .

Задача 1865

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{2}+1}{x\sqrt{x^{4}+1}} dx$ .

3.2 · Интегрирование рациональных функций[60/100%]

Задача 1866

Применяя метод неопределенных коэффициентов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {2x+3}{(x-2)(x+5)} dx$ .

Задача 1867

Применяя метод неопределенных коэффициентов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x\, dx}{(x+1)(x+2)(x+3)}$ .

Задача 1868

Применяя метод неопределенных коэффициентов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{10} dx}{x^{2}+x-2}$ .

Задача 1869

Применяя метод неопределенных коэффициентов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{3}+1}{x^{3}-5x^{2}+6x} dx$ .

Задача 1870

Применяя метод неопределенных коэффициентов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{4}}{x^{4}+5x^{2}+4} dx$ .

Задача 1871

Применяя метод неопределенных коэффициентов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x\, dx}{x^{3}-3x+2}$ .

Задача 1872

Применяя метод неопределенных коэффициентов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{2}+1}{(x+1)^{2}(x-1)} dx$ .

Задача 1873

Применяя метод неопределенных коэффициентов, найти интеграл: $\displaystyle \int \left(\dfrac {x}{x^{2}-3x+2}\right)^{2} dx$ .

Задача 1874

Применяя метод неопределенных коэффициентов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(x+1)(x+2)^{2}(x+3)^{3}}$ .

Задача 1875

Применяя метод неопределенных коэффициентов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{x^{3}+x^{4}-2x^{3}-2x^{2}+x+1}$ .

Задача 1876

Применяя метод неопределенных коэффициентов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{2}+5x+4}{x^{4}+5x^{2}+4} dx$ .

Задача 1877

Применяя метод неопределенных коэффициентов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(x+1)(x^{2}+1)}$ .

Задача 1878

Применяя метод неопределенных коэффициентов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(x^{2}-4x+4)(x^{2}-4x+5)}$ .

Задача 1879

Применяя метод неопределенных коэффициентов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x\, dx}{(x-1)^{2}(x^{2}+2x+2)}$ .

Задача 1880

Применяя метод неопределенных коэффициентов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{x(1+x)(1+x+x^{2})}$ .

Задача 1881

Применяя метод неопределенных коэффициентов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{x^{3}+1}$ .

Задача 1882

Применяя метод неопределенных коэффициентов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x\, dx}{x^{3}-1}$ .

Задача 1883

Применяя метод неопределенных коэффициентов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{x^{4}-1}$ .

Задача 1884

Применяя метод неопределенных коэффициентов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{x^{4}+1}$ .

Задача 1885

Применяя метод неопределенных коэффициентов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{x^{4}+x^{2}+1}$ .

Задача 1886

Применяя метод неопределенных коэффициентов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{x^{6}+1}$ .

Задача 1887

Применяя метод неопределенных коэффициентов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(1+x)(1+x^{2})(1+x^{3})}$ .

Задача 1888

Применяя метод неопределенных коэффициентов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{x^{6}-x^{4}+x^{3}-x^{2}+x-1}$ .

Задача 1889

Применяя метод неопределенных коэффициентов, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{2} dx}{x^{4}+3x^{3}+\dfrac {9}{2}x^{2}+3x+1}$ .

Задача 1890

При каком условии интеграл

\int \dfrac {ax^{2}+bx+c}{x^{3}(x-1)^{2}} dx

представляет собой рациональную функцию?

Задача 1891

Применяя метод Остроградского, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x\, dx}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}$ .

Задача 1892

Применяя метод Остроградского, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(x^{3}+1)^{2}}$ .

Задача 1893

Применяя метод Остроградского, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(x^{2}+1)^{2}}$ .

Задача 1894

Применяя метод Остроградского, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{2} dx}{(x^{2}+2x+2)^{2}}$ .

Задача 1895

Применяя метод Остроградского, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(x^{4}+1)^{2}}$ .

Задача 1896

Применяя метод Остроградского, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{2}+3x-2}{(x-1)(x^{2}+x+1)^{2}} dx$ .

Задача 1897

Применяя метод Остроградского, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(x^{4}-1)^{2}}$ .

Задача 1898

Выделить алгебраическую часть интеграла: $\displaystyle \int \dfrac {x^{2}+1}{(x^{4}+x^{2}+1)^{2}} dx$ .

Задача 1899

Выделить алгебраическую часть интеграла: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(x^{2}+x+1)^{3}}$ .

Задача 1900

Выделить алгебраическую часть интеграла: $\displaystyle \int \dfrac {4x^{5}-1}{(x^{5}+x+1)^{2}} dx$ .

Задача 1901

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+2x+1}$ .

Задача 1902

При каком условии интеграл

\int \dfrac {\alpha x^{2}+2\beta x+\gamma }{(ax^{2}+2bx+c)^{2}} dx

представляет собой рациональную функцию?

Задача 1903

Применяя различные приемы, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{9}}{(x-1)^{100}} dx$ .

Задача 1904

Применяя различные приемы, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x\, dx}{x^{8}-1}$ .

Задача 1905

Применяя различные приемы, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{3} dx}{x^{8}+3}$ .

Задача 1906

Применяя различные приемы, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{2}+x}{x^{4}+1} dx$ .

Задача 1907

Применяя различные приемы, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{4}-3}{x(x^{8}+3x^{4}+2)} dx$ .

Задача 1908

Применяя различные приемы, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{4} dx}{(x^{10}-10)^{2}}$ .

Задача 1909

Применяя различные приемы, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{11} dx}{x^{6}+3x^{4}+2}$ .

Задача 1910

Применяя различные приемы, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{9} dx}{(x^{10}+2x^{5}+2)^{2}}$ .

Задача 1911

Применяя различные приемы, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{2n-1}}{x^{n}+1} dx$ .

Задача 1912

Применяя различные приемы, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{3n-1}}{(x^{2n}+1)^{2}} dx$ .

Задача 1913

Применяя различные приемы, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{x(x^{10}+2)}$ .

Задача 1914

Применяя различные приемы, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{x(x^{10}+1)^{2}}$ .

Задача 1915

Применяя различные приемы, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {1-x^{7}}{x(1+x^{7})} dx$ .

Задача 1916

Применяя различные приемы, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{4}-1}{x(x^{4}-5)(x^{5}-5x+1)} dx$ .

Задача 1917

Применяя различные приемы, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{2}+1}{x^{4}+x^{2}+1} dx$ .

Задача 1918

Применяя различные приемы, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{2}-1}{x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1} dx$ .

Задача 1919

Применяя различные приемы, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{5}-x}{x^{8}+1} dx$ .

Задача 1920

Применяя различные приемы, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{4}+1}{x^{6}+1} dx$ .

Задача 1921

Вывести рекуррентную формулу для вычисления интеграла $\displaystyle I_{n}=\int \dfrac {dx}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}$ ( $a\neq 0$ ). Пользуясь этой формулой, вычислить $\displaystyle I_{3}=\int \dfrac {dx}{(x^{2}+x+1)^{3}}$ .

Задача 1922

Применить подстановку $t=\dfrac {x+a}{x+b}$ для вычисления интеграла $\displaystyle I=\int \dfrac {dx}{(x+a)^{m}(x+b)^{n}}$ ( $m$ и $n$ — натуральные числа). Пользуясь этой подстановкой, найти интеграл $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(x-2)^{2}(x+3)^{3}}$ .

Задача 1923

Вычислить $\displaystyle \int \dfrac {P_{n}(x)}{(x-a)^{n+1}} dx$ , если $P_{n}(x)$ есть многочлен степени $n$ относительно $x$ .

Задача 1924

Пусть $R(x)=R^{*}(x^{2})$ , где $R^{*}$ — рациональная функция. Какими особенностями обладает разложение функции $R(x)$ на рациональные дроби?

Задача 1925

Вычислить $\displaystyle \int \dfrac {dx}{1+x^{2n}}$ , где $n$ — целое положительное число.

3.3 · Интегрирование некоторых иррациональных функций[65/100%]

Задача 1926

С помощью приведения подынтегральной функции к рациональной, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{1+\sqrt{x}}$ .

Задача 1927

С помощью приведения подынтегральной функции к рациональной, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{x(1+2\sqrt{x}+\sqrt[3]{x})}$ .

Задача 1928

С помощью приведения подынтегральной функции к рациональной, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x\sqrt[3]{2+x}}{x+\sqrt[3]{2+x}} dx$ .

Задача 1929

С помощью приведения подынтегральной функции к рациональной, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {1-\sqrt{x+1}}{1+\sqrt[3]{x+1}} dx$ .

Задача 1930

С помощью приведения подынтегральной функции к рациональной, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(1+\sqrt[4]{x})^{3}\sqrt{x}}$ .

Задача 1931

С помощью приведения подынтегральной функции к рациональной, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}} dx$ .

Задача 1932

С помощью приведения подынтегральной функции к рациональной, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sqrt[3]{(x+1)^{2}(x-1)^{4}}}$ .

Задача 1933

С помощью приведения подынтегральной функции к рациональной, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x\, dx}{\sqrt[4]{x^{3}(a-x)}}$ ( $a>0$ ).

Задача 1934

С помощью приведения подынтегральной функции к рациональной, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sqrt[n]{(x-a)^{n+1}(x-b)^{n-1}}}$ ( $n$ — натуральное число).

Задача 1935

С помощью приведения подынтегральной функции к рациональной, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{1+\sqrt{x}+\sqrt{1+x}}$ .

Задача 1936

Доказать, что интеграл

\int R\left[x, (x-a)^{p/n}(x-b)^{q/n}\right] dx,

где $R$ — рациональная функция и $p$ , $q$ , $n$ — целые числа, является элементарной функцией, если

p+q=kn,

где $k$ — целое число.

Задача 1937

Найти интеграл от простейшей квадратичной иррациональности: $\displaystyle \int \dfrac {x^{2} dx}{\sqrt{1+x+x^{2}}}$ .

Задача 1938

Найти интеграл от простейшей квадратичной иррациональности: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(x+1)\sqrt{x^{2}+x+1}}$ .

Задача 1939

Найти интеграл от простейшей квадратичной иррациональности: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(1-x)^{2}\sqrt{1-x^{2}}}$ .

Задача 1940

Найти интеграл от простейшей квадратичной иррациональности: $\displaystyle \int \dfrac {\sqrt{x^{2}+2x+2}}{x} dx$ .

Задача 1941

Найти интеграл от простейшей квадратичной иррациональности: $\displaystyle \int \dfrac {x\, dx}{(1+x)\sqrt{1-x-x^{2}}}$ .

Задача 1942

Найти интеграл от простейшей квадратичной иррациональности: $\displaystyle \int \dfrac {1-x+x^{2}}{\sqrt{1+x-x^{2}}} dx$ .

Задача 1943

Применяя формулу $\displaystyle \int \dfrac {P_{n}(x)}{y} dx=Q_{n-1}(x)y+\lambda \int \dfrac {dx}{y}$ , где $y=\sqrt{ax^{2}+bx+c}$ , найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{3}}{\sqrt{1+2x-x^{2}}} dx$ .

Задача 1944

Применяя формулу $\displaystyle \int \dfrac {P_{n}(x)}{y} dx=Q_{n-1}(x)y+\lambda \int \dfrac {dx}{y}$ , найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{10} dx}{\sqrt{1+x^{2}}}$ .

Задача 1945

Применяя формулу $\displaystyle \int \dfrac {P_{n}(x)}{y} dx=Q_{n-1}(x)y+\lambda \int \dfrac {dx}{y}$ , найти интеграл: $\displaystyle \int x^{4}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\, dx$ .

Задача 1946

Применяя формулу $\displaystyle \int \dfrac {P_{n}(x)}{y} dx=Q_{n-1}(x)y+\lambda \int \dfrac {dx}{y}$ , найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{3}-6x^{2}+11x-6}{\sqrt{x^{2}+4x+3}} dx$ .

Задача 1947

Применяя формулу $\displaystyle \int \dfrac {P_{n}(x)}{y} dx=Q_{n-1}(x)y+\lambda \int \dfrac {dx}{y}$ , найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{x^{3}\sqrt{x^{2}+1}}$ .

Задача 1948

Применяя формулу $\displaystyle \int \dfrac {P_{n}(x)}{y} dx=Q_{n-1}(x)y+\lambda \int \dfrac {dx}{y}$ , найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{x^{4}\sqrt{x^{2}-1}}$ .

Задача 1949

Применяя формулу $\displaystyle \int \dfrac {P_{n}(x)}{y} dx=Q_{n-1}(x)y+\lambda \int \dfrac {dx}{y}$ , найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(x-1)^{3}\sqrt{x^{2}+3x+1}}$ .

Задача 1950

Применяя формулу $\displaystyle \int \dfrac {P_{n}(x)}{y} dx=Q_{n-1}(x)y+\lambda \int \dfrac {dx}{y}$ , найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(x+1)^{5}\sqrt{x^{2}+2x}}$ .

Задача 1951

При каком условии интеграл

\int \dfrac {a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1}}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}} dx

представляет собой алгебраическую функцию?

Задача 1952

Разлагая рациональную функцию на простейшие дроби, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x\, dx}{(x-1)^{2}\sqrt{1+2x-x^{2}}}$ .

Задача 1953

Разлагая рациональную функцию на простейшие дроби, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x\, dx}{(x^{2}-1)\sqrt{x^{2}-x-1}}$ .

Задача 1954

Разлагая рациональную функцию на простейшие дроби, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sqrt{x^{2}+x+1}}{(x+1)^{2}} dx$ .

Задача 1955

Разлагая рациональную функцию на простейшие дроби, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{3}}{(1+x)\sqrt{1+2x-x^{2}}} dx$ .

Задача 1956

Разлагая рациональную функцию на простейшие дроби, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x\, dx}{(x^{2}-3x+2)\sqrt{x^{2}-4x+3}}$ .

Задача 1957

Разлагая рациональную функцию на простейшие дроби, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(1+x^{2})\sqrt{1-x^{2}}}$ .

Задача 1958

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(x^{2}+1)\sqrt{x^{2}-1}}$ .

Задача 1959

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(1-x^{4})\sqrt{1+x^{2}}}$ .

Задача 1960

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sqrt{x^{2}+2}}{x^{2}+1} dx$ .

Задача 1961

Приводя квадратный трехчлен к каноническому виду, вычислить интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(x^{2}+x+1)\sqrt{x^{2}+x-1}}$ .

Задача 1962

Приводя квадратный трехчлен к каноническому виду, вычислить интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{2} dx}{(4-2x+x^{2})\sqrt{2+2x-x^{2}}}$ .

Задача 1963

Приводя квадратный трехчлен к каноническому виду, вычислить интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {(x+1) dx}{(x^{2}+x+1)\sqrt{x^{2}+x+1}}$ .

Задача 1964

С помощью дробно-линейной подстановки $x=\dfrac {\alpha +\beta t}{1+t}$ вычислить интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(x^{2}-x+1)\sqrt{x^{2}+x+1}}$ .

Задача 1965

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(x^{2}+2)\sqrt{2x^{2}-2x+5}}$ .

Задача 1966

Применяя подстановку Эйлера, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{x+\sqrt{x^{2}+x+1}}$ .

Задача 1967

Применяя подстановку Эйлера, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{1+\sqrt{1-2x-x^{2}}}$ .

Задача 1968

Применяя подстановку Эйлера, найти интеграл: $\displaystyle \int x\sqrt{x^{2}-2x+2}\, dx$ .

Задача 1969

Применяя подстановку Эйлера, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x-\sqrt{x^{2}+3x+2}}{x+\sqrt{x^{2}+3x+2}} dx$ .

Задача 1970

Применяя подстановку Эйлера, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{x\sqrt{x+1+x^{2}}}$ .

Задача 1971

Применяя подходящий метод, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1}}$ .

Задача 1972

Применяя подходящий метод, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x\, dx}{(1-x^{3})\sqrt{1-x^{2}}}$ .

Задача 1973

Применяя подходящий метод, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sqrt{2}+\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}$ .

Задача 1974

Применяя подходящий метод, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x+\sqrt{1+x+x^{2}}}{1+x+\sqrt{1+x+x^{2}}} dx$ .

Задача 1975

Применяя подходящий метод, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sqrt{x(x+1)}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} dx$ .

Задача 1976

Применяя подходящий метод, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {(x^{2}-1) dx}{(x^{2}+1)\sqrt{x^{4}+1}}$ .

Задача 1977

Применяя подходящий метод, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {(x^{2}+1) dx}{(x^{2}-1)\sqrt{x^{4}+1}}$ .

Задача 1978

Применяя подходящий метод, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{x\sqrt{x^{4}+2x^{2}-1}}$ .

Задача 1979

Применяя подходящий метод, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {(x^{2}+1) dx}{x\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}}$ .

Задача 1980

Доказать, что нахождение интеграла

\int R\left(x, \sqrt{ax+b}, \sqrt{cx+d}\right) dx,

где $R$ — рациональная функция, сводится к интегрированию рациональной функции.

Задача 1981

Применяя теорему Чебышева о дифференциальном биноме, найти интеграл: $\displaystyle \int \sqrt{x^{3}+x^{4}}\, dx$ .

Задача 1982

Применяя теорему Чебышева о дифференциальном биноме, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sqrt{x}}{(1+\sqrt[3]{x})^{2}} dx$ .

Задача 1983

Применяя теорему Чебышева о дифференциальном биноме, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x\, dx}{\sqrt{1+\sqrt[3]{x^{2}}}}$ .

Задача 1984

Применяя теорему Чебышева о дифференциальном биноме, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{5} dx}{\sqrt{1-x^{3}}}$ .

Задача 1985

Применяя теорему Чебышева о дифференциальном биноме, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sqrt[3]{1+x^{3}}}$ .

Задача 1986

Применяя теорему Чебышева о дифференциальном биноме, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sqrt[4]{1+x^{4}}}$ .

Задача 1987

Применяя теорему Чебышева о дифференциальном биноме, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{x\sqrt[6]{1+x^{6}}}$ .

Задача 1988

Применяя теорему Чебышева о дифференциальном биноме, найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{x^{8}\sqrt[5]{1+\dfrac {1}{x}}}$ .

Задача 1989

Применяя теорему Чебышева о дифференциальном биноме, найти интеграл: $\displaystyle \int \sqrt[3]{3x-x^{3}}\, dx$ .

Задача 1990

В каких случаях интеграл

\int \sqrt{1+x^{m}}\, dx,

где $m$ — рациональное число, представляет собой элементарную функцию?

3.4 · Интегрирование тригонометрических функций[76/100%]

Задача 1991

Найти интеграл: $\displaystyle \int \cos^{5}x\, dx$ .

Задача 1992

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sin^{6}x\, dx$ .

Задача 1993

Найти интеграл: $\displaystyle \int \cos^{6}x\, dx$ .

Задача 1994

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sin^{2}x\cos^{4}x\, dx$ .

Задача 1995

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sin^{4}x\cos^{5}x\, dx$ .

Задача 1996

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sin^{5}x\cos^{5}x\, dx$ .

Задача 1997

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin^{3}x}{\cos^{4}x} dx$ .

Задача 1998

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\cos^{4}x}{\sin^{3}x} dx$ .

Задача 1999

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sin^{3}x}$ .

Задача 2000

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\cos^{3}x}$ .

Задача 2001

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sin^{4}x\cos^{4}x}$ .

Задача 2002

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sin^{3}x\cos^{5}x}$ .

Задача 2003

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sin x\cos^{4}x}$ .

Задача 2004

Найти интеграл: $\displaystyle \int \tg^{5}x\, dx$ .

Задача 2005

Найти интеграл: $\displaystyle \int \ctg^{6}x\, dx$ .

Задача 2006

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin^{4}x}{\cos^{6}x} dx$ .

Задача 2007

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sqrt{\sin^{3}x\cos^{5}x}}$ .

Задача 2008

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\cos x\sqrt[3]{\sin^{2}x}}$ .

Задача 2009

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sqrt{\tg x}}$ .

Задача 2010

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sqrt[3]{\tg x}}$ .

Задача 2011

(а)(б)

Вывести формулы понижения для интегралов:

(а)

$I_{n}=\displaystyle \int \sin^{n}x\, dx$ ;

(б)

$K_{n}=\displaystyle \int \cos^{n}x\, dx$ ( $n>2$ )

и с их помощью вычислить $\displaystyle \int \sin^{6}x\, dx$ и $\displaystyle \int \cos^{8}x\, dx$ .

Задача 2012

(а)(б)

Вывести формулы понижения для интегралов:

(а)

$I_{n}=\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sin^{n}x}$ ;

(б)

$K_{n}=\displaystyle \int \dfrac {dx}{\cos^{n}x}$ ( $n>2$ )

и с их помощью вычислить $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sin^{5}x}$ и $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\cos^{7}x}$ .

Задача 2013

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sin 5x\cos x\, dx$ .

Задача 2014

Найти интеграл: $\displaystyle \int \cos x\cos 2x\cos 3x\, dx$ .

Задача 2015

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sin x\sin \dfrac {x}{2}\sin \dfrac {x}{3} dx$ .

Задача 2016

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sin x\sin (x+a)\sin (x+b) dx$ .

Задача 2017

Найти интеграл: $\displaystyle \int \cos^{2}ax\cos^{2}bx\, dx$ .

Задача 2018

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sin^{3}2x\cos^{2}3x\, dx$ .

Задача 2019

Применяя тождества для $\sin (\alpha -\beta )$ и $\cos (\alpha -\beta )$ , найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sin (x+a)\sin (x+b)}$ .

Задача 2020

Применяя тождества для $\sin (\alpha -\beta )$ и $\cos (\alpha -\beta )$ , найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sin (x+a)\cos (x+b)}$ .

Задача 2021

Применяя тождества для $\sin (\alpha -\beta )$ и $\cos (\alpha -\beta )$ , найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\cos (x+a)\cos (x+b)}$ .

Задача 2022

Применяя тождества для $\sin (\alpha -\beta )$ и $\cos (\alpha -\beta )$ , найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sin x-\sin \alpha }$ .

Задача 2023

Применяя тождества для $\sin (\alpha -\beta )$ и $\cos (\alpha -\beta )$ , найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\cos x+\cos a}$ .

Задача 2024

Применяя тождества для $\sin (\alpha -\beta )$ и $\cos (\alpha -\beta )$ , найти интеграл: $\displaystyle \int \tg x\cdot \tg (x+a) dx$ .

Задача 2025

(а)(б)

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{2\sin x-\cos x+5}$ .

(а)

(б)

Задача 2026

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(2+\cos x)\sin x}$ .

Задача 2027

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin^{2}x}{\sin x+2\cos x} dx$ .

Задача 2028

(а)(б)

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{1+\varepsilon \cos x}$ :

(а)

$0<\varepsilon <1$ ;

(б)

$\varepsilon >1$ .

Задача 2029

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin^{2}x}{1+\sin^{2}x} dx$ .

Задача 2030

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{a^{2}\sin^{2}x+b^{2}\cos^{2}x}$ .

Задача 2031

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\cos^{2}x\, dx}{(a^{2}\sin^{2}x+b^{2}\cos^{2}x)^{2}}$ .

Задача 2032

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin x\cos x}{\sin x+\cos x} dx$ .

Задача 2033

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(a\sin x+b\cos x)^{2}}$ .

Задача 2034

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin x\, dx}{\sin^{3}x+\cos^{3}x}$ .

Задача 2035

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sin^{4}x+\cos^{4}x}$ .

Задача 2036

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin^{2}x\cos^{2}x}{\sin^{6}x+\cos^{6}x} dx$ .

Задача 2037

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin^{2}x-\cos^{2}x}{\sin^{4}x+\cos^{4}x} dx$ .

Задача 2038

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin x\cos x}{1+\sin^{4}x} dx$ .

Задача 2039

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sin^{6}x+\cos^{6}x}$ .

Задача 2040

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(\sin^{2}x+2\cos^{2}x)^{2}}$ .

Задача 2041

Найти интеграл $\displaystyle \int \dfrac {dx}{a\sin x+b\cos x}$ , приведя знаменатель к логарифмическому виду.

Задача 2042

Доказать, что

\int \dfrac {a_{1}\sin x+b_{1}\cos x}{a\sin x+b\cos x} dx=Ax+B\ln \left|a\sin x+b\cos x\right|+C,

где $A$ , $B$ , $C$ — постоянные.

Задача 2043

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin x-\cos x}{\sin x+2\cos x} dx$ .

Задача 2043.1

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin x}{\sin x-3\cos x} dx$ .

Задача 2043.1

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin x}{\sin x-3\cos x} dx$ .

Задача 2044

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{3+5\tg x}$ .

Задача 2045

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {a_{1}\sin x+b_{1}\cos x}{(a\sin x+b\cos x)^{2}} dx$ .

Задача 2046

Доказать, что

\int \dfrac {a_{1}\sin x+b_{1}\cos x+c_{1}}{a\sin x+b\cos x+c} dx=Ax+B\ln \left|a\sin x+b\cos x+c\right|+C\int \dfrac {dx}{a\sin x+b\cos x+c},

где $A$ , $B$ , $C$ — некоторые постоянные коэффициенты.

Задача 2047

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin x+2\cos x-3}{\sin x-2\cos x+3} dx$ .

Задача 2048

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin x}{\sqrt{2}+\sin x+\cos x} dx$ .

Задача 2049

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {2\sin x+\cos x}{3\sin x+4\cos x-2} dx$ .

Задача 2050

Доказать, что

\int \dfrac {a_{1}\sin ^{2}x+2b_{1}\sin x\cos x+c_{1}\cos ^{2}x}{a\sin x+b\cos x} dx=A\sin x+B\cos x+C\int \dfrac {dx}{a\sin x+b\cos x},

где $A$ , $B$ , $C$ — постоянные коэффициенты.

Задача 2051

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin^{2}x-4\sin x\cos x+3\cos^{2}x}{\sin x+\cos x} dx$ .

Задача 2052

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin^{2}x-\sin x\cos x+2\cos^{2}x}{\sin x+2\cos x} dx$ .

Задача 2053

Доказать, что если $(a-c)^{2}+b^{2}\neq 0$ , то

\int \dfrac {a_{1}\sin x+b_{1}\cos x}{a\sin ^{2}x+2b\sin x\cos x+c\cos ^{2}x} dx=A\int \dfrac {du_{1}}{k_{1}u_{1}^{2}+\lambda _{1}}+B\int \dfrac {du_{2}}{k_{2}u_{2}^{2}+\lambda _{2}},

где $A$ , $B$ — неопределенные коэффициенты, $\lambda_{1}$ , $\lambda_{2}$ — корни уравнения

\begin{vmatrix} a-\lambda & b \\ b & c-\lambda \end{vmatrix}=0 \quad (\lambda _{1}\neq \lambda _{2}),

$u_{i}=(a-\lambda_{i})\sin x+b\cos x$ и $k_{i}=\dfrac {1}{a-\lambda_{i}}$ ( $i=1,2$ ).

Задача 2054

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {2\sin x-\cos x}{3\sin^{2}x+4\cos^{2}x} dx$ .

Задача 2055

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {(\sin x+\cos x) dx}{2\sin^{2}x-4\sin x\cos x+5\cos^{2}x}$ .

Задача 2056

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin x-2\cos x}{1+4\sin x\cos x} dx$ .

Задача 2057

Доказать, что

\int \dfrac {dx}{(a\sin x+b\cos x)^{n}}=\dfrac {A\sin x+B\cos x}{(a\sin x+b\cos x)^{n-1}}+C\int \dfrac {dx}{(a\sin x+b\cos x)^{n-2}},

где $A$ , $B$ , $C$ — неопределенные коэффициенты.

Задача 2058

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(\sin x+2\cos x)^{3}}$ .

Задача 2059

Доказать, что

\int \dfrac {dx}{(a+b\cos x)^{n}}=\dfrac {A\sin x}{(a+b\cos x)^{n-1}}+B\int \dfrac {dx}{(a+b\cos x)^{n-1}}+C\int \dfrac {dx}{(a+b\cos x)^{n-2}} \quad (\left|a\right|\neq \left|b\right|),

и определить коэффициенты $A$ , $B$ и $C$ , если $n$ — натуральное число, большее единицы.

Задача 2060

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin x\, dx}{\cos x\sqrt{1+\sin^{2}x}}$ .

Задача 2061

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin^{2}x}{\cos^{2}x\sqrt{\tg x}} dx$ .

Задача 2062

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin x\, dx}{\sqrt{2+\sin 2x}}$ .

Задача 2063

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(1+\varepsilon \cos x)^{2}}$ ( $0<\varepsilon <1$ ).

Задача 2064

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\cos^{n-1}\dfrac {x+a}{2}}{\sin^{n+1}\dfrac {x-a}{2}} dx$ .

Задача 2065

Вывести формулу понижения для интеграла

I_{n}=\int \left(\dfrac {\sin \dfrac {x-a}{2}}{\sin \dfrac {x+a}{2}}\right)^{n} dx

( $n$ — натуральное число).

3.5 · Интегрирование различных трансцендентных функций[63/100%]

Задача 2066

Доказать, что если $P(x)$ — многочлен степени $n$ , то

\int P(x)e^{ax} dx=e^{ax}\left[\dfrac {P(x)}{a}-\dfrac {P’(x)}{a^{2}}+\cdots +(-1)^{n}\dfrac {P^{(n)}(x)}{a^{n+1}}\right]+C.

Задача 2067

Доказать, что если $P(x)$ — многочлен степени $n$ , то

\int P(x)\cos ax\, dx=\dfrac {\sin ax}{a}\left[P(x)-\dfrac {P”(x)}{a^{2}}+\dfrac {P^{IV}(x)}{a^{4}}-\cdots \right]+\dfrac {\cos ax}{a^{2}}\left[P'(x)-\dfrac {P”’(x)}{a^{2}}+\dfrac {P^{V}(x)}{a^{4}}-\cdots \right]+C

\int P(x)\sin ax\, dx=-\dfrac {\cos ax}{a}\left[P(x)-\dfrac {P”(x)}{a^{2}}+\dfrac {P^{IV}(x)}{a^{4}}-\cdots \right]+\dfrac {\sin ax}{a^{2}}\left[P'(x)-\dfrac {P”’(x)}{a^{2}}+\dfrac {P^{V}(x)}{a^{4}}-\cdots \right]+C.

Задача 2068

Найти интеграл: $\displaystyle \int x^{3}e^{3x} dx$ .

Задача 2069

Найти интеграл: $\displaystyle \int (x^{2}-2x+2)e^{-x} dx$ .

Задача 2070

Найти интеграл: $\displaystyle \int x^{5}\sin 5x\, dx$ .

Задача 2071

Найти интеграл: $\displaystyle \int (1+x^{2})^{2}\cos x\, dx$ .

Задача 2072

Найти интеграл: $\displaystyle \int x^{7}e^{-x^{2}} dx$ .

Задача 2073

Найти интеграл: $\displaystyle \int x^{2}e^{\sqrt{x}} dx$ .

Задача 2074

Найти интеграл: $\displaystyle \int e^{ax}\cos^{2}bx\, dx$ .

Задача 2075

Найти интеграл: $\displaystyle \int e^{ax}\sin^{3}bx\, dx$ .

Задача 2076

Найти интеграл: $\displaystyle \int xe^{x}\sin x\, dx$ .

Задача 2077

Найти интеграл: $\displaystyle \int x^{2}e^{x}\cos x\, dx$ .

Задача 2078

Найти интеграл: $\displaystyle \int xe^{x}\sin^{2}x\, dx$ .

Задача 2079

Найти интеграл: $\displaystyle \int (x-\sin x)^{2} dx$ .

Задача 2080

Найти интеграл: $\displaystyle \int \cos^{2}\sqrt{x}\, dx$ .

Задача 2081

Доказать, что если $R$ — рациональная функция и числа $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ соизмеримы, то интеграл

\int R(e^{a_{1}x}, e^{a_{2}x}, \ldots , e^{a_{n}x}) dx

есть элементарная функция.

Задача 2082

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(1+e^{x})^{2}}$ .

Задача 2083

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {e^{2x}}{1+e^{x}} dx$ .

Задача 2084

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{e^{2x}+e^{x}-2}$ .

Задача 2085

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{1+e^{x/2}+e^{x/3}+e^{x/6}}$ .

Задача 2086

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {1+e^{x/2}}{(1+e^{x/4})^{2}} dx$ .

Задача 2087

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sqrt{e^{x}-1}}$ .

Задача 2088

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sqrt{\dfrac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}\, dx$ .

Задача 2089

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sqrt{e^{2x}+4e^{x}-1}\, dx$ .

Задача 2090

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sqrt{1+e^{x}}+\sqrt{1-e^{x}}}$ .

Задача 2091

Доказать, что интеграл

\int R(x)e^{ax} dx,

где $R$ — рациональная функция, знаменатель которой имеет лишь действительные корни, выражается через элементарные функции и трансцендентную функцию

\int \dfrac {e^{ax}}{x} dx=\operatorname {li}(e^{ax})+C,

где

\operatorname {li} x=\int \dfrac {dx}{\ln x}.

Задача 2092

В каком случае интеграл

\int P\left(\dfrac {1}{x}\right) e^{x} dx,

где $P\left(\dfrac {1}{x}\right)=a_{0}+\dfrac {a_{1}}{x}+\cdots +\dfrac {a_{n}}{x^{n}}$ и $a_{0}, a_{1}, \ldots , a_{n}$ — постоянны, представляет собой элементарную функцию?

Задача 2093

Найти интеграл: $\displaystyle \int \left(1-\dfrac {2}{x}\right)^{2} e^{x} dx$ .

Задача 2094

Найти интеграл: $\displaystyle \int \left(1-\dfrac {1}{x}\right) e^{-x} dx$ .

Задача 2095

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {e^{2x}}{x^{2}-3x+2} dx$ .

Задача 2096

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {xe^{x}}{(x+1)^{2}} dx$ .

Задача 2097

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{4}e^{2x}}{(x-2)^{2}} dx$ .

Задача 2098

Найти интеграл: $\displaystyle \int \ln^{n}x\, dx$ ( $n$ — натуральное число).

Задача 2099

Найти интеграл: $\displaystyle \int x^{3}\ln^{3}x\, dx$ .

Задача 2100

Найти интеграл: $\displaystyle \int \left(\dfrac {\ln x}{x}\right)^{3} dx$ .

Задача 2101

Найти интеграл: $\displaystyle \int \ln \left[(x+a)^{x+a}(x+b)^{x+b}\right]\cdot \dfrac {dx}{(x+a)(x+b)}$ .

Задача 2102

Найти интеграл: $\displaystyle \int \ln^{2}\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right) dx$ .

Задача 2103

Найти интеграл: $\displaystyle \int \ln \left(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right) dx$ .

Задача 2104

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\ln x}{(1+x^{2})^{3/2}} dx$ .

Задача 2105

Найти интеграл: $\displaystyle \int x\arctg (x+1) dx$ .

Задача 2106

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sqrt{x}\arctg \sqrt{x}\, dx$ .

Задача 2107

Найти интеграл: $\displaystyle \int x\arcsin (1-x) dx$ .

Задача 2108

Найти интеграл: $\displaystyle \int \arcsin \sqrt{x}\, dx$ .

Задача 2109

Найти интеграл: $\displaystyle \int x\arccos \dfrac {1}{x} dx$ .

Задача 2110

Найти интеграл: $\displaystyle \int \arcsin \dfrac {2\sqrt{x}}{1+x} dx$ .

Задача 2111

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\arccos x}{\sqrt{1-x^{2}}} dx$ .

Задача 2112

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x\arccos x}{(1-x^{2})^{3/2}} dx$ .

Задача 2113

Найти интеграл: $\displaystyle \int x\arctg x\cdot \ln (1+x^{2}) dx$ .

Задача 2114

Найти интеграл: $\displaystyle \int x\ln \dfrac {1+x}{1-x} dx$ .

Задача 2115

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}{(1+x^{2})^{3/2}} dx$ .

Задача 2116

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sh^{2}x\ch^{2}x\, dx$ .

Задача 2117

Найти интеграл: $\displaystyle \int \ch^{4}x\, dx$ .

Задача 2118

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sh^{3}x\, dx$ .

Задача 2119

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sh x\sh 2x\sh 3x\, dx$ .

Задача 2120

Найти интеграл: $\displaystyle \int \th x\, dx$ .

Задача 2121

Найти интеграл: $\displaystyle \int \cth^{2}x\, dx$ .

Задача 2122

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sqrt{\th x}\, dx$ .

Задача 2123

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sh x+2\ch x}$ .

Задача 2123.1

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sh^{2}x-4\sh x\ch x+9\ch^{2}x}$ .

Задача 2123.1

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sh^{2}x-4\sh x\ch x+9\ch^{2}x}$ .

Задача 2123.2

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{0{,}1+\ch x}$ .

Задача 2123.2

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{0{,}1+\ch x}$ .

Задача 2123.3

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\ch x\, dx}{3\sh x-4\ch x}$ .

Задача 2123.3

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\ch x\, dx}{3\sh x-4\ch x}$ .

Задача 2124

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sh ax\sin bx\, dx$ .

Задача 2125

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sh ax\cos bx\, dx$ .

3.6 · Разные примеры на интегрирование функций[56/98%]

Задача 2126

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{x^{6}(1+x^{2})}$ .

Задача 2127

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{2} dx}{(1-x^{2})^{3}}$ .

Задача 2128

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{1+x^{4}+x^{8}}$ .

Задача 2129

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}$ .

Задача 2130

Найти интеграл: $\displaystyle \int x^{2}\sqrt{\dfrac {x}{1-x}}\, dx$ .

Задача 2131

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x+2}{x^{2}\sqrt{1-x^{2}}} dx$ .

Задача 2132

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sqrt{\dfrac {x}{1-x\sqrt{x}}}\, dx$ .

Задача 2133

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{5} dx}{\sqrt{1+x^{2}}}$ .

Задача 2134

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sqrt[3]{x^{2}(1-x)}}$ .

Задача 2135

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{x\sqrt{1+x^{3}+x^{4}}}$ .

Задача 2136

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{x\sqrt{x^{4}-2x^{2}-1}}$ .

Задача 2137

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {1+\sqrt{1-x^{2}}}{1-\sqrt{1-x^{2}}} dx$ .

Задача 2138

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {(1+x) dx}{1+\sqrt{x+x^{2}}}$ .

Задача 2139

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\ln (1+x+x^{2})}{(1+x)^{2}} dx$ .

Задача 2140

Найти интеграл: $\displaystyle \int (2x+3)\arccos (2x-3) dx$ .

Задача 2141

Найти интеграл: $\displaystyle \int x\ln (4+x^{4}) dx$ .

Задача 2142

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\arcsin x}{x^{2}}\cdot \dfrac {1+x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} dx$ .

Задача 2143

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x\ln \left(1+\sqrt{1+x^{2}}\right)}{\sqrt{1+x^{2}}} dx$ .

Задача 2144

Найти интеграл: $\displaystyle \int x\sqrt{x^{2}+1}\ln \sqrt{x^{2}-1}\, dx$ .

Задача 2145

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x}{\sqrt{1-x^{2}}}\ln \dfrac {x}{\sqrt{1-x}}\, dx$ .

Задача 2146

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(2+\sin x)^{2}}$ .

Задача 2147

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin 4x}{\sin^{8}x+\cos^{8}x} dx$ .

Задача 2148

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{\sin x\sqrt{1+\cos x}}$ .

Задача 2149

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {ax^{2}+b}{x^{2}+1}\arctg x\, dx$ .

Задача 2150

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {ax^{2}+b}{x^{2}-1}\ln \left|\dfrac {x-1}{x+1}\right| dx$ .

Задача 2151

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x\ln x}{(1+x^{2})^{2}} dx$ .

Задача 2152

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x\arctg x}{\sqrt{1+x^{2}}} dx$ .

Задача 2153

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\sin 2x}{\sqrt{1+\cos^{4}x}} dx$ .

Задача 2154

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{3}\arccos x}{\sqrt{1-x^{2}}} dx$ .

Задача 2155

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x^{4}\arctg x}{1+x^{2}} dx$ .

Задача 2156

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x\arcctg x}{(1+x^{2})^{2}} dx$ .

Задача 2157

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {x\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}{(1-x^{2})^{2}} dx$ .

Задача 2158

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sqrt{1-x^{2}}\arcsin x\, dx$ .

Задача 2159

Найти интеграл: $\displaystyle \int x(1+x^{2})\arcctg x\, dx$ .

Задача 2160

Найти интеграл: $\displaystyle \int x^{x}(1+\ln x) dx$ .

Задача 2161

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\arcsin e^{x}}{e^{x}} dx$ .

Задача 2162

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {\arctg e^{x/2}}{e^{x/2}(1+e^{x})} dx$ .

Задача 2163

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {dx}{(e^{x+1}+1)^{2}-(e^{x-1}+1)^{2}}$ .

Задача 2164

Найти интеграл: $\displaystyle \int \sqrt{\th^{2}x+1}\, dx$ .

Задача 2165

Найти интеграл: $\displaystyle \int \dfrac {1+\sin x}{1+\cos x}\cdot e^{x} dx$ .

Задача 2166

Найти интеграл: $\displaystyle \int \left|x\right| dx$ .

Задача 2167

Найти интеграл: $\displaystyle \int x\left|x\right| dx$ .

Задача 2168

Найти интеграл: $\displaystyle \int (x+\left|x\right|)^{2} dx$ .

Задача 2169

Найти интеграл: $\displaystyle \int \left[\left|1+x\right|-\left|1-x\right|\right] dx$ .

Задача 2170

Найти интеграл: $\displaystyle \int e^{-\left|x\right|} dx$ .

Задача 2171

Найти интеграл: $\displaystyle \int \max (1,x^{2}) dx$ .

Задача 2172

Найти интеграл $\displaystyle \int \varphi (x) dx$ , где $\varphi (x)$ — расстояние числа $x$ до ближайшего целого числа.

Задача 2173

Найти интеграл: $\displaystyle \int [x]\left|\sin \pi x\right| dx$ ( $x\geqslant 0$ ).

Задача 2174

Найти интеграл $\displaystyle \int f(x) dx$ , где

f(x)= \begin{cases} 1-x^{2}, & \text{при } \left|x\right|\leqslant 1; \\ 1-\left|x\right|, & \text{при } \left|x\right|>1. \end{cases}

Задача 2175

Найти интеграл $\displaystyle \int f(x) dx$ , где

f(x)= \begin{cases} 1, & \text{если } -\infty <x<0; \\ x+1, & \text{если } 0\leqslant x\leqslant 1; \\ 2x, & \text{если } 1<x<+\infty . \end{cases}

Задача 2176

Найти $\displaystyle \int xf''(x) dx$ .

Задача 2177

Найти $\displaystyle \int f'(2x) dx$ .

Задача 2178

Найти $f(x)$ , если $f'(x^{2})=\dfrac {1}{x}$ ( $x>0$ ).

Задача 2179

Найти $f(x)$ , если $f'(\sin^{2}x)=\cos^{2}x$ .

Задача 2180

Найти $f(x)$ , если

f'(\ln x)= \begin{cases} 1 & \text{при } 0<x\leqslant 1; \\ x & \text{при } 1<x<+\infty \end{cases}

и $f(0)=0$ .

Задача 2180.1

(а)(б)(в)(г)

Пусть $f(x)$ — монотонная непрерывная функция и $f^{-1}(x)$ — ее обратная функция. Доказать, что если

\int f(x) dx=F(x)+C,

то

\int f^{-1}(x) dx=xf^{-1}(x)-F\left(f^{-1}(x)\right)+C.

Рассмотреть примеры:

(а)

$f(x)=x^{n}$ ( $n>0$ );

(б)

$f(x)=e^{x}$ ;

(в)

$f(x)=\arcsin x$ ;

(г)

$f(x)=\Arth x$ .

Задача 2180.1

(а)(б)(в)(г)

Пусть $f(x)$ — монотонная непрерывная функция и $f^{-1}(x)$ — ее обратная функция. Доказать, что если

\int f(x) dx=F(x)+C,

то

\int f^{-1}(x) dx=xf^{-1}(x)-F\left(f^{-1}(x)\right)+C.

Рассмотреть примеры:

(а)

$f(x)=x^{n}$ ( $n>0$ );

(б)

$f(x)=e^{x}$ ;

(в)

$f(x)=\arcsin x$ ;

(г)

$f(x)=\Arth x$ .